河海第二章稳态热传导

河海第二章稳态热传导第1页，课件共105页，创作于2023年2月§2-3典型一维稳态导热问题的分析解§2-1导热基本定律-傅里叶定律§2-5具有内热源的一维导热问题§2-4通过肋片的导热§2-2导热问题的数学描写§2-6多维稳态导热的求解★★★★第2页，课件共105页，创作于2023年2月§2-1导热基本定律——傅里叶定律回顾定义第3页，课件共105页，创作于2023年2月第4页，课件共105页，创作于2023年2月一、温度场第一章中

（1-2）

的适用条件为一维均匀导热问题，如图

0xt第5页，课件共105页，创作于2023年2月试问：如图

，

式（1-2）可用吗?（多维）

0yx不能！因为t同时在x、y方向变化，

变化（在x方向上）

温度场、等温线概念

（2-1）

（2-2）

变化（在y方向上）

第6页，课件共105页，创作于2023年2月温度场Temperaturefield：各时刻物体中各点温度所组成的集合----------温度分布

物体中任一点温度

若

，则为稳态温度场若

，则为非稳态温度场平行平面间的温度场稳态一维温度场对应

非稳态导热非稳态温度场

稳态导热稳态温度场

第7页，课件共105页，创作于2023年2月第8页，课件共105页，创作于2023年2月引入温度变化率：傅里叶定律为

，

，

（在x方向传导的热量，在y方向上亦类似

)

（2-3）

（2-4）

0yx第9页，课件共105页，创作于2023年2月二、向量形式的傅里叶定律１、温度梯度如图，等温面（

，

，

）

梯度指向量变化最剧烈方向，法向方向，则温度梯度为在空间坐标，则q=?第10页，课件共105页，创作于2023年2月2、傅里叶定律的向量表达式

（2-5）

热流密度矢量可见：（1）热流方向同温度梯度方向相反；（2）热流线（方向）垂直于等温线。见图

第11页，课件共105页，创作于2023年2月说明第12页，课件共105页，创作于2023年2月三、导热机理及导热系数（一）导热系数实际值由专门实验测定（二）其定义式由傅里叶定律的数学式给出，

（2-6）

第13页，课件共105页，创作于2023年2月

第14页，课件共105页，创作于2023年2月第15页，课件共105页，创作于2023年2月分子热运动第16页，课件共105页，创作于2023年2月第17页，课件共105页，创作于2023年2月第18页，课件共105页，创作于2023年2月第19页，课件共105页，创作于2023年2月第20页，课件共105页，创作于2023年2月第21页，课件共105页，创作于2023年2月（三）导热系数同温度的关系（1）与有关！为某温度下的常用材料的见附录2~11

（2）具有线性关系常用保温、隔热材料的值见附录4

1992年国家标准规定：导热系数小于0.12w/（m·k）20世纪50年代是0.23，80年代是0.14，↓第22页，课件共105页，创作于2023年2月第23页，课件共105页，创作于2023年2月（四）同空间方向的关系各向同性材料（恒同）

各向异性材料，

例：枕木，垂直木纹方向平行木纹方向P557附录3松木第24页，课件共105页，创作于2023年2月§

2-2导热问题的数学描写

（一）一维导热积分λ为常数时一、导热微分方程第25页，课件共105页，创作于2023年2月（二）多维导热

，

，

，即t在x，y，z，方向均有变化，且随时间变化如图：在物体内取一微元平行六面体，

设物体各向同性。

存在6为常数gradt？Φ或q？t=f（x,y,z,τ）？傅里叶定律+热力学第一定律第26页，课件共105页，创作于2023年2月非稳态时热力学能（内能）增量：内热源生成热：6内热源：例如电器及线圈中有电流通过时的发热，化工中的放热、吸热反应以及核能装置中燃料元件的放射反应等。w/m3第27页，课件共105页，创作于2023年2月在x、y、z方向上，

流入热流量：

（a）

第28页，课件共105页，创作于2023年2月

流出热流量：

同理：

（b）

非稳态时热力学能（内能）增量：内热源生成热：（d）

（e）

第29页，课件共105页，创作于2023年2月根据热平衡方程（热力学第一定律）（2-7）

式（a）（b）（d）（e）代入（c）并整理流入的总热流量+内热源生成的热量

=内能增量+流出的总热流量（C）++=ΔU导入微元体的净热流内热源生成热第30页，课件共105页，创作于2023年2月（2-8）

式中，定义

热扩散率（导温系数）

a的物理意义：反映物体导热时使内部温度趋向均匀的能力大小a↑→内部温度变化得越快

式（2-8）为常物性、非稳态、有内热源的导热微分方程式一般形式的导热微分方程式（三）导热微分方程式的几种形式1、导热系数λ=const第31页，课件共105页，创作于2023年2月第32页，课件共105页，创作于2023年2月2、导热系数为常数，无内热源：

