湖北省天门、仙桃、潜江三市2023年高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则是的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则A． B． C． D．3．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为2，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．4．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（）A． B．C． D．25．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶。现有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是。则打光子弹的概率是（）A． B． C． D．6．设数列，()都是等差数列，若，则等于（）A．60 B．62 C．63 D．667．已知集合，，若，则实数的取值范围是()A． B． C． D．8．在区间[-1,4]内取一个数x,则≥的概率是（）A． B． C． D．9．在用反证法证明命题“三个正数a，b，c满足，则a，b，c中至少有一个不大于2”时，下列假设正确的是（）A．假设a，b，c都大于2 B．假设a，b，c都不大于2C．假设a，b，c至多有一个不大于2 D．假设a，b，c至少有一个大于210．函数，，若，，则的取值范围为（）A． B． C． D．11．x-2xn的展开式中的第7A．16 B．18 C．20 D．2212．如果（，表示虚数单位），那么()A．1 B． C．2 D．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的平方根是______．14．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是．15．化简＝__________．16．已知函数,若存在实数，满足，且，则的取值范围是______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为虚数单位，复数满足，（1）求．（2）在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值．18．（12分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米。要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个桶圆形状（如图）。（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3）19．（12分）某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030（Ⅰ）根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？（Ⅱ）从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望.参考公式：，其中参考数据：0.050,。0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）（1）六个从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？（2）把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有几种？（3）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法有几种？21．（12分）如图所示，在边长为的正三角形中，、依次是、的中点，，，，、、为垂足，若将绕旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.22．（10分）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．（Ⅰ）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是偶数的概率；（Ⅱ）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：首先根据指数函数的单调性，结合幂的大小，得到指数的大小关系，即，从而求得，利用集合间的关系，确定出p,q的关系.详解：由得，解得，因为是的真子集，故p是q的充分不必要条件，故选A.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解的过程中，首先需要判断命题q为真命题时对应的a的取值范围，之后借助于具备真包含关系时满足充分非必要性得到结果.2、C【解析】由得，，解得，从而，故选C.3、A【解析】

先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用的最小值为2，即可求得双曲线的离心率．【详解】由题意，可设点，，．，且．两式相减得．再由斜率公式得：．根据的最小值为2，可知，所以a=b.所以，故选：A【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关键．4、C【解析】

先求出的表达式，然后对其化简，求出复数的模即可.【详解】由题意，，所以.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题.5、B【解析】

打光所有子弹，分中0次、中一次、中2次。【详解】5次中0次：5次中一次：5次中两次：前4次中一次，最后一次必中则打光子弹的概率是++=,选B【点睛】本题需理解打光所有子弹的含义：可能引爆，也可能未引爆。6、A【解析】

设数列的公差为，则由题意可得，求得的值，得到数列的通项公式，即可求解得值，得到答案.【详解】由题意，数列，都是等差数列，且，设数列的公差为，则有，即，解得，所以，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.8、D【解析】

先解不等式，确定解集的范围，然后根据几何概型中的长度模型计算概率.【详解】因为，所以，解得，所以.【点睛】几何概型中长度模型（区间长度）的概率计算：.9、A【解析】

否定结论，同时“至少有一个”改为“全部”【详解】因为“a，b，c至少有一个不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故选A.【点睛】本题考查反证法，在反证法中假设命题反面成立时，结论需要否定的同时，“至少”，“至多”，“都”等词语需要改变．10、C【解析】分析：利用均值定理可得≥2，中的，即≤2，所以a≤0详解：由均值不等式得≥2，当且仅当x=0取得≤2，，当a≤0时，≥2，≤2故本题选C点晴：本题是一道恒成立问题，恒成立问题即最值问题，本题结合均值，三角函数有界性等综合出题，也可以尝试特殊值方法进行解答11、B【解析】

