中考冲刺：几何综合问题-知识讲解及典型例题解析

#•・•口EPGQ是矩形.••・ZAED+ZCEB=90°.又VZDAE=ZEBC=90°,AZAED=ZBCE..•.△AEDs^BCE,.AD_AE…~BE~~BC，,xyy设OA=x,AB=y，则一：一_:x222得y2=2x2,又*.*OA2+AB2=OB2,即X2+y2=l2..*.X2+2x2=1,解得：X=即当四边形EPGQ是矩形时，OA的长度为5.在YABCD中，过点C作CE丄CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90。得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P］不与C重合）时，连结EP］绕点E逆时针旋转90o得到线段Eq.判断直线Fq与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90o得到线段ec2•判断直线C£与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.4（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP=x，SVPFC=y，求y与x之间的函数关系式，31ii图1备用图【思路点拨】（1）本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.（2）是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析（1）①直线FG与直线CD的位置关系为互相垂直.证明：如图1,设直线FG与直线CD的交点为H.•・•线段EC、EP分别绕点E逆时针旋转90。依次得到线段EF、EG,11:.ZPEG=ZCEF=90°EG=EP,EF=EC.1111•/ZGEF=90°-ZPEF,ZPEC=90°-ZPEF,1111.•・ZGEF=ZPEC.11.•・△GEFPEC.11.ZGFE=ZPCE.11•・•EC丄CD,.ZPCE=90°,1.ZGFE=90°.1.ZEFH=90°..ZFHC=90°..•・FG丄CD.1②按题目要求所画图形见图1,直线GG与直线CD的位置关系为互相垂直.12(2)T四边形ABCD是平行四边形，.ZB=ZADC.4*.*AD=6,AE=1,tanB=—,34DE=5,tanZEBC=tanB=—.3可得CE=4.由(1)可得四边形EFCH为正方形..CH=CE=4．

①如图2,当P①如图2,当P点在线段CH的延长线上时,TFG二CP二x,11PH二x-4,1...S=1XFGXPH=吐4△P1FG12112y=x2一2x(x>4).2②如图3,当p点在线段CH上(不与C、H两点重合)时,TFG=CP=x,PH=x一4,111.S△P1.S△P1FG1__2__y=-*x2+2x(0<x<4)③当p点与H点重合时，即x=4时，\PFG不存在.1综上所述，11y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y=2x2-2x(x>4)或y=-—x2+2x(0<x<4).2【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高.考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法.举一反三：【变式】已知，点P是ZMON的平分线上的一动点，射线PA交射线0M于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使ZAPB+ZMON=180°.(1)利用图1,求证：PA=PB；

如图2,若点C是AB与OP的交点，当S=3S时，求PB与PC的比值；△POB△PCB若ZMON=6O°,OB=2，射线AP交ON于点D,且满足且ZPBD=ZABO,请借助图3补全图形，并求OP的长.MMTAPAcooo_BNMMTAPAcooo_BN图1【答案】(1)作PE丄OM,PF丄ON，垂足为E、F•・•四边形OEPF中，ZOEP=ZOFP=9O°,.\ZEPF+ZMON=180°，已知ZAPB+ZMON=180°,.\ZEPF=ZAPB，即ZEPA+ZAPF=ZAPF+ZFPB,.\ZEPA=ZFPB,由角平分线的性质，得PE=PF,AAEPA^AFPB，即PA=PB；(2)VS=3S,・：PO=3PC,△POB△PCB11由(1)可知△PAB为等腰三角形，则ZPBC=2(180°-ZAPB)=亍ZMON=ZBOP,又VZBPC=ZOPB(公共角)，.•.△PBCs^POB,.PB_PC…~PO~~PB，即PB2=PO・PC=3PC2,PBPCPBPC作BH丄OT，垂足为H,当ZMON=60。时，ZAPB=120°,1由PA=PB，得ZPBA=ZPAB=—(180°-ZAPB)=30°,^2又•.•ZPBD=ZABO,ZPBD+ZPBA+ZABO=18O°,1.•・ZABO=—(180°-30°)=75°，则ZOBP=ZA