2022学年上海市嘉定区高三年级第三次模试考试数学试卷（文科）

2022学年嘉定区高三年级第三次模拟考试数学试卷（文科）(2012年5月14日)题号一二三总分1—1415—181920212223得分考生注意：本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设集合，，则___________．2．设、，为虚数单位，若，则复数的模为______．3．函数的最小正周期为_____________．4．函数（）的反函数_____________．5．系数矩阵为，解为的一个线性方程组是_______________．6．已知向量，，若，则实数的值为_____________．7．若一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积是_____________．8．若，，成等比数列，则函数的图像与轴交点的个数为_______．9．设则不等式的解集为______________________．10．执行如下图所示的程序框图，那么输出的值为_____________．开始开始输出结束是否11．已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点________________．12．从名男生和名女生中选出人参加交通安全志愿者活动，则选出的人中既有男生又有女生的概率是____________．13．实数、满足如果目标函数的最小值为，则实数的值为_________________．14．已知函数，点为函数图像上横坐标为（）的点，为坐标原点，向量．记为向量与的夹角，则___________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．15．“”是“”的…………（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件16．下列命题中正确的是……………………（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则CABDP17．如图，四棱锥的底面是的菱形，且，，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面平行）可能是…（）CABDPA．B．C．D．18．若对于任意实数，关于的方程恒有解，则实数的取值范围是……………………（）A．B．C．D．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．ECBAA1BECBAA1B1C1如图，在正三棱柱中，，．（1）求三棱柱的表面积；（2）设为棱的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）（2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．OABCMNxy如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限．过点作轴的垂线，垂足为．设直线的斜率为．OABCMNxy（1）若直线平分线段，求的值；（2）当时，求点到直线的距离．解：（1）（2）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．OxyABC如图，角的始边落在轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点、（），△为等边三角形．OxyABC（1）若点的坐标为，求的值；（2）设，求函数的解析式和值域．解：（1）（2）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设向量，（），函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足，．（1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（2）（3）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知函数（），其中、为实常数．（1）若方程有且仅有一个实数解，求、的值；（2）设，，写出的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）（2）（3）2022学年嘉定区高三年级第三次模拟考试数学试卷（文科）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．；2．；3．；4．（）；5．；6．或；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．．二．选择题（每小题5分，满分20分）15．B；16．C；17．B；18．C．三．解答题19．（第1小题5分，第2小题7分，满分12分）FECBAA1B1CFECBAA1B1C1所以．……（5分）（2）取中点，连结、．因为∥，所以就是异面直线与所成角（或其补角）．……（7分）在△中，，，．…………（11分）所以异面直线与所成角的大小为．…………（12分）20．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分）（1）由题设知，，，故，，所以线段中点的坐标为．………………（3分）由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过坐标原点，所以．…………（6分）（2）当时，直线的方程为，由解得，…（8分）从而点的坐标是，点的坐标为，……（10分）于是点的坐标为．…（11分）所以直线的方程为．…（12分）所以点到直线的距离为．…………（14分）21．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分）（1）由题意，，因为点的坐标为，所以，，…………（3分）所以．…………（6分）（2）解法一：在△中，由余弦定理，，……（7分）所以．…………（10分）因为，所以，……（11分）所以．…………（13分）因此，函数（），的值域是．（14分）解法二：由题意，，，……（7分）所以……（10分）因为，所以，…（11分）所以．（13分）所以，函数（），的值域是．（14分）22．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）（1）由已知，……（2分）而函数在上是增函数，……（3分）所以．……（4分）（2）因为，所以（），………………（6分）两式相减，得（．…………（8分）所以，数列的通项公式为…………（10分）（3）因为，（），……（12分）由题意，为的最大项，则，要使为最大值，则……（13分）即……（14分）解得或．…………（15分）所以存在或，使得对所有成立．…………（16分）23．（第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分，满分18分）（1）由已知，方程有且仅有一个解，因为，故原方程可化为，…………（1分）所以，…………（3分）解得，．……（5分）（2）当，时，在区间上是减函数，在上是增函数．…………（7分）（每个区间1分）证明：设，且，，因为，且，所以，，即，所