2021-2022学年广东省惠州市东江高级中学高二数学文期末试卷含解析

2021-2022学年广东省惠州市东江高级中学高二数学文

期末试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知函数f(x)=xW+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是

()

A.-l<a<2B.-3Va<6C.a<-3或a>6D.a<-1或a>2

参考答案：

C

【考点】利用导数研究函数的极值.

【分析】题目中条件：“函数f(x)=x'+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值”告诉我们其

导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决.

【解答】解：由于f(x)=x3+ax"+(a+6)x+1,

有f'(x)=3x?+2ax+(a+6).

若f(x)有极大值和极小值，

则△=4a；!-12(a+6)>0,

从而有a>6或aV-3,

故选C.

2I

x=--y

2.抛物线4的焦点坐标

为

B.©蜜*©一；

D.

参考答案:

c

3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为()

33

A.7+加,3B,8+V2.3j住回1D.2

参考答案：

C

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】计算题；空间位置关系与距离.

【分析】将几何体还原成直观图，可得它是一个上、下底面是直角梯形，且高等于1的直

四棱柱.根据题中的数据利用柱体的体积、表面积公式加以计算，可得答案.

【解答】解：将该几何体还原成直观图，可得它是一个四棱柱，四棱柱的侧棱垂直于底

面，侧棱长等于1；

上、下底面是直角梯形，该梯形的上底等于1、下底等于2、高等于1,斜腰等于

由此可得它的侧面积SM=(1+1+2+V2)X1=4+72,

13

•底面积SM2(1+2)Xl=2,

3

四棱柱的表面积S=SM+2S底=7+加,体积为V=S底h=2

【点评】本题给出直四棱柱的三视图的形状，求它的表面积与体积.着重考查了三视图的

认识、直棱柱的性质和柱体的表面积、体积公式等知识，属于中档题.

4.已知定义域为R的函数/㈤满足：*4)=3,且对任意实数x,总有/'(x)<3

则不等式/(x)V3x—15的解集为

A(-8,4)B(-8,-4)C(-8,-4)U(4,+8)D(4,+

8)

参考答案：

D

略

5.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么，互斥而不对立的两个事件是

().

A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球

C.恰有一个黑球与恰有2个黑球D.至少有一个黑球与都是红球

参考答案：

C

依题意，从装有2个红球和2个黑球的口袋中任意取2个球

A至少有1个黑球包含都是黑球，故至少有1个黑球与都是黑球不是互斥事件，故A错

误，

B至少有1个黑球包含1黑1红，至少有1个红球包含1黑1红，两者不是互斥事件，故

B错误，

C恰有1个黑球与恰有2个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故C正

确

D至少有1个黑球与都是红球是互斥事件，也是对立事件，故D错误，

故答案为C

6.随机变量&〜B(100,0.3),则D(32-5)等

于()

A.62B.84C.184D

.189

参考答案：

D

7.读如图21—3所示的程序框图，若输入p=5,q=6,则输出小i的值分别为

图21—3

A.。=5,i=lB.。=5,i=2

C.a=15,z=3D.Q=30,Z=6

参考答案：

D

8.椭圆i69中，以点M(l,2)为中点的弦所在直线斜率为()

2222

A「五B.32C.64D16

参考答案：

A

9.方程一一6--15*—1°=°的实根个数是（）

A.3B.2C.lD.0

参考答案：

C

略

10.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则甲、

2449

乙两人得分的中位数之和是（）1S0

A.62B.63C.64D.65

参考答案:

B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.如图直三棱柱ABBi-DCG中，NABB尸90°,AB=4,BC=2,CC1=1,DC上有一动点P,则

△APG周长的最小值是.

参考答案:

5+V21

【考点】点、线、面间的距离计算.

【分析】不妨令CP=a，则DP=4-a,分别在直角三角形ADC中求AP,在直角三角形GPC

求出GP,在直角三角形CCA求出3A,然后相交求周长.将周长表示为参数a的函数，由

于aG[0,4],在这个区间上求出周长的最小值即可.

