八年级下册数学复习专题

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八年级下册数学复习资料第一章直角三角形1、直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余。②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。例如，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的中线，因此CD等于AB的一半。③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。例如，在直角三角形ABC中，如果∠A=30°，那么BC等于AB的一半。例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则正确的结论是AC²+BC²=AB²。④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。例如，在直角三角形ABC中，如果BC等于AB的一半，那么∠A=30°。例如，如果等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么顶角的度数是60°。⑤勾股定理及其逆定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。求斜边的长度，可以用c=√(a²+b²)；求直角边的长度，可以用a=√(c²-b²)或b=√(c²-a²)。例如，在图中的拉线电线杆示意图中，已知CD⊥AB，∠CAD=60°，那么拉线AC的长度是6m。例如，如果一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是√136。（2）逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形。可以分别计算“a²+b²”和“c²”，如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形。例如，在Rt△ABC中，如果AC=2，BC=7，AB=3，那么正确的结论是∠C=90°。例如，如果一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，那么这块木板的面积是18。例如，某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？直角三角形性质及勾股定理的应用常见于各种图形中。例如，如下图所示，梯子AB靠在墙上，底端A到墙根O的距离为7米，顶端B到地面的距离为24米。现将梯子的底端A向外移动到A′，使得A′到墙根O的距离等于15米。同时，顶端B下降至B′。求出BB′的长度。又如下图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40厘米，灯罩BC长为30厘米，底座厚度为2厘米。灯臂与底座构成的∠BAD为60度，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30度。求出灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少厘米？直角三角形的判定方法有三种：有两个角互余、一条边上的中线等于这条边的一半、三边长a、b、c有关系a+b=c。例如，若一个三角形三边满足(a+b)²-c²=2ab，则这个三角形是直角三角形。若∠A：∠B:∠C=2:3:5，则△ABC是锐角三角形。已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足2a+2b+2c-2ab-2bc-2ac=0，则三角形的形状是直角三角形。直角三角形全等有五种判定方法：SAS、ASA、SSS、AAS、HL。例如，如下图所示，在ΔABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC的延长线于点G。则BF=CG。角平分线的性质定理是：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。例如，如下图所示，在ΔABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是8厘米。又如在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点。则点O在∠A的平分线上。如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是多少？解法：根据角平分线定理，有$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$，即$\dfrac{BD}{6}=\dfrac{AB}{\sqrt{BC^2+AC^2}}$。又因为$\triangleABC$为直角三角形，所以$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}$，代入上式得$\dfrac{BD}{6}=\dfrac{\sqrt{AC^2-BC^2}}{AC}$，整理得$BD=\dfrac{3\sqrt{AC^2-BC^2}}{AC}$。又因为$\triangleABD$和$\triangleADC$共边且相似，所以$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$，即$AD=\dfrac{AB^2}{AC}$。代入$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}$得$AD=\dfrac{AC^2-BC^2}{AC}$。因为点D到线段AC的距离等于$AD\cdot\dfrac{BD}{BD+DC}$，所以所求距离为$\dfrac{3(AC^2-BC^2)}{2AC+3\sqrt{AC^2-BC^2}}$。如图，在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，点P是三角形内心，求点P到AB的距离。解法：因为点P是三角形ABC的内心，所以AP、BP分别是∠BAC、∠ABC的平分线，所以$\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{3}$。又因为$\triangleABP$为直角三角形，所以$\dfrac{AP}{AB}=\sin\angleBAP$，$\dfrac{BP}{AB}=\sin\angleABP$。