新教材数学人教B版练习11-4-2-2平面与平面垂直的性质

第2课时平面与平面垂直的性质必备知识基础练进阶训练第一层知识点一垂直关系的转化，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：(1)若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.其中正确的命题为()A．(1)(2)B．(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ知识点二平面与平面垂直的性质定理3．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.4．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.知识点三平行关系、垂直关系的综合5．如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.6．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．如图所示，三棱锥P­ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则()A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A­BCD，则在四面体A­BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC3．已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是()①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.A．4B．3C．2D．14．(探究题)如图，A，B，C，D为空间四点，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，等边三角形ADB以AB为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D．15．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为eq\f(π,4)和eq\f(π,6).过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB：A′B′等于()A．2：1B．3：1C．3：2D．4：36．如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°二、填空题7．如图所示，三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则侧面与底面所成的二面角的大小为________．9．如图，在三棱锥P­ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.三、解答题10．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面四个结论中正确的是()A．BC∥平面AGFB．EG⊥平面ABFC．平面AEF⊥平面BCDD．平面ABF⊥平面BCD2．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)3．(学科素养——直观想象)如图1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，点E是线段AM的中点．(1)求四棱锥D­ABCM的体积；(2)求证：平面BDE⊥平面ABCM；(3)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由．第2课时平面与平面垂直的性质必备知识基础练1．答案：B解析：对于(1)，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正确；对于(2)，如图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB.故(2)不正确；对于(3)，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β.故(3)正确．2．答案：C解析：由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m′，则m′∥m，由于m⊥β，故m′⊥β，又m′⊂α，则α⊥β，所以C正确．3．证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.4．证明：(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.5．证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.6．证明：(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG.∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，∵CD＝3PE，∴FG＝2PE，FG∥CD.∵CD∥AB，AB＝2PE，∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，∴BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，∴BF∥平面ADP.(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM.∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE，∴FM∥PD.∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，∵AM∩FM＝M，AM，FM⊂平面AMF，∴BD⊥平面AMF，∴BD⊥平面AOF.关键能力综合练1．答案：B解析：∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC.2．答案：D解析：由题意得，BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ADC，∴平面ABC⊥平面ADC.3．答案：C解析：①设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题．4．答案：B解析：取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.由已知可求得DE＝eq\r(3)，CE＝1，故在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋CE2)＝2.5．答案：A解析：由已知条件可知∠BAB′＝eq\f(π,4)，∠ABA′＝eq\f(π,6)，设AB＝2a，则BB′＝2asineq\f(π,4)＝eq\r(2)a，A′B＝2acoseq\f(π,6)＝eq\r(3)a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB：A′B′＝2：1.6．答案：D解析：∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.7．答案：直角解析：设P在平面ABC上的射影为O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形．8．答案：60°解析：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则底面边长为2eq\r(3)，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为eq\r(3)，故所求的二面角为60°.9．答案：eq\r(5)解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).10．证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，PB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.学科素养升级练1．答案：ABD解析：∵F，G分别是CD，DB的中点，∴GF∥BC，则BC∥平面AGF，故A正确；∵E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，∵EG∥CD，∴EG⊥平面ABF，故B正确；∵E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，∵CD⊂平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD，故D正确；对于选项C，假设平面AEF⊥平面BCD，由平面AEF∩平面BCD＝AF，CD⊂平面BCD，CD⊥AF，∴CD⊥平面AEF，CD⊥EF，与CD，EF夹角为60°矛盾，故C错误．故选ABD.2．答案：②④解析：因为PA⊂平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO⊄平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．3．解析：(1)由已知DA＝DM，E是AM的中点，∴DE⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴DE⊥平面ABC