《专项练习》2023学年八年级上册（人教版）推理能力课之轴对称综合重难点专练（解析版）

更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：专题10推理能力课之轴对称综合重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可．【详解】解：如图所示：A、B、C、P为轴对称图形，共有4个这样的点P．答案：B．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的定义是解题关键．2．是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y轴翻折，得到，则点B对应点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据网格求出点B坐标，向下平移2个单位，点B的横坐标不变，纵坐标减2得对应点B1的坐标，再沿y轴翻折，横坐标变为相反数，纵坐标不变即可得出点B′（-4，3）．【详解】解：∵点B坐标为（4，5）向下平移2个单位，得点B对应点的坐标B1（4，5-2），即B1（4，3），再沿y轴翻折，点B′（-4，3），故选择A．【点睛】本题考查根据平面直角坐标系写出点的坐标，平移的性质，轴对称性质，掌握平面直角坐标系点的坐标构成，平移的性质，轴对称性质是解题关键．3．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（）A．0 B．5C．6 D．7【答案】B【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接，如图，∵是P关于直线l的对称点，∴直线l是的垂直平分线，∴∵是P关于直线m的对称点，∴直线m是的垂直平分线，∴当不在同一条直线上时，即当在同一条直线上时，故选：B【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键4．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（）A．19 B．28 C．29 D．38【答案】B【分析】连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长．【详解】解：连接BD、DC，∵AD平分∠BAC，，∴DE=DF，∵AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF=9，∵DG垂直平分BC，∴BD=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE=CF，的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．5．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．【详解】解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,在△ACD和△AED中∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ACD≌△AED（AAS）∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；选项B，只有AE=EB时，才符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．6．在中，，，点是边上一定点，此时分别在边，上存在点，使得周长最小且为等腰三角形，则此时的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，先作分别关于，对称的三角形，以及的对称点，，找到周长最小的条件即、M、N、共线时，进而设，，，，通过各边关系列出方程，解出x，即可求得的值.【详解】如图作分别关于，对称，得，，以及的对称点，，则，，所以、M、N、共线时，周长最小。作、、关于的垂线，垂足为、、，由梯形的性质，得，在中，，设，，，，则由，，令，由，得，所以，即，化简得，所以，又因为平分，故，所以，若，则，解得（负根舍去），此时，同理可知，若或均可得，所以，故选B【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及轴对称的应用。根据题意正确的做出对称图形是本题的关键.7．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到CM+MN的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解．【详解】解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则

∵BD平分∠ABC，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=，∴根据两点之间线段最短可得CM+MN的最小值为，即C点到线段AB某点的连线，∴根据垂线段最短，CM+MN的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，∵△ABC的面积为10，∴，∴CE=5，故选B．【点睛】本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是解题关键．8．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在点P运动的过程中，P与E重合时有最小值．【详解】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB，∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故选：A【点睛】本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．二、填空题9．如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________．【答案】【分析】作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，即可得出∠BOD=∠BOD′，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠ODF′，由∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°．