2021年四川省达州市庙坝镇中学高三数学理期末试题含解析

2021年四川省达州市庙坝镇中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题:存在，曲线为双曲线；命题:的解集是．给出下列结论中正确的有（☆）①命题“且”是真命题；

②命题“且()”是真命题；③命题“()或”为真命题；④命题“()或()”是真命题．A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B2.等差数列{an}中，已知，且，则数列{an}的前n项和中最小的是（

）A.或 B. C. D.参考答案：C【分析】设公差为，则由题意可得，解得，可得.令

，可得

当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的.【详解】解：等差数列中，已知，且，设公差为，

则，解得

，.

令

，可得，故当时，，当时，，

故数列前项和中最小的是.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.3.某校有，，，四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：甲说：“、同时获奖”；乙说：“、不可能同时获奖”；丙说：“获奖”；丁说：“、至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（

）A．作品与作品

B．作品与作品C．作品与作品

D．作品与作品参考答案：B4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1] B．[0，e2+e﹣1] C．[0，e2+e+1] D．[0，e2﹣e﹣1]参考答案：D【考点】KE：曲线与方程．【分析】求出y0的范围，证明f（y0）=y0，得出f（x）=x在[1，e]上有解，再分离参数，利用函数单调性求出m的范围．【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴的最大值为e，最小值为1，∴1≤y0≤e，显然f（x）=是增函数，（1）若f（y0）＞y0，则f（f（y0））＞f（y0）＞y0，与f（f（y0））=y0矛盾；（2）若f（y0）＜y0，则f（f（y0））＜f（y0）＜y0，与f（f（y0））=y0矛盾；∴f（y0）=y0，∴y0为方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解，由f（x）=x得m=x2﹣x﹣lnx，令g（x）=x2﹣x﹣lnx，x∈[1，e]，则g′（x）=2x﹣1﹣==，∴当x∈[1，e]时，g′（x）≥0，∴g（x）在[1，e]上单调递增，∴gmin（x）=g（1）=0，gmax（x）=g（e）=e2﹣e﹣1，∴0≤m≤e2﹣e﹣1．故选D．【点评】本题考查了函数零点与函数单调性的关系，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题．6.已知实数满足不等式组则的取值范围是（

）A． B．

C．

D．参考答案：C7.设全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={x|y=}，则（）A．A?B B．A∪B=A C．A∩B=? D．A∩（?IB）≠?参考答案：A【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合A，B，即可得出结论．【解答】解：由题意，A={y|y=log2x，x＞2}=（1，+∞），B={x|y=}=[1，+∞），∴A?B，故选：A．8.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选A．9.“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件

必要不充分条件充要条件

既不充分也不必要条件参考答案：10.设，，c=2﹣0.1，则a，b，c间的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵＜＜0，c=2﹣0.1＞0，∴c＞b＞a．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.程序框图如图所示，若输入，，则输出的为

．参考答案：57试题分析：第一次循环，得；第二次循环，得；第三次循环，得；第四次循环，得，不满足循环条件，退出循环，输出．考点：程序框图．12.(坐标系与参数方程选做题)已知圆的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆的交点的直角坐标为

.

参考答案：（1，2）13.若，则=

；参考答案：314.观察下列问题：已知=，令，可得，令，可得，请仿照这种“赋值法”，令，得到=_____,

并求出______。参考答案：1、-1略15.已知圆O的一条直径为线段BC，A为圆上一点，，，则向圆O中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为

．参考答案：不妨设，则所求的概率故答案为：

16.若不等式的解集是,且的解集是空集,则的取值范围是________。参考答案：答案：17.如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，通过MG和平面EFGH所成角的正切值为，推出=，然后求解即可．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得=，OG=，则MO=．则点M到平面EFGH的距离为：．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知，函数.（1）如果时，恒成立，求m的取值范围；（2）当时，求证：.参考答案：（1），，.令（），，递减，，∴m的取值范围是.

