二次函数y=ax^2的图象和性质（导学案）九年级数学上册系列（人教版）

学习目标1）利用描点法画二次函数y=ax22）通过观察图象能说出二次函数y=ax²的图象特征和性质。3）由二次函数y=ax2（a>0）的图象及性质类比地学习二次函数y=ax重点难点突破二次函数y=ax²的图象特征和性质核心知识二次函数y=ax²的图象特征和性质思维导图引入新课【提问1】画一个函数图象需要哪些步骤？【提问2】画一次函数y=3x+2的图象？【提问3】一次函数的图象是什么形状？二次函数的图象是是什么形状？新知探究【问题】用描点法画二次函数y=x2的图象。【问题】观察y=x2的图象，它有什么特征？它的形状像什么？【提问】抛物线y=x2是轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？【提问】抛物线y=x2与对称轴交点坐标为________叫做抛物线线y=x2的_______,它是抛物线y=x2的最_______点.【提问】观察y=x2的图象，讨论x与y的变化趋势？【提问】对比函数y=1

2x2，y=x2，y=2x2（提示：从开口方向、对称轴、顶点、增减性等方面考虑）【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数y=-12x2，y=-x2，y=-2x2的图象.对比函数图象，有什么相同点与不同点？【问题】对比抛物线y=x2和y=-x2，它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=-ax2呢？【总结】二次函数y=ax²的图象特征和性质:典例分析例1．已知函数y=−11）其图象的开口方向：________2）其图象的对称轴：________3）其图象的顶点坐标：________4）当x>0时，y随x的增大而_______；5）当x__时，函数y的最_____值是________[针对训练]1．抛物线y=x2的对称轴是______________，顶点坐标是_________________．2．已知下列二次函数①y=−x2；②y=25x2；③（1）其中开口向上的是________（填序号）；（2）其中开口向下并且开口最大的是______（填序号）；（3）有最高点的是_______（填序号）．3．下列说法中正确的序号是_____________①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣12x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点例2．如果抛物线y=（m+1）x2的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是__________．例3．已知抛物线y=ax2与y=2x[针对训练]1．若抛物线y＝（a－1）x2（a为常数）开口向上，则a的取值范围是_______．2．已知二次函数y=m−1xm2−33．二次函数y=(m+1)xm2−2m−6的图象开口向下，则4．若点A2,m在抛物线y=5．根据下列条件求a的取值范围：（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线y=−1例4．已知抛物线y=ax2a>0经过A−2,y1、B1,y2、C3,y[针对训练]1．若点A、B是二次函数y＝-5x2图像上的两点，已知x1<x2<0,则y2．若点（-2，y1）和（3，y2）在函数y=x2的图象上，则y1__y2（填“＞”、“＜例5．二次函数的图像如图所示，则m____n（填“＞”或“＜”）．[针对训练]1．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．2．在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3例6．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=2x2与[针对训练]1．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______．2.如图，正方形的边长为2,图中阴影部分的面积为________.【设计意图】考查二次函数y=ax2的对称性。例7．在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x2与直线y=x+1交于点A(a,b)和点B(c,d)，其中a>c，点O为原点，求ΔABO[针对训练]1．抛物线y=ax2与直线y=2x−3交于点（1）求a，b的值；（2）求抛物线y=ax2与直线y=−2的两个交点B，C的坐标（点B在点能力提升1．已知y=k+2（1）求k的值；（2）直接写出顶点坐标和对称轴．2．函数y=(m−2)x（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；（2）若当x≥0时，y随x的增大而减小，求函数的解析式．3．已知函数y＝（k﹣2）xk2-4k+5是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？感受中考1．（2020·四川南充中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（

）A．19≤a≤3 B．19≤a≤1 C．12．（辽宁本溪中考真题）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限课堂小结1.如何画出函数y=ax2的图象？2.函数y=ax2具有哪些性质？3.谈谈你对本节课学习的体会？4.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？【参考答案】引入新课【提问1】画一个函数图象需要哪些步骤？列表、描点、连线【提问2】画一次函数y=3x+2的图象？【提问3】一次函数的图象是什么形状？二次函数的图象是是什么形状？一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条曲线新知探究【问题】用描点法画二次函数y=x2的图象。【问题】观察y=x2的图象，它有什么特征？它的形状像什么？从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2.实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.【提问】抛物线y=x2是轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？抛物线y=x2是轴对称图形，它的对称轴是y轴.【提问】抛物线y=x2与对称轴交点坐标为___（0，0）_____叫做抛物线线y=x2的____顶点___,它是抛物线y=x2的最___低____点.【提问】观察y=x2的图象，讨论x与y的变化趋势？当x＜0时，y随x的增大而__减小___；当x＞0时，y随x的增大而___增大__.【提问】对比函数y=1