【详解】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，∴2∠AOB+∠GDF=180°，故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．10．如图，直线l为线段的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是____．【答案】【分析】根据全等三角形的判定直接写出条件即可【详解】证明：添加：，理由如下：∵直线l为线段的垂直平分线∴AC=CB,∠ACE=∠BCF又∴（SAS）故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定是关键11．如图，的斜边在x轴上，，C在第一象限，，是线段上的动点，过点P作的垂线a，以直线a为对称轴，线段进行轴对称变换后得线段．（1）当点和点C重合时，m的值为______________．（2）当线段与线段没有公共点时，m的取值范围是___________．【答案】或【分析】（1）根据折叠的性质可知，当点与点重合时，点是的中点，过点作于点，求出和的长，依此可得点坐标，再根据中点坐标公式即可求解；（2）分线段在线段的上面和线段在线段的下面两种情况讨论即可求解．【详解】解：（1）过点作于点．在中，，，，，在中，，，，点坐标为，，点坐标为，当点与点重合时，点坐标为，，的值为；（2）线段在线段的上方，，，，，则；线段在线段的下方，．综上所述，或．故答案为：；或．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，中点坐标公式，以及分类思想的运用．12．将一条两边互相平行的纸带沿折叠，如图（1），，，设（1）_______（用含x的代数式表示）（2）若将图1继续沿折叠成图（2），________（用含x的代数式表示）．【答案】【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得，，最后计算出；（2）由折叠和平角的定义求出，再次折叠经计算求出．【详解】解：（1）如图1所示：，，，又，，又，，又，；（2）如图2所示：，，又，故答案为：（1）；（2）．【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义和角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．13．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则___________度．【答案】230【分析】将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，根据平行线的性质得：∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：∠FDC+∠FDM=180°，可得x的值，从而得结论．【详解】解：如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，则∠DAB=x+10°，∵CD∥AB，∴∠ADM=∠DAB=x+10°=∠ADF，∵DF∥CG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，∴2x+2（x+10°）=180°，x=40°，∴3∠DAB+2∠ABC=3（x+10°）+2x=5x+30°=230°，故答案为：230．【点睛】此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．14．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：________；(只填写序号)【答案】①②④【分析】根据折叠的全等性质,垂直平分线的性质,平行线的判定定理,外角的性质等判断即可【详解】解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，∴∠1=∠2，A=AC，DC=D，∴AD垂直平分C′C；∴①，②都正确；∵B＝D，DC=D，∴B＝D=DC，∴∠3=∠B，∠4=∠5，∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC；∴③错误；根据折叠的性质，得∠ACD=∠AD=∠B+∠3=2∠3，∵∠ACB的角平分线交AD于点E，∴2（∠6+∠5）=2∠B，∴∴D∥EC∴④正确；故答案为：①②④.【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各种基本性质是解题的关键.15．如图，点F，G是长方形ABCD边AD上两点，点H是边CD上的点，连接BF，GH，分别将△ABF，△GDH沿BF，GH翻折，点A，D恰好都与对角线上的点E重合，若∠ABF＝25°，则∠EHC＝___．

【答案】100°【分析】由△ABF沿BF翻折，∠ABF=25°，可得∠ABD=50°，∠ADB=40°，再由△GDH沿GH翻折，可得∠DGH=50°，∠GHD=40°，则∠DHE=80°，所以∠EHC=180°-80°=100°．【详解】解：∵将△ABF沿BF翻折，∴∠ABF=∠EBF，∵∠ABF=25°，∴∠EBF=25°，∴∠ABD=50°，∴∠ADB=40°，∵将△GDH沿GH翻折，∴∠DHG=∠EHG，GD=GE，GH⊥ED，∴∠DGH=50°，∴∠GHD=40°，∴∠DHE=80°，∴∠EHC=180°-80°=100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查了折叠问题，长方形的性质，熟练掌握折叠中角的相等关系是解题的关键．16．如图将长方形纸片沿直线折叠，点A、B分别对应点E、F，再将折叠后的四边形沿着射线的方向平移，点F恰好与点C重合后停止，平移后的四边形为四边形，要使，则的度数为__________．【答案】【分析】先求出的度数，由平移得FN∥，求出的度数，再利用翻折的性质求出答案．【详解】解：∵，，∴，由平移得FN∥，∴，由翻折得∠BNM=∠FNM，∴．故答案为：．【点睛】此题考查翻折的性质，平移的性质，长方形的性质，熟记各性质并综合运用解决问题是解题的关键．17．如图，点，分别为长方形纸片的边，上的点，将纸片沿翻折，点，分别落在点，处．下列结论一定正确的有________（填序号即可）．①；②；③；④若的度数比的倍还多，则的度数为．【答案】①③【分析】利用平行线的性质及翻折的性质判断①；利用平行线的性质判断②；利用翻折的性质及即可判断③；设，则，根据题意列得，求出x的值即可得到判断④．【详解】解：由题意得AB∥CD，∴，由折叠得，∴，故①正确；∵AB∥CD，∴，∵∥，∴，∴，故②错误；由翻折得．∵．