根据正弦定理，有$\dfrac{AP}{\sin\angleBAP}=\dfrac{BP}{\sin\angleABP}$，即$\dfrac{AP}{\sin\angleBAP}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{BP}{\sin\angleBAP}$，化简得$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{\sin\angleBAP}{\sin\angleABP}$。又因为$\sin\angleBAP=\cos\angleABC$，$\sin\angleABP=\cos\angleBAC$，所以$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{\cos\angleABC}{\cos\angleBAC}$。根据余弦定理，有$\cos\angleABC=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，$\cos\angleBAC=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4}{5}$，代入上式得$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{16}{9}$，即$AP=\dfrac{16}{25}AB$，$BP=\dfrac{9}{25}AB$。因为点P到线段AB的距离等于$\dfrac{2S_{\triangleABP}}{AB}$，所以所求距离为$\dfrac{2}{5}\sqrt{15}$。4、特殊四边形的性质与判定平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角线不是轴对称图形，是中心对称图形。平行四边形的判定方法：方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。例如，在四边形ABCD中，如果AB∥CD且AB=CD，或者AD∥BC且AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形。对于题目中的例题，可以将其改写为：已知一个三角形ABC，其中AB=10，AC=12，BC=16，求由三条中位线所围成的三角形的周长。6、矩形的性质与判定矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线互相平分且相等。矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。方法2：对角线相等的平行四边形是矩形。例如，在四边形ABCD中，如果∠A=90°，则四边形ABCD是矩形。对于题目中的例题，可以将其改写为：已知矩形ABCD，其中AB=4，∠AOB=60°，求对角线AC的长度。删除无用段落。菱形的性质：四条边相等，对角线相等且互相平分且垂直，邻角互补。因此，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。菱形的面积等于两条对角线的长度乘积的一半。菱形的判定方法有两种：一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者四边都相等的四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形。例如，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F。可以证明四边形AFCE为菱形。又如，如果矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=6，AC=10，则矩形的面积为30。如果菱形的周长为20，一条对角线长为6，则其面积为9。正方形的性质：四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分且垂直相等。因此，正方形也是轴对称图形和中心对称图形。正方形的判定方法有两种：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，或者有一个角是直角的菱形是正方形，或者有一组邻边相等的矩形是正方形。例如，顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。如果把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为45°。对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线平分且相等的四边形是矩形，对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，对角线互相平分的四边形是平行四边形。在平面图形的镶嵌中，关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。例如，只用正六边形地砖就能够铺满地面。在正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，能与边长为a的正三角形作平面镶嵌的是正六边形和正八边形。最后，坐标系中的点用有序实数对来表示，其中第一个数代表横坐标，第二个数代表纵坐标。例如，点(4,2)的横坐标为4，纵坐标为2。2、在平面直角坐标系中，横轴为X轴，纵轴为Y轴，原点为O，方向为正向。第一象限坐标为（+，+），第二象限坐标为（—，+），第三象限坐标为（—，—），第四象限坐标为（+，—）。例如，对于点P（-2，3），它位于第二象限。若点P（a，b）位于第四象限，则点Q（-a，b-1）位于第二象限。3、方位角指的是一个向量与某个参考方向之间的夹角。例如，北偏西60°表示向量与正北方向的夹角为60度，且向左偏离正西方向。4、关于点的对称性，对于直角坐标系内的点P（a，b），它关于x轴对称的点为P1（a，－b），关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）。对于点M（2，-3）关于y轴的对称点N，其坐标为（-2，-3）。对于点P（m+3，m+1）在x轴上，其坐标为（m+3，0）。对于已知A（-2,3）和B（2,3）两点，结论①正确，即A、B关于x轴对称。对于已知点A（m-1，3）和点B（2，n-1）关于x轴对称，可得m=3，n=5。对于已知点P（3，-1）关于y轴对称点Q的坐标为（-3，1），则a的值为-6。5、对于直角坐标系内的点P（a，b），向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b）；向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，b＋h）；向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）。