3、常物性、稳态：

4、常物性、无内热源、稳态：（2-9）

（2-10）

（2-11）

第33页，课件共105页，创作于2023年2月（五）圆柱坐标或球坐标中的导热微分方程式

针对式（2-7），转换成圆柱坐标（对于轴对称物体）：（2-12）

第34页，课件共105页，创作于2023年2月球坐标（适用于点对称物体）：（2-13）

注：（1）无内热源、稳态导热，令，即可。（2）无内热源的稳态一维、二维导热，再令（或）第35页，课件共105页，创作于2023年2月导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程，是通用表达式。单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件。二、定解条件（2-7）

——通解定解？包括四项：几何、物理、初始、边界第36页，课件共105页，创作于2023年2月1、几何条件：2、物理条件：3、初始条件：４、边界条件:完整数学描述：导热微分方程+单值性条件说明导热体的几何形状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。说明导热体的物理特征如：物性参数

、c和

的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布。又称时间条件，反映导热系统的初始状态。

反映导热系统在界面上的特征，也可理解为系统与外界环境之间的关系。第37页，课件共105页，创作于2023年2月（Boundaryconditions）边界条件常见的有三类（１）第一类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度分布，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值tw=常量

t=f(y,z,τ)

0x1x

（2）第二类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度梯度，即相当于给定边界上的热流密度，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值qw=常量0x1x

第38页，课件共105页，创作于2023年2月（3）第三类边界条件:该条件是第一类和第二类边界条件的线性组合，常为给定系统边界面与流体间的换热系数和流体的温度，这两个量可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值0x1x

导热微分方程＋单值性条件＋求解方法

温度场（2-17）第39页，课件共105页，创作于2023年2月（4）辐射边界条件（2-19）(5)接触边界条件.

数学表达形式：第40页，课件共105页，创作于2023年2月导热微分方程式（λ为常数）非稳态、无内热源：

稳态、有内热源：

稳态、无内热源：（2-9）

（2-10）

（2-11）

一般形式：

（2-8）

§2-3典型一维稳态导热问题的分析解（2-7）

导热微分方程式（λ为变量）第41页，课件共105页，创作于2023年2月（一）单层平壁的导热a几何条件：单层平板；

b物理条件：

、c、

（常数）已知；无内热源c时间条件：d边界条件：第一类一、通过平壁的导热1、求温度分布

dx第42页，课件共105页，创作于2023年2月根据上面的条件可得：第一类边条：微分方程边界条件导热微分方程＋单值性条件＋求解方法

温度场第43页，课件共105页，创作于2023年2月直接积分，得其温度分布通解：带入边界条件：求解方法第44页，课件共105页，创作于2023年2月得温度分布：

呈线性分布

若

由o

t1tt2第45页，课件共105页，创作于2023年2月2、求热流密度

根据傅里叶定律对式

求导：∴

（2-21）

（2-20）第46页，课件共105页，创作于2023年2月3、导热热阻定义面积热阻：

（2-23）

——热阻对于研究多层平壁导热问题很有用第47页，课件共105页，创作于2023年2月（二）通过多层平壁的导热（为常数）1、以三层为例：

a)求导热量：（，，材料，尺寸）

，

，

则

∴（2-24）

n层：（2-25）

δ1λ1δ2λ2δ3λ3第48页，课件共105页，创作于2023年2月b)求界面温度

，

又

注意：（a）每层线性分布，t—x

（b）每层线性分布之斜率不一定相同

（2-26）

第49页，课件共105页，创作于2023年2月2、对于多层平壁（设n层）则

问：现在已经知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？第一层：第二层：第i层：第50页，课件共105页，创作于2023年2月导热环节越多，串联的热阻就越多，总热阻相对来说就越大，相同温差下传递的热量越少，越有利于隔热。第51页，课件共105页，创作于2023年2月在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之间的接触都不可能是紧密的。t1t2Δtxt在这种情况下，两壁面之间只有接触的地方才直接导热，在不接触处存在空隙。热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热阻。

