2021-2022学年辽宁省抚顺市高级中学高一数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年辽宁省抚顺市高级中学高一数学文上学

期期末试题含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.如图，三棱柱中，侧棱儿&,底面4片储，底面三角形449是正

三角形，£是ac中点，则下列叙述正确的是()

A.CG与用七是异面直线

B.4cl平面.片4

c.4G"平面松3

D.AE,耳G为异面直线，且丝

参考答案:

D

2.设集合知={犬仁/?|/三3},。=一百，则下列关系正确的是()

A、a^MB、ae-MC、{a}^MD、{«}SW

参考答案：

D

3.若函数f(x)在区间(a,b)上是增函数，在区间(b,c)上也是增函数，则函数f(x)在区

间(a,b)U(b,c)

上

（）

A.必是增函数B.必是减函数

C.是增函数或减函数D.无法确定单调性

参考答案：

D

略

4.已知函数/（X）是定义在GA6）上的偶函数，/（工）在10，分上是单调函数，且

/G2）〈/⑴，则下列不等式成立的是（）

＜/（!）＜/（?）B.

c./（-2）＜/（0）＜/（0D.

/（5）＜/（-3）＜/（-1）

参考答案：

D

7T

5.将函数y=f（x）sinx的图象向右平移T=Z个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到

函数＞=l-2$in,x的图象，则f（X）可以是（）

A.cosxB.2cosxC.sinxD.2sinx

参考答案:

向右平移:个单位>=--)sm(x--)

解法一：(正向考察)y=f(x)sinx图象------------------>44

图象

作关于x轴的对称划=-/(x-?)$in(=)=J=/(x-勺)sin(3・x)

--------------------->4444

占的Kmy=f(x-》an(N-x)«n(f-2x)2cos(^-x)sin(^-x)

由题设得44=cos2x=2=44

/(x--)=2cos(--x)=2cos(x--)

/.444Af(x)=2cosx

解法二(逆向求索)：y=】-2$tn'x图象0y=co$2x图象

作关于x轴的对称先、

*y=­cos2x

向左平移;个■*位>»=-cos2（x+—=-cos（2x+-）°

由题意得f（x）sinx=sin2x,故得f（x）=2cosx,本题应选B.

6.若2-m与1m|-3异号，则m的取值范围是

A、m>3B、-3<m<3

C、2<m<3D、-3<m<2或m>3

参考答案：

D

7.过点（-1,3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）

A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0

参考答案：

A

考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系.

专题：计算题.

1

分析：根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为2由直线垂直的斜率关系，可得所求直

线的斜率为-2,又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程.

1

解答：解：根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为2

由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2,

又知其过点（-1,3）,

由点斜式得所求直线方程为2x+y-1=0.

点评：本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况.

8.已知数列｛〃“｝满足4疝一，■3,则一」的最小值为（）

7

A.2B.C.4D,2

参考答案：

D

【分析】

由，«-。.二1*,累加法求通项，再利用函数的单调性求出最小值.

【详解】由，i一%=1",可得■--=2,4-，=4,4--=力》-2,再利用累加法

可得

CA/CC2+2>1-2y_»/.、

2+4+6+…2n-2=-------x(。-°

33,37

•；”在I&*"J上单调递增，n=l时，",n=2时，«2,

故选D.

【点睛】本题考查累加法求通项求数列的通项公式，考查函数的单调性，准确计算是关

键，是中档题.

9.已知命题户V-O=>r-O.命题g是〃的充分不必要条件，则：

A.夕真q假B.p假q真C."0或/'为假D.“p且q”为

真

参考答案：

C—

13VHi

10.在aABC中，tanA=2,cosB=10,则tanC=()

A.-2B.1C.V3D.-1

参考答案：

D

【考点】两角和与差的正切函数.

【分析】先通过cosB,求得sinB,进而可求得tanB,进而根据tanO-tan(A+B),利

用正切的两角和公式求得答案.

13v

【解答】解：•.•tanA=2,cosB=10,

(1......—710sinB1_

/.sinB=vl-co10,tanB=cosB=3,

tanA+tanB

/.tanC=tan=-tan(A+B)=-1-tanAtanB二-1.

故选：D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设a为常数，函数/(x)=f-6x+3,若f(x+a)为偶函数，则a=.

