三角函数的图像和性质

班级姓名教师评价课题：《正弦、余弦函数的图象》学案【学习目标】①知识与技能：会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象，明确图象的形状；根据关系，作出的图象；理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法并利用图象解决一些有关问题；=2\*GB3②过程和方法借助多媒体引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；通过学生自己的讨论探究余弦函数的图象；由学生观察正弦函数和余弦函数图象总结“五点作图法”；【学习重点】用“五点作图法”画区间[0,2π]上的正弦函数图象。【学习难点】利用单位圆画正弦函数图象。【自主学习】(一)课前演练①弧度定义：=2\*GB3②复习诱导公式六：，=3\*GB3③正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有sinα==cosα==有向线段叫做角α的正弦线，有向线段叫做角α的余弦线．（二）新课引入实物演示：“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”思考：该曲线就是正弦函数的图象，我们把它叫作正弦曲线，那么你有办法画出该曲线比较精确的图象吗？用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象基本步骤：第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线（等价于“列表”）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．【自主质疑和合作探究】探究1你能根据正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象得到y=sinx，x∈R的图象吗？探究2：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？正正弦函数y=sinx的图象叫做余弦函数y=cosx的图象叫做探究3：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？余弦函数y=cosxx[0,2]的关键点又是哪些？正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：余弦函数y=cosxx[0,2]的五个点关键是哪几个？【典例剖析】：例1作下列函数的简图(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，（2）y=-cosx探究4．如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y＝1＋sinx,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x-π/3)的图象？探究5．如何利用y=cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象？【知识梳理】（1)正弦函数图象的几何作图法(2)正弦函数图象的五点作图法(注意五点的选取)(3)由正弦函数图象平移得到余弦函数图象【总结反思】【巩固拓展训练】1.函数的简图（）.2．函数的部分图象是（）BABACD3.的图象与直线的交点的个数为.4．如何利用y=cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象？班级姓名教师评价课题：《正弦、余弦函数的性质》学案【学习目标】①知识与技能：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期；掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。=2\*GB3②过程和方法由学生观察正弦函数和余弦函数图象发现正弦函数和余弦函数的性质；通过自主探究加深对函数性质的理解和运用；第一课时【学习重点】正、余弦函数的周期性。【学习难点】正、余弦函数周期性的理解与应用【自主学习】(一)课前演练①利用五点作图法做出正、余弦函数的图象？=2\*GB3②根据正弦函数和余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质？（二）新课讲授定义域y=sinx的定义域是y=cosx的定义域是值域y=sinx的值域是y=cosx的值域是周期性由sin(x+2k)=sinxk∈Z知正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的，即正弦函数图象周而复始地重复出现，我们把这种变化规律叫做函数的周期性周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个，使得当x取内的每一个值时，都有那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的且任何一个非零常数kT(k∈Z,k≠0)都是它的如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做函数f(x)的【自主质疑和合作探究】探究1对于函数，有，能否说是它的周期？探究2（，且）？探究3若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？探究4根据上述定义，你能得出正弦函数的周期性吗？探究5类似地，你能探索一下余弦函数的周期性吗？【典例剖析】例求下列三角函数的周期：.探究6你能从例题的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？【知识梳理】（1)三个定义：周期函数，周期，最小正周期；(2)正、余弦函数的周期性；(3)求函数及函数，的周期【总结反思】【巩固拓展训练】1求下列函数的周期：2.函数的最小正周期为（）A． B． C． D．3.函数的最小正周期是___________.4.若函数是以为周期的函数，且__________.5.函数是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？正弦函数、余弦函数的性质（二）第二课时【学习重点】正、余弦函数的奇偶性、单调性和最值；【学习难点】正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用【自主学习】一、讲解新课：（4）奇偶性定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，eq\o\ac(○,1)都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数。eq\o\ac(○,2)都有___________，那么函数f(x)就叫做奇函数。如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。例如：函数f(x)=x2+1,f(x)=x4-2等都是___________。函数f(x)=x,f(x)=x3-2x等都是___________。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)必有一成立。探究1观察正余函数的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。探究2这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。探究3总结正、余弦函数的奇偶性？1.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式_________________________可知，余弦函数是偶函数.2.正弦函数图象关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________.（5）单调性和最值从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.结合正弦函数的周期性可知：1.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.2．正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________时取得最小值－1.探究5余弦函数的单调性呢？3.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.4.余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1.【典例剖析】例1求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值和最小值时的自变量x的集合：；.例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小例3.求函数的单调递增区间【知识梳理】本节的知识内容可用下表来概括：函数正弦函数余弦函数图象定义域值域当时，当时，当时，当时，周期性是周期函数，最小正周期是周期函数，最小正周期奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于轴对称单调性在上是单调增函数；在上是单调减函数.在上是单调增函数；在上是单调减函数.【总结反思】【巩固拓展训练】1.函数的奇偶数性为（）.A.奇函数B.偶函数C．既奇又偶函数D.非奇非偶函数2.下列函数在上是增函数的是（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2x3.设函数，则是___________.（奇函数或者偶函数）4.函数值的大小关系正确的是（）.A.B.C.D.5.下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）.A.B.y=C.D.6.函数在闭区间（）.A.上是增函数B.上是增函数C.上是增函数D.上是增函数7.函数y=sin2x的单调减区间是（）A.B.C.D.8.函数y=sin的单调增区间是（）.A.B.C.D.9.函数，其单调性是（）.A.在上是增函数，在上是减函数B.在上是增函数，在上分别是减函数C.在上是增函数，在上是减函数D.在 是增函数，在上是减函数10.求函数的最大值、最小值和周期，并求这个函数取最大值、最小值的值的集合。11.定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若最小正周期为，且当时，，则的值为（）A．B.C.D.12.函数是上的偶函数，则的值是.班级姓名教师评价课题：《1.4.3正切函数的性质与图象》学案（2课时）【学习目标】①知识与技能：能用单位圆中的正切线画出正切函数的图象；能熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质；并掌握正切函数的图象与性质；掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。=2\*GB3②过程和方法类比正弦函数图象的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图象；能学以致用，结合图象分析得到正切函数的性质。通过自主探究加深对函数性质的理解和运用；【学习重点】正切函数的性质与图象【学习难点】熟练运用正切函数的性质与图象分析问题、解决问题【自主学习】【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图象研究了它们的性质。今天你能否根据研究正弦、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法，研究正切函数的图象与性质？【探究新知】（1）正切函数的图像问题1．正切函数的定义域是什么？问题2．正切函数是不是周期函数？，∴是的一个周期。是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。xy问题3．如何作，的图象？xyOO0yx问题4根据正切函数的周期性，你能得到正切函数，且的图像吗？0yx从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。（2）正切函数y＝tanx的性质问题5你能从正切函数的图像出发，讨论它的性质吗？1、正切函数的最小正周期为____________；的最小正周期为_____________.2、正切函数的定义域为____________；值域为_____________.3、正切函数在每一个开区间__________________内为增函数.4、正切函数为___________函数.（填：奇或偶）问题6正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？问题7正切函数会不会在某一区间内是减函数吗？为什么？问题8观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围：tanx>0;x值的范围为_________________________.tanx=0;x值的范围为_________________________.tanx<0;x值的范围为_________________________.【典例剖析】例1求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单