∴，故③正确；设，则，∴，解得，∴，故④错误；故答案为：①③．【点睛】此题考查平行线的性质，翻折的性质，列一元一次方程解决问题，熟记平行线的性质及翻折的性质是解题的关键．18．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．【答案】【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．【详解】解：平分，平分，，，，即；如图，连接．点是这个三角形三边垂直平分线的交点，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．19．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是____________．【答案】(0，3)【分析】由题意根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4，则B′E=4，即B′E=AE，∵C′O∥AE，∴B′O=C′O=3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故答案为：（0，3）．【点睛】本题主要考查利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题的关键．20．如图，在四边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为______．【答案】【分析】延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、，此时周长最小，推出，进而得出的度数．【详解】解：延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、．，、关于对称，、关于对称，，，，同理：，，，、M、N、在同一直线上时△AMN的周长最小，，，，，，．，故答案为：．【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，1），C（2，4）．（1）在平面直角坐标系中描出点A，B，C，并作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如果将△ABC向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A2B2C2，直接写出，B2，C2的坐标，（3）求△A2B2C2的面积；【答案】（1）见解析；（2）；（3）9【分析】（1）根据A、B、C三点坐标描出各点即可；依据轴对称的性质，作出对称点，顺次连接各点即可得出△A1B1C1；（2）依据平移性质，可得到△A2B2C2，进而可得到，B2，C2的坐标；（3）依据网格特点，利用割补法和三角形面积公式求解即可．【详解】（1）如图所示；（2）作出△A2B2C2，如图所示，则；（3）由图象可知，△A2B2C2的面积．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、坐标与图形变换-平移、三角形的面积公式，作图时找到图形的关键点是解答的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并填空．（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为；（2）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并写出点F的坐标为．【答案】（1）画图见解析，（2，﹣4）；（2）画图见解析，（0，4）【分析】（1）根据平移的性质即可得线段CD；（2）作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点F，由图即可知点F的坐标．【详解】解：（1）如图线段CD即为所求；根据平移可知：点D的坐标是（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）；（2）作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点F，由图知点F的坐标为F（0，4）．故答案为：（0，4）．【点睛】本题考查了作图-平移变换，轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是根据平移的性质作出线段CD．23．在平面直角坐标系中，对于点M（a，b），N（c，d），将点M关于直线x＝c对称得到点M′，当d≥0时，将点M′向上平移d个单位，当d＜0时，将点M′向下平移|d|个单位，得到点P，我们称点P为点M关于点N的对称平移点．例如，如图已知点M（1，2），N（3，5），点M关于点N的对称平移点为P（5，7）．（1）已知点A（2，1），B（4，2），①点A关于点B的对称平移点为（直接写出答案）．②若点A为点B关于点C的对称平移点，则点C的坐标为．（直接写出答案）（2）已知点D在第一、三象限的角平分线上，点C的横坐标为m，点E的坐标为（1.5m，0）．①点K为点E关于点D的对称平移点，若以D，E，K，O为顶点的四边形围成的面积为6，求m的值；②点E向右平移1个单位得到点F，点E向右平移6个单位得到点l，以EF一边向上作正方形EFGH，以F一边向上作正方形FIMN，点P为正方形EFGH的边上的一个动点，在点P运动过程中，若D点关于P点的所有对称平移点都在正方形FIMN的内部或边上，请直接写出m的取值范围．【答案】（1）①（6，3）；②(3,-1)；（2）①；②或【分析】(1)①根据点P为点M关于点N的对称平移点的定义，画出图形，可得结论；②根据点P为点M关于点N的对称平移点的定义画出图形，可得结论；(2)①分两种情形:，根据梯形的面积公式，构建方程求解即可；②分两种情形构建不等式组求解即可．【详解】(1)①如图1中，点A关于点B的对称平移点P为（6，3），故答案为:（6，3）②如图1中，∵点A为点B关于点C的对称平移点，∴点C的坐标为(3,-1)，故答案为:(3,-1)（2）如图2中，①当m>0时，四边形OKDE是梯形，∵∴当或（舍弃）当时，同理可得综上所述，m的值为：；②当时，m必须满足解得当m<0时，同法可得综上所述，满足条件的m的值为或【点睛】本题属于四边形综合题，掌握梯形的面积公式，不等式组，轴对称，平移变换等知识是解题的关键．24．如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在的位置；（1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）；（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在的位置．