参考答案：

3

【分析】

根据题意，函数的解析式变形可得/(x)=f-6x+3=(x-3)2_6,分析可得二次函数且其对

称轴为广3,由函数图象的平移变化规律分析可得答案.

【详解】根据题意，函数/(X)=/-6x+3=(*3)2-6,为二次函数且其对称轴为户3,

f(x+a)=(x+a-3)2-6,为偶函数，必有a=3；

故答案为：3

【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及判断，涉及二次函数的奇偶性，属于基础题.

12.函数/(X)=x|X-21的单调减区间为

参考答案：

[1,2](写成[1,2)，(1,2],(1⑵都对)

13.已知向量°力=(3,2)。3=(-2,9),0是坐标原点，则AQ4B的面积为

参考答案:

3

略

X为有理教

14.狄利克雷是德国著名数学家，函数D(x)=1%X为无理豺被称为狄利克雷函数，下

面给出关于狄利克雷函数D(x)的五个结论：

①若x是无理数，则D(D(x))=0；

②函数D(x)的值域是［0,1］；

③函数D(x)偶函数；

④若T并且T为有理数，则D(x+T)=D(x)对任意的xCR恒成立；

⑤存在不同的三个点A(xi，D(xi)),B(X2，D(x2))(C(X3,D(x3)),使得

△ABC为等边角形.

其中正确结论的序号是.

参考答案：

②③④

【考点】分段函数的应用.

【分析】①，根据函数的对应法则，可得不管X是有理数还是无理数，均有f(f(X))

=1,从而可判断①；

②，根据函数奇偶性的定义，可得f(X)是偶函数，可判断②；

③，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得f(x+T)=f(x),可判断③；

返返返返

④，取xi=-3,X2=0,X3=3,可得A(3,0),B(0,1),C(-3,0),恰好

△ABC为等边三角形恰好构成等边三角形，可判断④.

【解答】解：①：当x为有理数时，D(x)=1；当x为无理数时，D(x)=0,

.,.当x为有理数时，D(D(x))=D(1)=1；当x为无理数时，D(D(x))=D(0)

=1,

即不管x是有理数还是无理数，均有D(D(x))=1,故①不正确；

②•••有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

二对任意x€R,都有D(-x)=D(x),故②正确；

③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，

••・根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T,D(x+T)=D(x)对x€R恒成立，故

③正确；

V3返

④取X1=3,X2=o,X3=3,可得D（X|）=0,D（X2）=1,D（X3）=0,

返返

.-.A（T,0）,B（0,1）,C（一丁，0）,恰好AABC为等边三角形，故④正确.

即真命题是②③④，

故答案为：②③④.

15.已知向量4=（厉），则同=

参考答案：

2

【分析】

由向量的模长公式，计算得到答案.

【详解】因为向量"（61）,

所以牛崎F

所以答案为2.

【点睛】本题考查向量的模长公式，属于简单题.

16.若5,-1,-2,x的平均数为1,则x=；

参考答案：

2

17.（5分）J]—cos24=.

参考答案：

-sin4

考点：同角三角函数基本关系的运用.

专题：三角函数的求值.

分析：原式被开方数利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式变形，计算即可得到

结果.

解答：V4>Jr,.-.sin4<0,

则原式=Jsin24=|sin4|=-sin4.

故答案为：-sin4

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产

产品X（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1

百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）。销售收入网卜）（万元）满足

…[-04x）+42x（0

R（x）=<

11（x-5）,假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根

据上述统计规律，请完成下列问题：

分别写出5力和利润函数y=/（x）的解析式（利润=销售收入一总成本）：

工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？并求出此时每台产品的售价。

参考答案：

解：（1）由题意得G（x）=2.8+x.

-04x、32i-28（0Wx<5）

..J（X）=R（x）-G（x）=.S2-X

⑵当时，函数/（x）在[05上单调递减，/⑺皿=/（》=32

当0Mx<5时，函数7（x）=一。4（X-4）2+3.6,

当x=4时,=/（4）=36

••,3.2<3.6当x=4时，/（X）取得最大值3.6

&（4）nnx

-------=0026

此时每台售价为400（万元）=260元

答：当工厂生产4百台时，可使赢利最多，此时每台售价为260元

略

19.设数列｛以｝的前〃项和为S”与+%=3,ntAf.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设数列｛瓦｝满足:

3J%♦叽1—+贴=伫）+刖-3

对于任意AeAT,都有13/成立.

