七年级数学上册专题07 一元一次方程的定义(解析版)（重点突围）

/专题07一元一次方程的定义考点一判断各式是否是方程考点二列方程考点三方程的解考点四等式的性质考点五一元一次方程的概念考点六利用一元一次方程的概念求字母的值考点一判断各式是否是方程例题：（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】C【分析】根据方程的定义即可一一判定．【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，①是方程；②，不含有未知数，故不是方程；③不是等式，故不是方程；④是方程；⑤是方程；⑥不是等式，故不是方程；故方程有：①④⑤，故选：C．【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据方程的定义即可求出答案．【详解】解：∵方程是指含有未知数的等式，∴只有B选项是方程，故选B．【点睛】本题考查方程的定义，解题的关键是熟练运用方程的定义．2．（2022·河南三门峡·七年级期末）在①；②；③；④中，方程共有（

）A．1个 B．3个 C．2个 D．4个【答案】C【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答．【详解】解：方程有③；④，故选：C．【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键．考点二列方程例题：（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x的少2”列出方程是（

）A．3x+5=+2 B．3x+5=-2C．3（x+5）=-2 D．3（x+5）=+2【答案】B【分析】仔细审题，x的3倍即是3x，x的即是，由此根据可列出方程．【详解】解：x的3倍与5的和是3x+5，比x的少2是，所以由题意可列方程为：，故选：B．【点睛】本题考查列一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·一模）在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10℃．某日地表温度是18℃，地下某处A的温度是25℃．设A处在地表以下x千米，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意列出方程即可．【详解】解：∵A处在地表以下x千米，每下降1km温度就上升约10℃∴从地表到地下x千米要增加10x℃．∵地表温度是18℃，地下某处A的温度是25℃，∴．故选：A．【点睛】本题考查列方程，正确理解题意是解题关键．2．（2022·湖南株洲·七年级期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．【答案】【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12故答案为：3x﹣7＝12．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．考点三方程的解例题：（2022·福建泉州·七年级期末）下列方程中，解是的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将分别代入选项，能使等式依然成立的即为正确答案．【详解】A、，故A选项错误，不符合题意；B、，故B选项错误，不符合题意；C、，故C选项正确，符合题意；D、，故D选项错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程验证是解题关键．【变式训练】1．（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）已知是关于x的方程的解，则a的值是（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】C【分析】直接利用方程的解的定义代入求解即可．【详解】解：∵是关于x的方程的解，∴，解得，故选：C【点睛】本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键．2．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知是方程的解，则______．【答案】5【分析】将代入方程，求出a即可．【详解】解：把代入方程得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．考点四等式的性质例题：（2022·河北·安新县第二中学七年级阶段练习）下列等式的变形不正确的是（）A．若2a﹣3＝b﹣3，则2a＝b B．若x＝y，则C．若（m2+1）a＝﹣（m2+1），则a＝1 D．若mx＝my，则1﹣mx＝1﹣my【答案】C【分析】根据等式的基本性质，等式两边同时加上或者减去同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，以此判断即可得出正确选项．【详解】A、若2a﹣3＝b﹣3，等式两边同时＋3，则2a＝b，选项正确，不符合题意；B、若x＝y，因为，等式两边同时除以，则，选项正确，不符合题意；C、若（m2+1）a＝﹣（m2+1），因为，等式两边同时除以，则a＝-1，选项错误，符合题意；D、若mx＝my，则等式两边×（-1），得﹣mx＝﹣my，两边同时+1，则1﹣mx＝1﹣my，选项正确，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了等式基本性质的理解，熟练掌握等式的基本性质是本题的关键．【变式训练】1．（2022·河南·南阳市第九中学校七年级阶段练习）下列方程变形正确的是（

）A．由4＋x＝7得x＝7＋4 B．由3x﹣2（x﹣1）＝8得3x﹣2x﹣2＝8C．由5x＝﹣6得x＝﹣ D．由＝2得8x﹣7（x﹣1）＝112【答案】D【分析】根据等式基本性质和去括号法则逐项进行判断即可．【详解】解：A、左边减4，右边加4，故A不符合题意；B、括号前是负数去括号都变号，故B不符合题意；C、两边除以不同的数，故C不符合题意；D、方程＝2两边都乘以56，可得8x﹣7（x﹣1）＝112，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则，熟练掌握等式基本性质，是解题的关键．2．（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）以下等式变形不正确的是（

）A．由，得到 B．由，得到C．由，得到 D．由，得到【答案】D【分析】根据等式的性质等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．【详解】解：A、两边都加2，等式仍成立，故A正确，不符合题意；B、两边都加3，等式仍成立，故B正确，不符合题意；C、两边都乘以a，等式仍成立，故C正确，不符合题意；D、当a≠0时，等式才成立，故D错误，符合题意.故选：D．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．考点五一元一次方程的概念例题：（2021·山东·单县湖西学校七年级阶段练习）下列是一元一次方程的是（

）A．2＝3－1 B． C．x＋1＝5 D．－2【答案】C【分析】根据一元一次方程的通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0），进行判断即可．【详解】解：A．2=3-1，没有未知数，不是方程，故本选项不合题意；B．，不是方程，故本选项不合题意；C．x+1=5是一元一次方程，故本选项符合题意；D．-2不是方程，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义和一般形式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）下列各式中：①x2－4x=3；②3x－1=；③x+2y=1；④xy－3=5；⑤5x－x=3，是一元一次方程的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①x2－4x=3中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；②3x－1=符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；③x+2y=1中含有两个未知数，不是一元一次方程；④xy－3=5中含有两个未知数，不是一元一次方程；⑤5x－x=3符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；综上分析可知，是一元一次方程的有2个，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，是一元一次方程．2．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）下列方程中，一元一次方程共有(