第52页，课件共105页，创作于2023年2月

接触热阻是普遍存在的，而目前对其研究又不充分，往往采用一些实际测定的经验数据。通常，对于导热系数较小的多层壁导热问题接触热阻多不予考虑；但是对于金属材料之间的接触热阻就是不容忽视的问题。第53页，课件共105页，创作于2023年2月【例】锅炉炉墙由三层材料组成：内层为耐火砖，厚度为230mm，导热系数为1.1W/(m·K)；中间层为石棉隔热层，厚度为60mm，导热系数为0.1W/(m·K)；外层为红砖，厚度位240mm，导热系数为0.58W/(m·K)。已知炉墙内外表面的温度分别为500℃和50℃，试求通过炉墙的热流密度与各层接触面处的温度。解：由q＝Δt/Σ(RAi)＝(t1-t4)/(δ1/λ1+δ2/λ2+δ3/λ3）又因：δ

1/λ1＝0.21(m2·K)/Wδ

1/λ1＝0.60(m2·K)/W

δ

1/λ1＝0.41(m2·K)/W所以：q＝368.9W/m2由ti＝t1-qΣ(δ

i-1/λi-1)所以：t2＝t1-qΣ(δ1/λ1)＝422.5℃ t3＝t2-qΣ(δ2/λ2)＝t1-qΣ(δ1/λ1+δ2/λ2)＝201.2℃第54页，课件共105页，创作于2023年2月解：第55页，课件共105页，创作于2023年2月为常数

如图，认为一维导热

(,)二、通过圆筒壁的导热1、条件：无内热源、稳态、

第56页，课件共105页，创作于2023年2月2、基本方程：（2-25）

积分一次：

再积一次：

（i）

用圆柱坐标，有导热微分方程式（2-12）

第57页，课件共105页，创作于2023年2月3、定解条件

边界条件

代入式（i）

于是，式（i）成为

第58页，课件共105页，创作于2023年2月4、温度分布（2-28）

5、热流量变化（2-30）

对数分布由式（2-28），温度梯度（2-29'）

（2-29）

第59页，课件共105页，创作于2023年2月6、热阻

（2-31）

则：

第60页，课件共105页，创作于2023年2月7、多层圆筒壁的导热热流量（由多层平壁扩展来）

三层：

（2-32）第61页，课件共105页，创作于2023年2月内容回顾第62页，课件共105页，创作于2023年2月平壁：一维稳态导热问题第63页，课件共105页，创作于2023年2月圆管：第64页，课件共105页，创作于2023年2月三、各向同性的变导热系数变截面的处理方法1、一维稳态无内热源的情况

分离变量，积分：

=第65页，课件共105页，创作于2023年2月2无内热源，A为常数，λ不为常数λ0、b为常数第66页，课件共105页，创作于2023年2月最后可求得其温度分布

二次曲线方程第67页，课件共105页，创作于2023年2月其抛物线的凹向取决于系数b的正负。（1）当b>0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，λ增大，即高温区的λ大于低温区。据φ=-λA(dt/dx)，所以高温区的温度梯度dt/dx较小，而形成上凸的温度分布。（2）当b<0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，λ减小，高温区的温度梯度dt/dx较大。λ=λ0(1+bt)b>0b<0t1

t20δx第68页，课件共105页，创作于2023年2月热流密度计算式为:或式中

从中不难看出，为平壁两表面温度下的导热系数值的算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均值下的导热系数值。

第69页，课件共105页，创作于2023年2月3稳态、一维有内热源，λ为常数如果平壁内有均匀的内热源，且认为导热系数λ为常数和平壁两边温度相等。t1t2t1＝t20xqv积分后：温度分布：第70页，课件共105页，创作于2023年2月讨论第71页，课件共105页，创作于2023年2月解第72页，课件共105页，创作于2023年2月第73页，课件共105页，创作于2023年2月如图所示：三种不同材料的平板a，b，c，左侧处于相同的温度t1，在稳定状态下，如果传递的热量相同，三种材料平板内部温度分布如图所示，则三种材料的导热系数哪个最大？哪个最小？请排列。λaλbλc第74页，课件共105页，创作于2023年2月第75页，课件共105页，创作于2023年2月冷流体水从冷水泵通过管道DA段上水至锅炉，在AB段管道吸收热量变成满足热用户要求的热水，通过BC段管道送给热用户，由于长期使用，在整个管道上管内结了厚厚的一层水垢，管外落了一层厚厚的灰尘，试分析这些尘垢的利弊。第76页，课件共105页，创作于2023年2月自学：