①若，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）：②若，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数．【答案】（1）；（2）①；②50°【分析】（1）由平行线的性质得到∠4=∠B′FC=α，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可；（2）①由（1）知，∠BFE=，根据平行线的性质得到∠BFE=∠C′GB=，再由折叠的性质及平角的定义求解即可；②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°-∠1，由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′=90°，再根据折叠的性质得到∠1+180°-2∠3=90°，结合∠3=∠1+20°即可求解．【详解】解：（1）如图，由题意可知，A′E//B′F，∴∠4=∠1=α，∵AD//BC，∴∠4=∠B′FC=α，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，∵∠BFE+∠2+∠B′FC=180°，

∴∠2=×（180°-α）=；（2）①由（1）知，∠BFE=90°-α，∵EF//C′G，∴∠BFE=∠C′GB=，再由折叠的性质可知，∠3+∠HGC=180°-，∴∠3=∠HGC=；②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°-∠1，由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′=90°，∴180°-2×(90°-∠1)+(180°-2∠3)=90°，即∠1+180°-2∠3=90°，∵∠3=∠1+20°，∴∠1=50°．【点睛】此题考查了平行线的性质，以及折叠的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．25．学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图1所示的纸片，其中，先按如图2所示的方法折叠，折痕为；（与相交于点）然后按如图3的方法折叠，折痕为（与落在一条直线上）．

（1）在图2的折叠过程中，若，求的度数（2）如图3，小明认为在折叠过程中，产生的折痕与平行，请把小明的思考步骤补充完整．由折叠可知，；；∵∴；（①）∴②＝③（等量代换）∴．（内错角相等，两直线平行）【答案】（1）25°；（2）①两直线平行，内错角相等；②；③【分析】（1）根据折叠、平行和互补的性质可以得解；

（2）根据平行线的性质和判定进行解答．【详解】解：（1）∵，∴．由折叠可知．∵，∴．（两直线平行，内错角相等）（2）由折叠可知，；；∵∴；（两直线平行，内错角相等）∴＝（等量代换）∴．（内错角相等，两直线平行）故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③；【点睛】本题考查平行线的判定和性质以及折叠的综合应用，熟练掌握平行线的性质和判定、折叠的性质是解题关键．26．如图1和图2，在三角形纸片中，点，分别在边，上，沿折叠，点落在点的位置．（1）如图1，当点落在边上时，与之间的数量关系为______（只填序号），并说明理由；①②③（2）如图2，当点落在内部时，直接写出与，之间的数量关系．【答案】（1）③，理由见详解；（2）【分析】（1）根据折叠的性质可得，然后根据三角形外角的性质可进行求解；（2）延长交AC于点F，由折叠的性质可得，则有，进而可得，然后问题可求解．【详解】解：（1）根据折叠的性质可得，∵，∴；故答案为③；（2），理由如下：延长交AC于点F，如图所示：由折叠的性质可得，∴根据三角形外角的性质可得，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键．27．（1）如图1，将一长方形纸片沿着、折叠（点在线段上，点在线段上），且，折痕与平行吗？请说明理由．（2）如图2，将一长方形纸片沿着、折叠（点、在线段上），设，，当与平行时，与有什么数量关系？请说明理由．（3）如图3，将一长方形纸片沿着折叠（点在线段上），不借助其他工具，请设计一个折纸方案，折叠纸片，使得边与平行．请在图3中画出折叠后的示意图，并简述你的折纸方案．【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）见解析【分析】（1）根据题意，分别计算即可（2）延长交于点，由折叠,；因为与，则即可求得（3）根据平行线的判定方法构造折纸方案即可方法一：折纸方案：将长方形纸片沿着折叠，得到折痕为，展开纸片，再将折到折痕上；方法二：折纸方案：将长方形纸片折叠，使得与重合，得到折痕为；展开纸片，再将长方形纸片折叠，使得点落在折痕上点处，得到折痕为；【详解】（1），理由如下：∵，∴，∴∴（2）延长交于点，由折叠可得：，，∴，，∴∵∴∴∴（3）方法一：折纸方案：将长方形纸片沿着折叠，得到折痕为；展开纸片，再将折到折痕上，此时与平行方法二：折纸方案：将长方形纸片折叠，使得与重合，得到折痕为；展开纸片，再将长方形纸片折叠，使得点落在折痕上点处，得到折痕为；此时与平行【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．28．如图，在中，，是中线，作关于的轴对称图形.（1）直接写出和的位置关系；（2）连接，写出和的数量关系，并说明理由；（3）当，时，在上找一点，使得点到点与到点的距离之和最下小，求的面积.【答案】（1）垂直；（2）.理由见解析；（3）.【分析】(1)根据对称点连线垂直于对称轴，即可确定AC⊥DE;(2)连接CE,证明四边形AECD是正方形，在结合三角形ABC是等腰三角形，即可说明;(3)先证明.△ACD≌△ABD，得到点B和点C关于AD成轴对称；连接，交于点，且当，，三点在同一条直线上，点到点与到点的距离之和最小，然后结合（1）的结论，运用三角形的面积公式即可求得.【详解】解：（1）垂直（2）.理由如下：关于的轴对称图形为.，在和中，又是边上的中线..（3）在和中点和点关于成轴对称连接，交于点，如图所示且当，，三点在同一条直线上，点到点与到点的距离之和最小在中，.由（1）知，，【点睛】本题是一道几何综合题，考查了轴对称、全等三角形、正方形的相关知识，考查知识点比较综合，灵活应用所学知识是解答本题的关键.29．（1）请你沿着图1中的虚线，用两种方法将图1划分为两个全等的图形；（2）如图2，是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图