2023年黑龙江省哈师大附属中学数学高二下期末综合测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为，则椭圆的离心率的概率是()A． B． C． D．2．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%3．己知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律是θ＝m·2t+（t≥0，m＞0），若物体的温度总不低于2摄氏度，则实数m的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．（1，+∞]4．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则A．2 B．4 C．6 D．85．甲乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A．B．C．D．6．已知满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C．3 D．-37．某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．720种 B．600种 C．360种 D．300种8．在ΔABC中，cosA=sinB=12A．3 B．23 C．3 D．9．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（）A． B．C． D．10．已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A． B．C． D．11．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－812．曲线和直线所围成图形的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考的好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的______________两人说对了．14．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_______.15．若点的柱坐标为，则点的直角坐标为______；16．若，且，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在一个圆锥内作一个内接等边圆柱（一个底面在圆锥的底面上，且轴截面是正方形的圆柱），再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱，这样无限的做下去.（1）证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的，求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比.18．（12分）（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数，k∈R．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)当k>0时，若函数f(x)在区间(1，2)内单调递减，求k的取值范围．20．（12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分为五个级别，畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.早高峰时段（），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.（1）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（2）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟，中度拥堵为42分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望.21．（12分）已知，R，矩阵的两个特征向量，．（1）求矩阵的逆矩阵；（2）若，求．22．（10分）某中学开设了足球、篮球、乒乓球、排球四门体育课程供学生选学，每个学生必须且只能选学其中门课程.假设每个学生选学每门课程的概率均为，对于该校的甲、乙、丙名学生，回答下面的问题.（1）求这名学生选学课程互不相同的概率；（2）设名学生中选学乒乓球的人数为，求的分布列及数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】共6种情况2、B【解析】试题分析：由题意故选B．考点：正态分布3、C【解析】

直接利用基本不等式求解即可．【详解】由基本不等式可知，，当且仅当“m•2t＝21﹣t”时取等号，由题意有，，即，解得．故选：C．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于基础题．4、B【解析】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．5、A【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.6、B【解析】

画出可行域，通过截距式可求得最大值.【详解】作出可行域，求得，，,通过截距式可知在点C取得最大值，于是.【点睛】本题主要考查简单线性规划问题，意在考查学生的转化能力和作图能力.目标函数主要有三种类型：“截距型”，“斜率型”，“距离型”，通过几何意义可得结果.7、D【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有种情况，②5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，则有60×5＝300种不同的顺序，故选D．【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8、B【解析】

通过cosA=sinB=1【详解】由于cosA=12，A∈(0,π)，可知A=π3，而sinB=12，B=π【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，难度不大.9、A【解析】

由题意可得，，再利用函数在区间上是增函数可得答案.【详解】解：为奇函数，，又，，又，且函数在区间上是增函数，，，故选A.【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.10、A【解析】

分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.11、C【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.12、C【解析】分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.详解：曲线和直线的交点坐标为（0,0）,(2,2),(-2,-2),根据题意画出图形，曲线和直线所围成图形的面积是.故选C.点睛：该题所考查的是求曲线围成图形的面积问题，在解题的过程中，首先正确的将对应的图形表示出来，之后应用定积分求得结果，正确求解积分区间是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、乙，丙【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。故答案为：乙，丙。14、【解析】分析：由条件可得①，②，由单调递增的定义可知③，由①②③求得交集即可得到答案详解：函数在上单调递增，时为增，即①时也为增，即有②又由单调递增的定义可知③由②可得由③可得故的取值范围为点睛：本题考查了分段函数的应用，考查了函数的单调性及其应用，助于分段函数的分界点的情况，是一道中档题，也是易错题。15、【解析】

由柱坐标转化公式求得直角坐标。【详解】由柱坐标可知，所以，所以直角坐标为。所以填。【点睛】空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换公式为。16、5【解析】

由正态分布曲线的对称性可得，正态分布曲线关于直线对称，即可得，再求解即可.【详解】解：由，得，又，所以，即，故答案为：5.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）求出第一个等边圆柱的体积，设第个等边圆柱的底面半径为，其外接圆锥的底面半径为，高为，则其体积，进一步求得第个等边圆柱的体积，作比可得这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）由这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的可得与的关系，则答案可求．【详解】（1）证明：如图，设圆锥的底面半径为，高为，内接等边圆柱的底面半径为，则由三角形相似可得：，可得．其体积．设第个等边圆柱的底面半径为，其外接圆锥的底面半径为，高为，则其体积，再设第个等边圆柱的底面半径为，则其外接圆锥的底面半径为，高为，则第个等边圆柱的体积．为定值，则这些等边圆柱的体积从大到小排成一个以为首项，以为公比的等比数列；（2）解：原来圆锥的体积为，这些等边圆柱的体积之和为．由，得，．则最大的等边圆柱的体积为，圆锥的体积为，体积之比为．【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积的求法，考查等比数列的确定及所有项和公式的应用，是中档题．18、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据不等式的特征，分，，，构造，研究其单调性即可.（2）将当时，恒成立，转化为时，恒成立，当时，显然成立，当且时，转化为，，利用（1）的结论求解.【详解】（1）当时，原不等式左边与右边相等，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，综上：当时，；（2）因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，当时，显然成立，当且时，恒成立，由（1）知当且时，，所以，所以.实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数于函数的单调性研究不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，求导数后根据的取值通过分类讨论求单调区间即可．（Ⅱ）将问题转化为在(1，2)上恒成立可得所求．详解：（I）函数的定义域为．由题意得，（1）当时，令，解得；令，解得．（2）当时，①当，即时，令，解得或；令，解得．②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；③当，即时，令，解得或；令，解得．综上所述，当时，函数的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为（0,1），，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．（II）因为函数在（1，2）内单调递减，所以在（1,2）上恒成立．又因为，则，所以在（1,2）上恒成立，即在（1,2）上恒成立，因为，所以，又，所以．故k的取值范围为．点睛：解题时注意导函数的符号和函数单调性间的关系．特别注意：若函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上≥0(或≤0)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．20、（1）18（2）39.96【解析】试题分析：（1）频率直方图中小矩形的面积等于该段的概率，由此可以得出中度拥堵的概率，继而得出这50个路段中中度拥挤的有多少个；记事件为一个路段严重拥堵，其概率，则，所以三个路段至少有一个严重拥堵的概率为；（3）根据频率分布直方图列出分布列，即可求得数学期望.试题解析：（1），这50路段为中度拥堵的有18个.（2）设事件“一个路段严重拥堵”，则，事件三个都未出现路段严重拥堵，则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是.（3）由频率分布直方图可得：分布列如下表：303642600.10.440.360.1.此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟.21、（1）（2）【解析】

（1）由矩阵的特征向量求法，解方程可得，再由矩阵的逆矩阵可得所求；（2）求得，再由矩阵的多次变换，可得所求.【详解】解：（1）设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，则，则．（2）因，所以．【点睛】本题考查矩阵的特征值和特征向量，考查矩阵的逆矩阵，以及矩阵的变换，考查运算求解能