2x2，y=x2，y=2x2（提示：从开口方向、对称轴、顶点、增减性等方面考虑）1）开口都向上（a>0），对称轴都是y轴。2）当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大。3）顶点是原点（最小值）。4）a值越大抛物线开口越小。【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数y=-12x2，y=-x2，y=-2x2的图象.对比函数图象，有什么相同点与不同点？1）开口都向上（a<0），对称轴都是y轴。2）当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小。3）顶点是原点（最大值）。4）a值越小抛物线开口越小。【问题】对比抛物线y=x2和y=-x2，它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=-ax2呢？二次项系数互为相反数，则它们关于x轴对称，且抛物线开口方向相反，大小相同.【总结】二次函数y=ax²的图象特征和性质:典例分析例1．已知函数y=−11）其图象的开口方向：____向下____2）其图象的对称轴：____y轴____3）其图象的顶点坐标：___（0，0）_____4）当x>0时，y随x的增大而___减小____；5）当x=0__时，函数y的最___大__值是____0____[针对训练]1．抛物线y=x2的对称轴是_______y轴_______，顶点坐标是________（0，0）_________．2．已知下列二次函数①y=−x2；②y=25x2；③（1）其中开口向上的是____②③⑤____（填序号）；（2）其中开口向下并且开口最大的是____①__（填序号）；（3）有最高点的是___①④____（填序号）．3．下列说法中正确的序号是______①②④_______①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣12x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点例2．如果抛物线y=（m+1）x2的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是_____m<−1_____．例3．已知抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同，则[针对训练]1．若抛物线y＝（a－1）x2（a为常数）开口向上，则a的取值范围是___a>1____．2．已知二次函数y=m−1xm2−3的图象开口向下，则m的值为3．二次函数y=(m+1)xm2−2m−6的图象开口向下，则m值为_____4．若点A2,m在抛物线y=x2上，则m的值为_____4______，点A关于y轴对称点的坐标是_____5．根据下列条件求a的取值范围：（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线y=−1【详解】解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2；(2)由题意得，3a-2＜0，解得a<2(3)由题意得，a+2=−12例4．已知抛物线y=ax2a>0经过A−2,y1、B1,y2、C3,y3三点，则y[针对训练]1．若点A、B是二次函数y＝-5x2图像上的两点，已知x1<x2<0,则y1_2．若点（-2，y1）和（3，y2）在函数y=x2的图象上，则y1__y2（填“＞”、“＜例5．二次函数的图像如图所示，则m__＞__n（填“＞”或“＜”）．[针对训练]1．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为___a＞b＞d＞c__．2．在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=a例6．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=2x2与y=−2x[针对训练]1．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为____2π___．2.如图，正方形的边长为2,图中阴影部分的面积为____2____.【设计意图】考查二次函数y=ax2的对称性。例7．在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x2与直线y=x+1交于点A(a,b)和点B(c,d)，其中a>c，点O为原点，求ΔABO的面积【详解】解：由题意得：y=2解得：x=−12∵点A(a,b)和点B(c,d)，其中a>c∴A(1,2)，B(−直线y=x+1与y轴的交点坐标为：（0，1）∴SΔABO=12×12×1+12×1[针对训练]1．抛物线y=ax2与直线y=2x−3交于点（1）求a，b的值；（2）求抛物线y=ax2与直线y=−2的两个交点B，C的坐标（点B在点【详解】解：（1）∵点A(1,b)在直线y=2x−3上，

∴b=−1，∴点A坐标(1,−1)，把点A(1,−1)代入y=ax2得到

∴a=b=−1．（2）由y=−x2y=−2解得x=∴点C坐标(−2，-2)，点B坐标(2，-2)能力提升1．已知y=k+2（1）求k的值；（2）直接写出顶点坐标和对称轴．【详解】解：（1）由y=k+2xk2+k−4是二次函数，且当x<0k2+k−4=2k+2<0，解得（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．2．函数y=(m−2)x（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；（2）若当x≥0时，y随x的增大而减小，求函数的解析式．【详解】解：∵函数y=(m−2)x∴m2﹣3m﹣2＝2，且m-2≠0，解得，m1＝4，m2＝﹣1．（1）∵其函数图象开口向上，∴m﹣2＞0，解得m＞2，∴m＝4．∴函数关系式为y＝2x2；（2）∵当x≥0时，y随x的增大而减小，∴m﹣2＜0，∴m＜2，∴m＝﹣1，∴函数关系式为y＝﹣3x2．3．已知函数y＝（k﹣2）xk2-4k+5是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？【详解】解：（1）∵函数y＝（k﹣2）xk2-4k+5是关于x的二次函数，∴k满足k2﹣4k+5＝2∴解得：k1（2）∵抛物线有最高点，∴图象开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得，∴k＝1，∴最高点为（0，