………………5分（2）证明：当时，的定义域，∴，要证，只需证又∵，∴只需证，

………………8分即证∵递增，，∴必有，使，即，且在上，；在上，，∴∴，即 ………………12分19.某单位招聘职工，经过几轮筛选，一轮从2000名报名者中筛选300名进入二轮笔试，接着按笔试成绩择优取100名进入第三轮面试，最后从面试对象中综合考察聘用50名．（Ⅰ）求参加笔试的竞聘者能被聘用的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方式从最终聘用者中抽取10名进行进行调查问卷，其中有3名女职工，求被聘用的女职工的人数；（Ⅲ）单位从聘用的三男和二女中，选派两人参加某项培训，至少选派一名女同志参加的概率是多少？参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设参加笔试的竞聘者能被聘用的概率P，依题意有，计算求得结果．（Ⅱ）设被聘用的女职工的人数为x，用50乘以女职工所占的比例，即得所求．（Ⅲ）用列举法求得所有的选法共有10种，其中至少选一名女同志有共有7种，由此求得至少选派一名女同志参加的概率．【解答】解：（Ⅰ）设参加笔试的竞聘者能被聘用的概率P，依题意有：．（Ⅱ）设被聘用的女职工的人数为x，则，即被聘用的女职工的人数为15人．（Ⅲ）设聘用的三男同志为a，b，c，两个女同志记为m，n，选派两人的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，m），（a，n），（b，c），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n），（m，n），共10种，至少选一名女同志有（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n），（m，n）共有7种，∵每种情况出现的可能性相等，所以至少选派一名女同志参加的概率．【点评】本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题．20.已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣，g（x）=ex﹣e（其中e为自然对数的底数）（I）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与曲线y=g（x）在（0，g（0））处的切线互相垂直，求实数a的值．（Ⅱ）设函数h（x）=，讨论函数h（x）零点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）分别求出两个函数的导函数，求得它们在x=0处的导数值，由导数值乘积等于﹣1求得a值；（Ⅱ）函数g（x）=ex﹣e在实数集上为单调增函数，且仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，求出f（x）的导函数，当a≤0时，由导数f（x）在x≤0时必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；然后分类讨论判断当a＞0时f（x）的极值点的情况得答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=﹣3x2+a，g′（x）=ex，则f′（0）=a，g′（0）=1，则a=﹣1；（Ⅱ）函数g（x）=ex﹣e在实数集上为单调增函数，且仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，又f′（x）=﹣3x2+a，①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在实数集上单调递减，且过点（0，﹣），f（﹣1）=，即f（x）在x≤0时必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；②当a＞0时，令f′（x）=0，得两根，，则是函数f（x）的一个极小值点，是f（x）的一个极大值点．而f（﹣）=﹣，现在讨论极大值的情况：当＜0，即a＜时，函数f（x）在（0，+∞）恒小于0，此时y=h（x）有两个零点；当=0，即a=时，函数f（x）在（0，+∞）上有一解，此时y=h（x）有三个零点；当＞0，即a＞时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个解，一个小于，一个大于．若f（1）=﹣1+a﹣＜0，即a＜时，＜1，此时y=h（x）有四个零点；若f（1）=﹣1+a﹣=0，即a=时，=1，此时y=h（x）有三个零点；若f（1）=﹣1+a﹣＞0，即a＞时，＞1，此时y=h（x）有四个零点．综上所述，①或a时，y=h（x）有两个零点；②a=或a=时，y=h（x）有三个零点；③时，y=h（x）有四个零点．21.已知抛物线x2=2py上点P处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1）和B（x2，y2）为抛物线上的两个动点，其中y1≠y2且y1+y2=4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；导数的几何意义．【分析】（Ⅰ）由题意，抛物线x2=2py上点P处的切线方程为x﹣y﹣1=0，设P的坐标，求函数的导函数在P点斜率为1，求解P的坐标值．（Ⅱ）由题意，采用设而不求的思想，设A（x1，y1）和B（x2，y2）为抛物线上的两个动点，已知y1+y2=4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，可以利用中点坐标公式．求解出直线方程，与抛物线组成方程组，求其中点坐标范围．利用弦长公式求|AB|的长度，再求C点到直线AB的距离最大值，从而求解△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点，由x2=2py得，求导，抛物线x2=2py上点P处的切