2023学年完整公开课版切线长定理2

3.7切线长定理第三章圆BS九(下)教学课件1.理解切线长的概念；2.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重点）学习目标POO.PBAAB

通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？

过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示）！直径所对的圆周角是直角.复习引入问题1问题2P1.切线长的定义：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．AO①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．2.切线长与切线的区别在哪里？切线长的定义新课讲解1切线长定理BPOA

在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？

PA=PB，∠APO=∠BPO新课讲解2问题猜测如图，连接OA，OB.∵PA，PB与☉O相切，点A，B是切点,∴OA⊥PA，OB⊥PB

即∠OAP=∠OBP=90°.∵OA=OB，OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.BPOA新课讲解推导与验证切线长定理:

过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.PA、PB分别切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB几何语言:注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.BPOA归纳总结BPOA

1.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP=

;（2）若∠BPA=60°,则OP=

.56新课讲解练一练2.PA、PB是☉O的两条切线，A、

B为切点，直线OP交☉O于点D、

E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（2）写出图中与∠OAC相等的角；BPOACED∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.新课讲解△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP△AOB（3）写出图中所有的全等三角形；BPOACED新课讲解OPABCED解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.∠AOB=360°－∠PAO－∠PBO－∠P=140°.

⑴△PDE的周长是

；

如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则⑵∠DOE=____.新课讲解例1又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB.l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.OPABCED∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，∴∠DOC=∠DOA=∠AOC.同理可得∠COE=∠COB.∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=70°.新课讲解切线长问题辅助线添加方法（3）连接圆心和圆外一点.（2）连接两切点；（1）分别连接圆心和切点；归纳总结

△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=xcm，则AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=(9－x)cm，

BF=BD=AB-AF=(13－x)cm.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ACBEDFO新课讲解例2由

BD+CD=BC，可得

(13－x)+(9－x)=14，∴AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得

x=4.ACBEDFO新课讲解

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,☉O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径

r.∵☉O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD.解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.ACB·EDFO新课讲解例3设AD=x,BE=y,CE＝r

则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解得r＝a＋b－c2新课讲解B·EDFOAC

设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径r＝或r＝(前面课时已证明).a＋b－c2aba＋b＋c新课讲解知识与拓展20°41.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO=

,PB=

.BPOA第1题随堂即练110°2.如图，已知点O是△ABC

的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=

.ABCO随堂即练3.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别为A、B，点

C在☉O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．20随堂即练4.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点为A、B,∠P=50°，点C是☉O上异于A、B的点，则

∠ACB=

.65°或115°BPOA第3题随堂即练5.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是

.ABCFEDO第3题30随堂即练拓展提升：6.直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,试问：(1)它的外接圆半径是

cm;内切圆半径是

cm？(2)若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O的半径r的取值范围.·ABCEDFO51能力拓展解：设BC=3cm，由题意可知与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则