山东省烟台市青华学校2022年高三数学理期末试题含解析

山东省烟台市青华学校2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知tanα=2，且α∈（﹣π，0），则sinα﹣cosα的值是（）A． B．﹣

C．﹣ D．参考答案：B考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由tanα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果．解答：解：∵tanα=2＞0，∴α∈（﹣π，﹣），∴cosα=﹣=﹣，sinα=﹣=﹣，则sinα﹣cosα=﹣+=﹣点评：此题考查了同角三角基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．2.右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为,若成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.下列命题中正确的是(

)A．若,则B．若为真命题,则也为真命题C．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件D．命题“若,则”的否命题为真命题参考答案：D5.已知则与的夹角为

（

）

参考答案：C略6.若,则 （）A． B． C． D．参考答案：D7.已知集合，则满足的集合N的个数是

（

）

A.2

B.3

C.4

D.8参考答案：C略8.如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标，记矩形的周长为，则（

）A．208

B.216

C.212

D.220参考答案：B略9.已知下图是函数的图象上的一段，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知是上的增函数，令，则是上的

A.增函数

B.减函数

C.先增后减

D.先减后增

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“”为假命题，则实数的取值范围是

.参考答案：12.已知函数是偶函数，且，则的值为

参考答案：13.设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为

参考答案：14.（几何证明选讲选做题）已知圆的直径，为圆上一点，，垂足为，且，则

.参考答案：4或915.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b=___________．

参考答案：0或1直线与的切点为，与的切点．故且，消去得到，故或，故或，故切线为或，所以或者．填或．

16.在中，角所对的边分别为，若，b=，，则

．参考答案：答案：解析：由正弦定理得，所以17.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为________．参考答案：【分析】由短轴长等于16可得，联立离心率及即可求得，问题得解．【详解】由题可得：，解得：又，解得：所以所求椭圆的标准方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．【解答】解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．19.已知，求的值.参考答案：略20.(本小题满分14分)设函数，其中a为正实数．(l)若x=0是函数的极值点，讨论函数的单调性；(2)若在上无最小值，且在上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线与曲线在交点个数．参考答案：(1)由得

-----------------------2分的定义域为：

------------3分

函数的增区间为，减区间为

------------5分（2）由若则在上有最小值当时，在单调递增无最小值.

-------------------7分∵在上是单调增函数∴在上恒成立

∴

-----------------9分综上所述的取值范围为

---------------10分此时即,则h(x)在单减，单增，

-----------------------13分极小值为.故两曲线没有公共点.

-----------14分21.过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F,作与轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点.(1)求PQ中点R的轨迹L的方程;(2).证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.参考答案：(1)抛物线的焦点为,设的直线方程为.由得,设M,N的横坐标分别为,则,得,,而,故PQ的斜率为,PQ的方程为.代入得.设动点R的坐标,则,因此,故PQ中点R的轨迹L的方程为.(2)显然对任意非零整数,点都是L上的整点,故L上有无穷多个整点.

假设L上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数m,不妨设,则,因为是奇素数,于是,从可推出,再由可推出,令,则有,由,得,于是,即,于是,,得,故,有,但L上的点满足,矛盾!因此,L上任意点到原点的距离不为整数.22.（本题满分12分）在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽N个人的血，可以用两种方法进行.(1)将每个人的血分别去验，这就需N次.(2)按k个人一组进行分组，把从k个人抽出来的血混在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血液都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次.若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验.这样，这k个人的血总共要化验k+1次.假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的.(Ⅰ)设以k个人为一组时，记这k个人总的化验次数为X，求X的分布列与数学期望；(Ⅱ)设以k