2022-2023学年北京市平谷区高一下学期期中调研数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市平谷区高一下学期期中调研数学试题一、单选题1．复数的虚部为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】直接由复数虚部的定义求解即可【详解】因为复数，故的虚部为，故选：B2．已知向量，，且，则的值为（

）A．4 B．－4 C．1 D．－1【答案】C【分析】根据向量垂直满足的坐标关系即可求解.【详解】由题意可得，故，故选：C3．在中，若，，，则等于（

）A．30° B．45° C．60° D．150°【答案】A【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解作答.【详解】在中，，，，由正弦定理得，而，则为锐角，所以.故选：A4．在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数在复平面表示的方法，结合共轭复数的定义进行求解即可.【详解】在复平面内，复数对应的点如图所示，所以，因此，故选：B5．如图所示，M是△ABC的边AB的中点，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】应用向量加减的几何意义，结合图形用表示出即可.【详解】，故选：C.6．已知，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用和角正切公式即可求值.【详解】.故选：A7．若，其中i是虚数单位，则（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【分析】利用复数乘法及相等求，即可得结果.【详解】由题设，故，所以.故选：B8．将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数图像平移，解方程即可求得结果.【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，即可得，故可得，解得，又因为，故可得.故选：A.【点睛】本题考查由函数图像平移求函数解析式，属基础题.9．在中，若，则该三角形的形状一定是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状．【详解】解：在中，，，即，，，，即，则为等腰三角形．故选：A．10．设m，n为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据共线定理定理和平面向量的数量积的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，存在正数，使得，所以，同向，所以，即充分性是成立的，反之，当非零向量夹角为锐角时，满足，而不成立，即必要性不成立，所以“存在正数，使得”是“”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查了以共线向量和向量的数量积为背景的充分条件、必要条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11．某同学用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，列表如下：0π2π0200则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定的数表，求出及周期，进而求出作答.【详解】观察数表知，，函数的周期，则，由，得，而，则，所以的解析式为.故选：D12．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为；③当时，；④当时，.其中正确结论的序号是（

）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.【详解】对于②，当时，故无法抬动物体，故②错误；对于①，根据题意，得，所以，解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故①正确；对于③，因为，所以当时，，所以，故③错误；对于④，因为，所以当时，，所以，故④正确.故选：B.二、填空题13．已知点，，则线段中点的坐标为.【答案】【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.【详解】点，，所以线段中点的坐标为.故答案为：14．已知向量，，那么.【答案】【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以，所以.故答案为：15．设复数满足，则.【答案】【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模公式求解.【详解】解：因为复数满足，所以复数，所以，故答案为：16．在中，若，是锐角，则的一个取值可以为.【答案】1，（答案不唯一，只要满足即可）【分析】利用余弦定理结合余弦函数的值域即可求解.【详解】在中，由余弦定理得，因为是锐角，即，所以，所以，所以，故的一个取值可以为1，（答案不唯一，只要满足即可）.故答案为：1，（答案不唯一，只要满足即可）17．若复数为纯虚数，则实数a的值为.【答案】-2【分析】解不等式组得解.【详解】因为复数为纯虚数所以，所以.故答案为：18．①；②；③；④；上述式子的值是的序号有.【答案】①②【分析】根据二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系，即可得答案【详解】对于①，，符合题意；对于②，，符合题意；对于③，，不合题意；对于④，，不合题意；综上，上述式子的值是的序号有①②.故答案为：①②19．一艘船以的速度向正北航行，船在处看见灯塔在船的北偏东方向，1后船在处看见灯塔在船的北偏东的方向上，这时船与灯塔的距离等于.【答案】【分析】由题意画出图形：∠A＝45°，∠ACB＝105°，推出∠B，求出AC，利用三角形求出CD，然后求BC．【详解】由题意画出图形，如图过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，AC＝20×1＝20，∠A＝45°，∴sinA．∴CD＝AC•sinA＝2010．在Rt△BCD中，∠B＝∠PCB﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，∴BC＝2•CD＝2×1020．∴此时船与灯塔的距离BC为20故答案为20【点睛】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，也可以利用正弦定理解答本题，考查计算能力．三、双空题20．已知等边的边长为2，D为边BC的中点，点是边上的动点，则的最大值为，最小值为.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解.【详解】如图，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，，，，，，对称轴为，所以在区间单调递减，在单调递增，当时，最大为，当时，最小为，故答案为：；.四、解答题21．已知，，向量与的夹角是.求：(1)；(2)；(3)设向量与的夹角，求.【答案】(1)4；(2)；(3).【分析】（1）利用数量积的定义直接计算作答.（2）利用数量积的运算律求解作答.（3）利用向量的夹角公式求解作答.【详解】（1）因为，，向量与的夹角是，所以.（2）由（1）知，，所以.（3）由（1）知，，，由（2）知，所以.22．在中，角，，的对应边分别为a，b，c，，且.(1)求边的长；(2)求角大小及的面积.【答案】(1)5(2)，【分析】（1）根据正弦定理即可求解，（2）根据余弦定理求解角度，即可由面积公式求解.【详解】（1）由正弦定理，得（2）由余弦定理，所以23．已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调增区间；(2)求函数在区间上的最值.【答案】(1)；，.(2)最大值为，最小值为1【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，所以的最小正周期，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，.（2）因为，因为，所以，所以，所以当，即时取得最大值，当或，即或时取得最小值，所以在区间上的最大值为，最小值为.24．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，两点的横坐标分别为，.(1)写出，的值；（只需写出结果）(2)求的值；(3)求的余弦值.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据任意角三角函数的定义，可得答案；（2）根据单位圆的性质，求得点的坐标，利用同角的商式关系与正切函数的二倍角公式，可得答案；（3）根据余弦的差角公式，可得答案.【详解】（1）设，则，，由任意角三角函数的定义，则，（2）由（1）可知：，又，则，即，.（3）由（1）可知：，又，则，.25．在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个为已知，求：(1)的值；(2)和的面积.条件①：，；条件②：，.【答案】(1)条件①，条件②(2)条件①，；条件②，【