三、通过球壳的导热

四、其他变截面或变导热系数问题作业：P89-92

2-2，2-9，2-14，2-17

请认真看懂P50：例题2-1

（单层壁）例题2-2（多层壁）例题2-3

（水垢）例题2-5

（圆管壁）第77页，课件共105页，创作于2023年2月§2-4通过肋片的导热基本概念

1、肋片：指依附于基础表面上的扩展表面

2、常见肋片的结构：针肋直肋环肋等3、肋片导热的作用及特点1）作用：增大对流换热面积及辐射散热面积,以强化换热；第78页，课件共105页，创作于2023年2月方肋暖气片第79页，课件共105页，创作于2023年2月2）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热，肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即：Φ≠const。

4、分析肋片导热需解决的问题

一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？

二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？

第80页，课件共105页，创作于2023年2月一、通过等截面直肋片的导热如图：

，，，一维导热

横截面面积：

周长：

第81页，课件共105页，创作于2023年2月分析：1、假设

1）肋片垂直于纸面方向(深度方向)很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长度分析；

2）材料导热系数λ及表面传热系数h均为常数，沿肋高方向肋片横截面积不变；

3）表面上的换热热阻1/h，远大于肋片的导热热阻δ/λ，即肋片上任意截面上温度均匀不变；

4）肋片顶端视为绝热，即dt/dx=0；

第82页，课件共105页，创作于2023年2月2、微元导热分析已经学了导热微分方程式，对流换热与导热的关系未学处理方法：将散热量认为有内热源（热源是负的）则导热类型为：一维、稳态、有内热源类型的导热问题由

（2-8）

第83页，课件共105页，创作于2023年2月则

（a）

，代入（a）式：

（c）

，

（d）

（2-38a）

定义过余温度第84页，课件共105页，创作于2023年2月为一正常数，表征肋片导热性能、换热性能及几何结构之间的相对关系。第85页，课件共105页，创作于2023年2月即为等截面直肋片的导热微分方程式

属二阶一次微分方程式，数学的通解

（e）

3、假设直肋端面绝热时的特解（绝热——端面同流体间无对流换热，

亦导热为0，

）边界条件

（1）

(2)

第86页，课件共105页，创作于2023年2月代入式（e），有

联解，得注意双曲函数

第87页，课件共105页，创作于2023年2月（2-39）

分析：

（1）肋端温度

（2）通过肋根的热流量（肋的散热量）

=（2-41）

（2-40）

第88页，课件共105页，创作于2023年2月4、讨论（1）以上各式是假设

，

即端面

，绝热条件下的

当δ小、H长时，以上假设可用，误差小（2），即一维假设，绝大部分肋片

引起误差（3）实际影响大的是的不均匀性第89页，课件共105页，创作于2023年2月（4）肋端换热的Harper-Brown近似，当必须考虑肋端面散热时，也可以采用近似修正方法，将通过肋端面的换热量折算到侧面上去，相当于肋加高为(H+ΔH)，其中对于矩形肋ΔH≈δ/2

第90页，课件共105页，创作于2023年2月随着mH的增大，肋片的散热量随之逐渐增加，一开始增加很迅速，但后来越来越缓慢，逐渐趋于一渐近值。这说明，增大mH虽然可以增加肋片的散热量，但增加到一定程度后，再增大mH所产生的效果已不显著，因此需要考虑经济性问题。第91页，课件共105页，创作于2023年2月温度计套管测温误差分析

压气机设备的储气筒里的空气温度，用一支插入装油的套管中的玻璃水银温度计来测量。如图所示。已知温度计的读数为t，储气筒与温度计套管连接处的温度，套管高H，壁厚δ管材的导热系数为λ，套管外表面传热系数为h。第92页，课件共105页，创作于2023年2月第93页，课件共105页，创作于2023年2月例：一实心燃气轮机叶片，高度h=6.25mm，横截面积A＝4.65cm2，周长P＝12.2cm，导热系数

＝22W/(m

℃）。燃气有效温度tge=867K，叶根温度tr=755K，燃气对叶片的总换热系数h＝390W/(m2

℃）。假定叶片端面绝热，求叶片的温度分布和通过叶根的热流。解：第94页，课件共105页，创作于2023年2月二、通过环肋及三角截面直肋的导热对于等截面直肋：

，其中若

变，