利用通项公式即可得出．【详解】x-2xn的展开式的第7项令n2-9=0＝0，解得n＝故选：B．【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12、B【解析】分析：复数方程左边分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，利用复数相等求出即可详解：解得故选点睛：本题主要考查了复数相等的充要条件，运用复数的乘除法运算法则求出复数的表达式，令其实部与虚部分别相等即可求出答案．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设的平方根为，由列方程组，解方程组求得.【详解】设的平方根为（为实数），故，所以，解得，或，故.故答案为：.【点睛】本小题主要考查负数的平方根，考查复数运算，属于基础题.14、【解析】试题分析：由题意得考点：命题真假【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.15、.【解析】分析：利用，逆用二项式定理求和，再根据展开式特点结合棣莫弗定理求值.或者构造和的二项式展开式求和，再利用和周期性解决问题.详解：方法一：因为展开式中所有有理项的和，又因为，所以展开式中所有有理项的和为，因此＝.方法二：原式=①②①+②可得：点睛：展开式的应用：可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.有关组合式的求值证明，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.16、【解析】

根据函数的性质得出之间的关系，从而可求得取值范围．【详解】设，则与的图象的交点的横坐标依次为（如图），∵，且，，∴，，∴，，∴，∵，∴，故答案为．【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布，解题关键是确定之间的关系及范围．如本题中可结合图象及函数解析式得出．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）z＝3+4i；（2）c＝8【解析】

（1）设，由，进行计算化简，得到关于的方程组，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由∠AOB是直角，得到，得到关于的方程，求出的值.【详解】（1）设，由，得，∴，解得．∴；（2）由题意，的坐标分别为∴，，∵是直角，∴，即．【点睛】本题考查复数的运算，复数模长的表示，向量垂直的坐标表示，属于简单题.18、(1)33.26；(2)拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米.【解析】

（1）根据题意，建立坐标系，可得的坐标并设出椭圆的方程，将与点坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得，计算可得答案；（2）根据题意，设椭圆方程为，将代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当且，时，，进而分析可得答案．【详解】（1）如图建立直角坐标系，则点，椭圆方程为．将与点坐标代入椭圆方程，得，此时此时因此隧道的拱宽约为33.26米；（2）由椭圆方程，根据题意，将代入方程可得．因为即且，，所以当取最小值时，有，得，此时，故当拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米.【点睛】本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．19、(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）由列联表和卡方的计算公式，得的字，即可作出判断；（2）根据题意，可取的值为，求解随机变量取每个值的概率，列出分布列，利用期望的公式即可求解数学期望．详解：（1）由列联表可得所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为使用智能手机对学习有影响．（2）根据题意，可取的值为，，．，，所以的分布列是的数学期望是．点睛：本题主要考查了独立性检验的应用和随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确独立性检验的计算公式作出准确计算，利用组合数的公式求解随机变量的取值对应的概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.20、（1）216（2）36（3）120【解析】分析：（1）分两种情况讨论甲在最左端时，有，当甲不在最左端时，有(种）排法，由分类计数加法原理可得结果；（2）分三步：将看成一个整体，将于剩余的2件产品全排列，有3个空位可选，根据分步计数乘法原理可得结果；（3）用表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，利用枚举法可得共有种，每一种排法种的三个，两个可以交换位置，故总的排法为种.详解：（1）当甲在最左端时，有；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有(种）排法，共计（种）排法.（2）根据题意，分3步进行分析：产品与产品相邻，将看成一个整体，考虑之间的顺序，有种情况，将于剩余的2件产品全排列，有种情况，产品与产品不相邻，有3个空位可选，即有3种情况，共有种；（3）法一：用表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，则可以枚举出下列10种：每一种排法种的三个，两个可以交换位置，故总的排法为种.法二：分两步进行：（1）先将3个歌曲进行全排，其排法有种；（2）将小品与相声插入将歌曲分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有种.若两歌舞之间有两个其他节目时插法有种.所以由计数原理可得节目的排法共有（种）.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一