2023学年完整公开课版聚焦中考26讲

人教数学第六章图形的性质(二)第26讲圆的弧长和图形面积的计算要点梳理

1．弧长及扇形的面积(1)半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式：

；(2)半径为r，n°的圆心角所对的扇形面积公式：_

．要点梳理

2．圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧＝；(2)圆锥全面积公式：S圆锥全＝．πrlπrl＋πr2要点梳理

3．求阴影部分面积的几种常见方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法．一种联系圆锥的侧面是一个扇形，因而其面积是一个扇形的面积，其扇形的半径是圆锥的母线，弧长是底面的周长．在求圆锥侧面积或全面积的时候，常需要借助于它的展开图进行分析，因此理清圆锥与它的展开图中各量的关系非常重要，下面图示可以帮助我们进一步理解它们之间的关系．一种转化最短距离问题，通常借助于展开图来解决．在将立体图形转化为平面图形后，应把题中已知条件转化到具体的线段中，最后构造直角三角形解题．两个技巧(1)求运动所形成的路径长或面积时，关键是理清运动所形成图形的轨迹变化，特别是扇形，需要理清圆心与半径的变化；(2)处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．三个等量关系(1)展开图扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长；(2)展开图扇形的面积＝圆锥的侧面积；(3)展开图扇形的半径＝圆锥的母线．1．(2014·宜昌)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则AB︵的长为(

)

A．π

B．6π

C．3π

D．1.5π

D2．(2014·牡丹江)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，则S阴影＝(

)

A．π

B．2π

C.233

D.23π

D3．(2014·绍兴)如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为(

)

A.34π

B.32π

C.34

D.32

B4．(2014·成都)在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6cm，则扇形OAB的面积是(

)A．6πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．24πcm2C弧长公式的应用【例1】

(2013·遵义)如图，将边长为1

cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动(不滑动)，点B从开始到结束，所经过路径的长度为(

)

A.32π

cm

B．(2＋23π)cm

C.43π

cm

D．3

cm

C5．(2014·河北)如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S阴影S空白＝(

)

A．3

B．4

C．5

D．6

C【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，从开始到结束经过两次翻动，求出点B两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．注意熟练掌握弧长的计算公式．1．(2014·龙东)一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10

cm，底面圆的直径是5

cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米(接口处重合部分忽略不计)(

)

A．10π

cm

B．102

cm

C．5π

cm

D．52

cm

B扇形面积公式的运用【例2】如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65cm，DO＝15cm，当BD绕点O旋转90°时，求刮雨刷BD扫过的面积．解：在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，

OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积为扇环的面积，即S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD＝14π(OA2－OC2)＝

14π×(652－152)＝1000π(cm2)

【点评】

阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补．此题可利用图形的割补，把△OAC放到△OBD的位置．扇形面积公式和弧长公式容易混淆．S扇形＝n360πR2＝12lR.

2．(2014·莱芜)如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为(

)

A．π

B．2π

C.π2

D．4π

B圆锥的侧面展开图【例3】

(1)(2014·黔南州)如图，圆锥的侧面积为15π，底面圆半径为3，则该圆锥的高AO为(

)A．3B．4C．5D．15B(2)(2014·牡丹江)如图，如果从半径为3

cm的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径是____cm.

2【点评】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形．3．现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，求剪去的扇形纸片的圆心角度数．解：∵圆锥的母线长为40，底面半径为10，∴圆锥展开图的圆心角＝2040×180°＝90°，∴剪去扇形纸片的圆心角度数＝360°×30%－90°＝108°－90°＝18°

求阴影部分的面积【例4】

(2014·黔西南州)如图，点B，C，D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B＝∠A＝30°，BD＝23.

(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求由线段AC，AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用．4．(2014·河南)如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC′，则图中阴影部分的面积为．试题

扇形的半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，求圆锥的侧面积是多少？

错解

解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l.

∵120360πr2＝πrl，∴120360π×302＝π×30×l，解得l＝10，∴S侧面积＝πr×l＝300π(cm2)．

剖析

上述解法混淆了圆锥底面半径和扇形半径，看上去好像答案是正确的，这只不过是题设中数据的一种巧合而已．圆锥底面半径≠扇形半径，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，面积S圆锥侧＝12(2πr)·l＝πrl，S圆锥表＝πr2＋πrl