集合与对应-有限集合与无限集合（小学数学课件）

比较“多与少”在一个大礼堂中有很多很多人,还有很多椅子,如果想知道是人数多还是椅子多,常用的方法有两种：一种是分别数出人和椅子的数量,比较一下哪个数大就行了；另一种是让每个人找把椅子坐下,然后看看是有椅子空着，还是椅子全坐满却还有人站着，或者刚好坐满。若有空椅子就说明椅子数比人数多；反之说明人数比椅子数多；若每人都有座且椅子被坐满,就说明两者一样多。这里必须要求既不能两个人或几个人挤在一把椅子上坐,也不能一个人坐两把以上的椅子。由于第一种方法要数出元素的数目,这对无限集来说是办不到的,而第二种方法不计元素的数目也能进行比较,因此第二种方法对无限集是可行的，这就启发我们选择第二种方法作为比较“多与少”的标准方法。

集合A和集合B的元素之间建立一个对应法则,且这个法则满足:（1）对A的每一个元素a，通过对应法则，B中有唯一的元素b和它对应。（2）对于集合B中的任意元素y，总可以通过对应法则找到A中的一个元素x和它对应。（3）A中不同的元素x1，x2，它们在B中的对应元素y1，y2也不同。这时我们认为集合A与B的元素是“一一对应”的，

集合A中的元素和集合B中的元素一样多。比较“多与少”如果集合A的一个子集（集合C）的元素与集合B的元素能建立一一对应，且集合A与集合B不能建立一一对应，即集合A的元素比集合B的多。

集合A集合C集合B少多小学数学中的认识“4比3多”。比较“多与少”例如自然数集中除有偶数外还有无穷多奇数,是否自然数应当比偶数多？类似的,是否有理数也应比自然数多？又如长度不同的两条线段所含点数，是否长的含点多而短的含点少？无穷集合都有无穷多元素,是否它们所含元素个数都一样多等等？也就是说，所有“无穷多”是否都是一样多？比较无穷集合的“多与少”产生这些问题的主要原因有：一是由于我们经常接触的是有限集，因此容易把有限集所具有的性质直接用到无限集上；二是把线段长度和线段所含元素的个数这两个不同的概念。自然数和整数哪个多？

自然数和整数能建立一一对应。所以，自然数与整数一样多。1.自然数和整数一样多过程如下：0123456……2(n-1)2n-10123456……n-n我们已经知道自然数与整数是一样多的，“自然数和有理数哪个多？”就可以转化为：“整数和有理数哪个多？”有理数能够与分数互相转化，所以，有理数就是分数。2.自然数和有理数一样多

我们可以按箭头方向将所有的正有理数（有些重复的）进行排列，并给每个正有理数一个序号，你就会发现这些正有理数与正整数能“1-1对应”。2.自然数和有理数一样多由于图中有些分数可以进行化简，所以就会有一部分数从表中消失（见下图），也就是说，正有理数的数量不多于正整数的数量。同理,负有理数的数量不多于负整数的数量。因此，有理数的数量不多于整数的数量。又因为有理数集合包含整数集合，所以：有理数的数量不少于整数。那么整数与有理数一样多，从而自然数与有理数一样多。2.自然数和有理数一样多“有理数和无理数哪个多？”可以如下思考：（1）一个无理数加上任何一个有理数均为无理数，这些无理数与有理数就一样多。因此，无理数集不少于有理数集。（2）假设：有理数与无理数一样多。那么有理数与无理数均与整数一样多，也可以说它们与自然数一样多，即都是可列集合。实数集合是有理数集与无理数集的并集合，两个可列集合的并集合仍为可列集合，从而可以推导出一个结论：3无理数比有理数多0~1间的所有实数有无穷多，所以，0~1间的所有实数有无穷多不比自然数少。如果自然数与实数一样多，0~1间的所有实数有无穷多也就与自然数一样多。自然数与实数一样多。假如“0~1间的所有实数与自然数一样多”，0~1间的所有的实数编个号一一列出吧！0~1间的所有实数与自然数一样多吗？0~1之间的所有实数与自然数不一样多。我们再次运用了反证法，就证明了无理数与有理数不一样多。再换句话说，无理数比有理数多，而且多得多！这说明我们又构造了一个0~1之间的不同于r1，r2…rn……的新实数r，这与“r1，r2…rn……是0~1之间的所有实数”矛盾。问题研究（1）证明实数与无理数一样多。（2）在小学教学中，比较5与4的“多与少”要注意什么？认识无穷多目录“无穷多”能实证和感知吗？“无穷多”到底是多少？“无穷多”的存在性案例。01

“无穷多”能实证和感知吗？我们常在课堂上听到：“线段上有画不完的点，所以，线段上有无穷多个点。”也常听到疑惑的声音：“有限的线段上怎能画出无限多的点？铅笔削得再尖,只要不停地画下去,最后肯定会画满的！”在现实中，你能在线段上画出一个没有“大小”的点吗？数学点和线（包括直线、射线、线段），和现实生活中的点和线是不相同的。数学中的点和线是由现实中的点和线抽象而成，但在现实中却是找不到数学中的点和线。如果点有“大小”，有限的线段就不可能画出无穷多个点。“无穷多”能实证和感知吗？如果就算能画出1万个，10万个点，也还是有限的。8万亿个点，课堂上能画完不？“画不完”也不能等同于“无穷多”。“线段上有无穷多个点”不能实证和感知，只能想象。想用实证的方法来验证无穷多个，只会是缘木求鱼、南辕北辙。那我们怎么说明“线段上确实有无穷多个点”呢?02“无穷多”到底是多少？提到“无穷多”或“无穷大”的概念，你首先想到的是什么呢？是浩瀚的宇宙？还是永远数不到头的数？相信大家都认可：“要多少有多少，没完没了，无穷无尽…”才能算无穷多。“无穷多”到底是多少？当我们从1开始数2，3，4，5，6……的时候，我们想象得到自然数是无尽头的。无论数到一个多么大的数，永远都会有很多比它大的后继数，不会有“最后的自然数”。因此，存在着无穷多的自然数。基于自然数无限性，我们对“无穷多”的深入认识：与自然数“一样多”或者比自然数还要多就是无穷多。“无穷多”到底是多少？如果一个集合A与自然数集合N能建立“一一对应”关系（A的元素个数与自然数一样多），或者集合A的一个子集合（部分）与自然数集合N能建立“一一对应”关系（A的元素个数不少于自然数的个数），我们也可以说A元素个数是无穷多。03“无穷多”的存在性案例基于自然数无限性可以直接得到：有理数，实数有无穷多个。因为自然数集合是有理数集合、实数集合的子集合；偶数集合、奇数集合、3的倍数集合，12与25公倍数的集合有无穷多个元素。

1.直接证明存在“无穷多”

案例1：线段上有无穷多个点

2.用反证法来间接证明存在“无穷多”假设只有k个质数，设它们是p1,p2,……,pk。构造一个大于1的整数，N=p1p2…pk+1由算术基本定理可知，N可以唯一分解为质因数的乘积，因而，N至少有一个质因数pi，pi整除N。

pi是p1p2…pk的因数，所以，pi整除乘积p1p2…pk。由整除的性质，pi整除差N-p1p2…pk,即pi整除1，“质数是1的因数”是不可能的，从而得出矛盾。所以质数不可能是有限个。案例2：证明质数有无限多个等问题研究（1）证明：不论是大圆还是小圆，它们的半径一样多，而且都是无穷多。（2）证明：根号2是无限不循环小数。有限集合与无限集合有限集合有限集合是由有限个元素组成的集合，也称有穷集合。只含一个元素的集合是一种特殊的有限集合。叫做单元素集合。至少含有一个元素的集合叫做非空集合。不含任何元素的集合叫做空集，空集只有一个，一般用希腊字母Φ（或{}）来表示。空集不含有与其自身对等的真子集合的集合（包括空集合），都是有限集合，反之亦然。“部分≠全体”是有限集合的基本特征。有限集合的特征有限集合相关性质有限集合的基本性质：2.有限集合的任一子集合是有限集合。3.有限集合A的元素个数永远大于它的真子集合B的元素个数。4.两个有限集合的并集合还是有限集合。1.有限集合不能与它的任何真子集合对等。无限集合无限集合是由无穷多个元素组成的集合，也称无穷集合。相信大家都认可：“要多少有多少，没完没了，无穷无尽…”才能算无穷多。自然数一个最重要的特性肯定是：自然数是无限集合。含有与其自身对等的真子集合的集合，都是无限集合，反之亦然。“部分=全体”是无限集合的基本特征。无限集合的特征无限集合相关性质无限集合的基本性质：2.包含无限集合的任一集合是无限集合。3.无限集合A的“元素个数”可能等于它的真子集合B的“元素个数”。4.两个无限集合的并集合还是无限集合。1.无限集合能与它的某些真子集合对等。自然数：0，1，2，3，4，5……集合A：a0，a1，

a2，

a3，

a4，

a5……与自然数集合能建立“1-1”对应的无限集合，我们称之为可列集合。可列无限集合自然数：0，1，2，3，4，5……偶数：0，2，4，6，8，10

……偶数集合是可列集合可列无限集合Hilbert的旅馆德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。Hilbert让1号房客搬到2号房，让2号房客搬到3号房，让3号房客搬到4号房······这时1号房间就空出来了，让新客人住进1号房。如果来了5位新客人，这个问题能解决吗？能！因为集合{6，7，8，9，10，…}与自然数集合可以建立一一对应。类似的，来了任意有限多位新客人，这个问题都能解决！但是又来了可列的无限的新客人，还能安排吗？Hilbert让1号房客搬到2号房，让2号房客搬到4号房，让3号房客搬到6号房······这时所有奇数号房间都空出来了，即有可列无穷多的房间被空