【解答】解：DC上有一动点P,令CP=a,则DP=4-a,

由于直三棱柱ABBi-DCC中,ZABBF90°，AB=4,BC=2,CCFI,

周长S=AP+C,P+CiA=V4+(4-a)2+71+a2+V1+IAC|2

=V4+(4-a)2+Vl+a2+Vl+22+42

W4+(4-a)2+V1+a2+V21

:?+(a-4)2+V(0-l)^+(a-0)+V21

其中是d[0-(-2)]2+(a-4)2+1(O-l)2+Q-O)2可以看作平面直角坐标系中Q,0)

与两点(4,-2)以及(0,1)两点距离和的最小值，由图形中点(a,0)恰好是过两点

(4,-2)与(0,1)的直线与x轴的交点时，上式的值最小.

由两点式知过两点(4,-2)与(0,1)的直线的方程是3x+4y-4=0,其与x轴的交点是

4_

(瓦0),

即当a=5时，2+Q-4)?+~0-1)2+殳-。)的最小值为两点(4,-2)与

(0,1)的距离，其值为J("0)2+(-27)2=5,故周长为5+收

故答案为5+折

12.已知直线了=・，分别与直线了=5工一5和曲线/=2/交于点M,N两点，则线段

MN长度的最小值是A.

参考答案:

9-61.2

-5~

设与y5平行且与'X。寸目切的直线的切点为风上、“，因为丫'-2/+1,

)

•••2el=5.e=2,x0=ln2)切点为的2.4-In)，切线方程为vTTn15ix：n2,

'•入1长度的最小值就是；m被，与〉云,二截得的弦长

fn-5E71n279-41n25>-41JI2

故答案为、.

f-t0J-I1f-i2j~»n

r2n，rt3

13,若函数f(x)小卡一-…+%(-1)?x"+-+n(-1)"?x"-',

其中nGN*,则fz(1)=_.

参考答案：

0

【考点】二项式定理的应用.

【分析】先化简函数f(x)的解析式，再求出f'(x),从而求得f'(1)的值.

【解答】解：f(x)^"-'[Cn0-C„'x+C„2x2-+C„r(-1)rxr+C„nxn]=x2n-1(1-x)",

f'(x)=(2n-l)x'"2(1-x)"-x'"''?n(1-x)"'1=x'"2(1-x)n-l[2n-1-(3n-

1)x].

•,.fz(1)=0,

故答案为：0.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求函数的导数，属于

基础题.

14.有两个等差数列2,6,10,…，190及2,8,14,--200,由这两个等差数列的公共

项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为—.

参考答案：

560

【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和.

【分析】数列｛a“｝与数列｛b.｝首项aFbk2,由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列

｛cj,首项6=2,公差为4与6的最小公倍数，d=12,由此能求出这个新数列的前10项之

和.

【解答】解:等差数列2,6,10,…，190的通项为a0=2+(n-1)?4=4n-2,

等差数列2,8,10,14,200的通项为b.=2+(n-1)?6=6n-4,

数列瓜｝与数列也｝首项ai%=2,

由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列｛c.｝,首项5=2,公差为4与6的最小公倍

数，d=12,

，c„=2+(n-1)?12=12n-10,

(ci+c〉nn(12n-8)

S„=2=2,

.10(12X10-8)

...10-2=560.

故答案为:560.

15.不等式x?一ax.b<0的解集是(2,3),则不等式bx?一ax」>0的解集是.

参考答案：

11

(-2,.3)

略

16.顺次连结A(1,0),B(1,4),C(3,4),D(5,0)所得到的四边形绕y轴旋转一

周，所得旋转体的体积是.

参考答案：

184兀

3

17.若直线4：和q：了=工+。将圆任-『十。-为’・'分成长度相同的四段弧，则

ab=.