①求数列｛儿｝的通项公式；

②设数列％=。・〃，问：数列｛c,,｝中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在,

求出这三项；若不存在，请说明理由.

参考答案：

解：⑴由2SJ4=3,①

得弱d=3（・N2）②

山①-②得%+4-%=。，即,一^〜（"河

A_=!

对①取。=1得，4=1，°,所以％所以明3为常数，

1

所以｛4｝为等比数列，首项为1,公比为3,即“ij,H€AT

（2）①由M13F）,可得对于任意AWM有

%.

加Y）4制f-3③

如与如七,♦3（n-l）-3（〃N2）

则加…©4=（"，④

萨咽如咽如,飞）4咽J-*2）

由③-⑤得=万一可*之2）,

对③取。=1得，4=1也适合上式，

因此

b.=2w1,neN*

2K-1

②由⑴⑵可知*,.3>*,

2nM2n-l4（l-n）

则〒一尹="^~,

所以当m=l时，°7=°・，即。=4,

当"N2时，即卜・｝在itN2且neN"上单调递减,

故—〉q>%>“

假设存在三项与，J,c,成等差数列，其中$,p,rwM,

由于，可不妨设，<P<r,则％F+4（*）,

2（2^-1）Zy-12r-l

即3》尸3二，

因为*,P,rwM且，<P<r,则，4尸一1且pN2,

2r-1^2p-3

由数列卜・｝的单调性可知，42cz,即广’尸，

c=00迎』=巴1+玄］>见2

因为‘茅"，所以3"尸广尸，

即3八旷‘，化简得2,

又,22且pw町所以p=2或p=3,

当P=2时，,=1,即。=j=l,由时，%<勺=1,此时G,%不构成

等差数列，不合题意,

51

当p=3时，由题意,=1或3=2,即4=1,又'9,代入(*)式得'9.

=1

因为数列｛,-｝在"N2且HEN•上单调递减，且"9,r>4,所以r=5,

综上所述，数列｛'・｝中存在三项。，%,/或%,C*G构成等差数列.

20.(本小题满分13分)设定义域都为卜乃用的两个.函数/(x诩lg(x)的解析式分，别为

/(X)=log2;和g⑶=log,；

(1)求函数尸")=/(x)+g(x)的值域;

(2)求函数6x)=/a〉g(x)的值域.

参考答案：

(1)由已知及对我的运,性明可羯,“

F(x)■/(x)+f(x)■k>g3--Mog#4"log)x-k>g?4+log.xTog42y

A2

1135l

logJx-2+-logax--=-logJx--,x€(72.8]

222'2,结合对数函数的性质得到最值。

(2).由已知及对数的运算性质可得，

所

4xlxl-(-i1

以—z-

4x1B

2

,1分“

y.»max(-x2x«1.1.1x3，-2x3.D・max(?,D■1---Il

22228

因此—14y41♦即一・£G(x)£l・“

88

所以由RG(x)的■域为卜[.1]---------12分“

8

21.(14分)已知三条直线2x-y-3=0,4x-3y-5=0和ax+y-3a+l=0相交于同一点P.

(1)求点P的坐标和a的值；

(2)求过点(-2,3)且与点P的距离为2加的直线方程.

参考答案：

考点：点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标.

专题：直线与圆.

'2x-y-3=0

分析：(1)联立［4x-3y-5=0,解得点p(2,1).将P的坐标(2,1)代入直线

ax+y-3a+l=0中，解得a即可.

(2)设所求直线为1,当直线1的斜率不存在时;则1的方程为x=-2；不合题意.当直

线1的斜率存在时，设直线1的斜率为k,则1的方程为y-3=k(x+2),利用点到直线

的距离公式即可得出.

：2x-y-3=0产

解答：解：⑴联立1©-3丫-5=0,解得j尸1,

.•.点P(2,1).

将P的坐标(2,1)代入直线ax+y-3a+l=0中，可得2a+l-3a+l=0,解得a=2.

(2)设所求直线为1,当直线1的斜率不存