)个①4x-3=5x-2；②3x-4y=5；③3x+1=；④+=0；⑤；⑥x-1=12A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据一元一次方程的定义得出即可．【详解】解：①4x−3＝5x−2，是一元一次方程，符合题意；②3x-4y=5，含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意；③3x＋1＝，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意；④+=0，是一元一次方程，符合题意；⑤，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意；⑥x−1＝12，是一元一次方程，符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．考点六利用一元一次方程的概念求字母的值例题：（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）若关于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为（）A．2 B．1 C．0 D．0或2【答案】A【分析】根据一元一次方程的概念列出方程及不等式求解．【详解】∵关于x的方程是一元一次方程，∴，且，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川·安岳县兴隆初级中学七年级期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是______．【答案】1【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可．【详解】解：根据题意得：且m＋1≠0，解得：m＝1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．2．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）若关于x的方程是一元一次方程，则m的值是__．【答案】【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程）即可求出答案．【详解】解：根据题意可得：，解得：m=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．一、现在题1．（2022·重庆黔江·七年级期末）下列方程中解是的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把x=2代入方程，判断方程的左右两边是否相等，若是方程的解则左右相等，若不是则一定不相等．【详解】解：A、把x=2代入方程得：左边=6+6=12≠右边，则x=2不是方程的解，故A选项错误；B、把x=2代入方程得：左边=-4+4=0=右边，则x=2是方程的解，故B选项正确；C、把x=2代入方程得：左边=1≠右边，则x=2不是方程的解，故C选项错误；D、把x=2代入方程得：左边=4+4=8≠右边，则x=2不是方程的解，故D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．2．（2021·辽宁·葫芦岛市实验中学七年级阶段练习）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据等式的基本性质逐项判断即可．【详解】A．两边都乘以，结果不变，故A正确，不符合题意；B．两边都乘以，结果不变，故B正确，不符合题意；C．当等于零时，除以无意义，故C错误，符合题意；D．因为，故等式两边可都除以，结果不变，故D正确，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查等式的基本性质．掌握等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立是解题关键．3．（2022·河南周口·七年级期末）已知关于x的方程的解是，则a的值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．【详解】解：根据题意得：，解得：a=1，故选：C．【点睛】本题主要考查了方程解的定义，掌握将方程的解代入原方程是解题的关键．4．（2022·福建泉州·七年级期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（

）A．2 B．－3 C． D．1【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），即可求解．【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，∴，解得．故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．5．（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校七年级期中）下列方程①－x=3

②3x－2y=4

③+x=3x

④x－6=2x⑤x－1=+1

⑥x=1

⑦3x－2=3(2+x)

中是一元一次方程的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．【详解】因为①－x=3不是一元一次方程，②3x－2y=4不是一元一次方程，③+x=3x不是一元一次方程，④x－6=2x是一元一次方程，⑤x－1=+1是一元一次方程，⑥x=1是一元一次方程，⑦3x－2=3(2+x)整理后不含未知数，不是一元一次方程，故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义即含有一个未知数且未知数的次数是的整式方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．二、填空题6．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级阶段练习）在3x+y=6中，用含x的代数式表示y，则y=_________．【答案】y=6-3x【分析】根据等式的基本性质：等式两边同时加或减去同一个代数式，等式仍然成立，据此求解即可．【详解】解：3x+y=6等式两边同时减去3x，得y=6-3x．故答案为：y=6-3x．【点睛】此题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．7．（2022·湖南·七年级单元测试）若是关于x的一元一次方程，则________．【答案】1【分析】把只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程称为一元一次方程，根据一元一次方程的概念即可完成解答．【详解】由题意得：3－2a=1，解得：a=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，把握一元一次方程的概念要注意三点：①只含一个未知数，即一元；②未知数的次数是1，即一次；③方程两边都是整式．8．（2022·安徽安庆·七年级期末）临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为______．【答案】0.8x-10=0.6x+50【分析】设该商品的原售价为x元，然后根据成本不变列出方程即可．【详解】解：设该商品的原售价为x元，根据题意得：0.8x-10=0.6x+50，故答案为：0.8x-10=0.6x+50．【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，弄清题中的等量关系是解本题的关键．9．（2022·青海·西宁市教育科学研究院七年级期末）已知是关于x的方程的解，则a=_______．【答案】-1【分析】由题意得，进行计算即可得．【详解】解：∵x=1是关于x的方程的解，∴故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关键是掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是一元一次方程的解．10．（2022·全国·七年级专题练习）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一个一元一次方程，则a等于______．【答案】-4【分析】根据一元一次方程的定义进行计算即可．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）【详解】解：由题意得：|a|-3=1且a-4≠0，∴a=±4且a≠4，∴a=-4，故答案为：-4．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·七年级课时练习）根据下列问题，设未知数并列出方程：（1）用一根长的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？（2）一台计算机已使用，预计每月再使用，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间？（3）某校女生占全体学生数的，比男生多80人，这个学校有多少学生？【答案】（1）设正方形的边长为，；（2）设x月后这台计算机的使用时间达到，；（3）设这个学校的学生数为x，【分析】（1）设正方形的边长为，根据正方周长公式列方程即可；（2）设x月后这台计算机的使用时间达到，那么在x月里这台计算机使用了，列出方程即可；（3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为，男生数为，根据女生比男生多80人列方程即可．【详解】解：（1）设正方形的边长为．列方程：；（2）设x月后这台计算机的使用时间达到，那么在x月里这台计算机使用了．列方程：；（3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为，男生数为．列方程：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，读懂题意，列出方程是解题的关键．12．（2022·河北·巨鹿县实验中学七年级阶段练习）已知是方程的解．（1）求m的值．（