参考答案：

-7

两条直线kvX-和匕Vx+b平行，把直线方程化为一般式：啡

v、-b，，圆(x-l)2+(y_2>28的直径为4。，半径2由，直线被圆所截的弦所对的圆心角

为直角，只需两条平行线间的距离为4,圆心到直线的距离为2,圆心到则''

的距离为6若a1-2也则b12也同样a1-2也则

b1+2<2,则ab(l-*K】+2⑦-7

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

/(x)=lg

nax--r,

18.设命题P：函数的定义域为R；命题g3-9<a对一切的

实数X恒成立，如果命题“P且q”为假命题，求实数。的取值范围。

参考答案：

a>0

八x,ax2-x+—>△=1--<0

命题P：对于任意的160恒成立，则需满足.4

=>a>2

qg(x)=3*-9*=-f3*--

12)444

4分

因为“p且q”为假命题，所以P，g至少一假

a<—

(1)若P真q假，则a>2且4,a是空集。

n/Vzs一《。02

(2)若P假9真，则aW2且44

(3)若P假9假，则a$2且"‘彳'

所以aW2

19.已知向量a是以点43,-1)为起点，且与向量8=(-3,4)垂直的单位向

量，求a的终点坐标

参考答案：

设a的终点坐标为(m,n)

则a=(777—3,n+1)

-3(m-3)4-4(«+1)=0©•

由题意，

附一3)2+5+1)2=[②,

2

由①得：72=4(3727-13)代入②得

25加-15Om+2O9=O

解得

.•.«的终点坐标是(5「?或(5

X2/[

20.已知命题P：次-204。，命题9：方程4-上1-Jt表示焦点在X轴上

的双曲线.

(I)命题9为真命题，求实数上的取值范围；

(n)若命题“pvq”为真，命题“peg”为假，求实数尢的取值范围.

参考答案：

4-2＞0

解：(1)当命题夕为真时，由已知得I尢一1＞°,解得1＜上＜4

・••当命题g为真命题时，实数上的取值范围是14七＜4.........5分

(2)当命题P为真时，由炉-及-20$0解得一2二之410.........7

分

由题意得命题尸、q中有一真命题、有一假命题.............8

分

-2KS10

当命题「为真、命题g为假时，则

解得—4$1或4$分41。............................10分

(

当命题p为假、命题夕为真时，则U＜上＜4,上无解.....12

分

・•・实数方的取值范围是一20上工1或44无M10..............13分

略

xi/

oo

21.已知抛物线G：y2=2px(p>0)与双曲线G：a-b=1(a>0.b>0)有公共焦点

F,且在第一象限的交点为P(3,2遍).

(1)求抛物线G,双曲线C2的方程；

(2)过点F且互相垂直的两动直线被抛物线G截得的弦分别为AB,CD,弦AB、CD的中

点分别为G、H,探究直线GH是否过定点，若GH过定点，求出定点坐标；若直线GH不过

定点，说明理由.

参考答案：

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】(1)P(3,276)代入抛物线G：y、2px(p>0),可得p,求出抛物线方

f924,

2,2-i

«ab

9o

程.焦点F(2,0),则la'+bJ4,求出a,b,可得双曲线G的方程；

(2)欲证明直线G11过定点，只需求出含参数的直线GH的方程，观察是否过定点即

可.设出A,B,G,H的坐标，用A,B坐标表示G,H坐标，求出直线GH方程，化为点斜

式，可以发现直线必过点(3,0).

【解答】解：(1)P(3,2&)代入抛物线G：y2=2px(p>0),可得p=4,.•.抛物线

Ci：y2=8x；

9241

T广2-/

焦点F(2,0),则Ia2+b2=4,；.a=i,b=J5,.•.双曲线C2的方程'3=1；

(2)设点A(xi,yD,B(X2,y2)，G(x3,y3),H(x4,y-i)

把直线AB：y=k(x-2)代入y~8x,得：

J-4

2~~

222

kx-(4k"+8)x+4k=0,.•.X3=2+k,y3=k(x3-2)=k,

同理可得，x.i=2+4k2,y产-4k,

Ak4k

-122

直线GH为y-k=l-k(x-2-k)，即y=l-k(x-3),过定点P(3,0).

22.(本小题满分14分)

3

已知曲线/(功=呵2-4+在点(O,心)处的切线斜率为宠

(1)求/(x)的极值；

(2)设双力力+*1,若*(*)在(-00,1］上是增函数，求实数k的取值范围.

参考答案：

解：(l)f(x)的定义域是(一8,2),f(x)=x-2+a...................2分

13

由题知f(0)=-