例如，对于点A（2，－1），向上平移2个单位，再向右平移5个单位，坐标变为A（7，1）。将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，点A（3，-2）的对应点A'的坐标为（0，0）。对于已知点A（m，n），向左平移3个单位后与点B(4,-3)关于y轴对称，则m=7，n=-3。1、函数自变量的取值：整式的自变量取全体实数，分式的自变量分母不能为0，二次根式的自变量必须满足根号下的数≥0。·函数y=x+1的自变量x的取值范围是全体实数。·函数y=2x-3的自变量x的取值范围是全体实数。·函数y=√(x+5)的自变量x的取值范围是x≥-5。·函数y=1/(x-2)的自变量x的取值范围是x≠2。2、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(含正比例函数y=kx)。·下列函数解析式中是一次函数的有y=2x+3，y=5，y=x/2，y=3x^2。①求k的取值：y随x增大而增大则k>0；y随x增大而减小则k<0。再解出不等式。·若函数y=kx+2在x>3时的值域为y≥5，则k≥3/2。·若正比例函数y=kx的图象过点(2,4)，则k=2。·若函数y=k/x的图象过点(2,1)，则k=2。·若函数y=kx^2在x<0时的值域为y≥1，则k≤-1。3、在平面直角坐标系中，点的坐标表示了点在平面上的位置，点与坐标是一一对应的关系。例·若点P到X轴的距离为5，到Y轴的距离为3，且点P在第四象限，则点P的坐标为(-5,-3)。4、在平面直角坐标系中，可以通过平移、轴对称等方式得到新图形，新图形的顶点坐标可以通过坐标变换得到。例·如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(-3,2)，(5,2)，(2,3)，则顶点C的坐标是(4,3)。5、一次函数y=kx+b的图象是一条直线，可以通过求出两个点的坐标或者一个点的坐标和斜率k来确定这条直线。例·已知一次函数y=2x-1，求它在x=3和x=-2处的函数值以及它的斜率。当x=3时，y=2*3-1=5；当x=-2时，y=2*(-2)-1=-5。斜率k=2。6、平面直角坐标系中的图形可以通过坐标变换得到新的图形，常见的坐标变换包括平移、轴对称、旋转等。例·如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,5)、B(1,1)、C(5,3)，连成△ABC。①作出△ABC关于x轴对称的ΔA'B'C'，并写出三个顶点的坐标；②作出△ABC关于原点O成中心对称的ΔA''B''C''，并写出三个顶点的坐标；③将△ABC向左平移6个单位长度，画出平移后的ΔA'''B'''C'''，并写出三个顶点的坐标。①ΔA'B'C'的三个顶点坐标分别为A'(3,-5)、B'(1,-1)、C'(5,-3)。②ΔA''B''C''的三个顶点坐标分别为A''(-3,-5)、B''(-1,-1)、C''(-5,-3)。③ΔA'''B'''C'''的三个顶点坐标分别为A'''(-3,5)、B'''(-5,1)、C'''(-1,3)。7、一次函数y=kx+b表示了一条直线，它的斜率k决定了这条直线的倾斜程度，截距b决定了这条直线与y轴的交点位置。例·已知一次函数y=3x-2的图象过点(2,4)，求这条直线与x轴和y轴的交点坐标。当y=0时，3x-2=0，解得x=2/3，所以这条直线与x轴的交点坐标为(2/3,0)。当x=0时，y=-2，所以这条直线与y轴的交点坐标为(0,-2)。1.k5是一个正比例函数，其中k和a是比例系数。改写：k5表示一个正比例函数，其中k和a是比例系数。2.在函数xm23中，随着x的增加，y会减小，因此m的值为负数。改写：函数xm23中，随着x的增加，y会减小，因此m为负数。3.函数3m23是一次函数，因此m的值可以确定，并且随着x的增加，y也会增加。改写：由于函数3m23是一次函数，因此m的值可以确定，并且随着x的增加，y也会增加。4.在y=kx+b的一次函数中，当k大于0时，函数图像会经过第一和第三象限；当k小于0时，函数图像会经过第二和第四象限。当b大于0时，函数图像会向上移动；当b小于0时，函数图像会向下移动。因此，可以确定一次函数y=-5x+7的图像会经过第一象限。对于一次函数y=2x+b，如果它的图像不经过第二象限，那么b的取值范围是什么？改写：在一次函数y=kx+b中，当k>0时，函数图像经过第一和第三象限；当k<0时，函数图像经过第二和第四象限。当b>0时，函数图像向上移动；当b<0时，函数图像向下移动。因此，可以确定一次函数y=-5x+7的图像经过第一象限。对于一次函数y=2x+b，如果它的图像不经过第二象限，那么b的取值范围是什么？5.如果一次函数y=2mxm2的图像经过原点，那么m的值可以确定。改写：如果一次函数y=2mxm2的图像经过原点，那么m的值是确定的。6.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可以通过改变b的值来平移。如果b增加，图像会向上移动；如果b减少，图像会向下移动。改写：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可以通过改变b的值来平移。当b增加时，图像会向上移动；当b减少时，图像会向下移动。7.如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果两条直线的斜率相乘为-1，则它们垂直。改写：如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果两条直线的斜率相乘为-1，则它们垂直。8.如果一次函数y=k1x5与y=k2x5平行，则k1=k2。改写：如果一次函数y=k1x5与y=k2x5平行，则k1=k2。9.在坐标轴上，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。改写：在坐标轴上，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。10.对于一次函数y=3x1，它与x轴的交点坐标为(0,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)。改写：对于一次函数y=3x1，它与x轴的交点坐标为(0,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)。11.如果一次函数y=2xb的图像与坐标轴围成的三角形面积为4，那么它的解析式为y=2x+8。改写：如果一次函数y=2xb的图像与坐标轴围成的三角形面积为4，那么它的解析式为y=2x+8。12.通过待定系数法，可以求出一次函数的解析式。首先将一次函数的表达式设为y=kx+b，然后代入已知的x、y值，列出二元一次方程组，求解k、b的值，最后代回原式即可。改写：通过待定系数法，可以求出一次函数的解析式。首先假设一次函数