第五章相交线与平行线复习课件教材

第五章相交线与平行线本章总结提升

本章知识框架本章知识框架整合拓展创新整合拓展创新第五章相交线与平行线本章总结提升本章知识框架本本章知识框架第五章相交线与平行线顶点公共边公共边互为反向延长线互补顶点顶点边相等不相交平行平行相等相等相等本章知识框架第五章相交线与平行线顶点公共边公共边互为反向延本章知识框架第五章相交线与平行线90°垂足有且只有垂线段垂线段相等相等互补判断一件事题设结论真命题假命题本章知识框架第五章相交线与平行线90°垂足有且只有垂线段垂本章知识框架第五章相交线与平行线直线一定形状大小平行（或在同一条直线上）且相等平行（或在同一条直线上）且相等本章知识框架第五章相交线与平行线直线一定形状大小平行（或在整合拓展创新第五章相交线与平行线类型之一利用对顶角、补角、邻补角的性质进行推理和计算运用对顶角相等、邻补角的和为180°建立角与角之间的关系.其中正确识图是解题关键，对于复杂的计算，还可以通过设未知数列方程的方法来解决．例1

如图5－T－1，已知OB⊥OA，直线CD过点O，且∠AOC＝25°.求∠BOD的度数．图5－T－1整合拓展创新第五章相交线与平行线类型之一利用对顶角、补角第五章相交线与平行线解：解法一：因为OB⊥OA(已知)，所以∠BOA＝90°(垂直的定义)．又因为∠AOC＝25°(已知)，所以∠BOC＝∠BOA－∠AOC＝65°.又因为直线CD过点O，所以∠COD是平角，即∠COD＝180°，所以∠BOD＝∠COD－∠BOC＝115°.第五章相交线与平行线解：解法一：因为OB⊥OA(已知)，第五章相交线与平行线解法二：反向延长OA，并在延长线上任取点E，所以∠DOE＝∠AOC＝25°(对顶角相等)．又因为直线AE过点O，∠AOE是平角，即∠AOE＝180°(平角的定义)，所以∠BOE＝180°－∠AOB＝90°，所以∠BOD＝∠BOE＋∠DOE＝90°＋25°＝115°.[归纳总结]

从解法一和解法二的解题过程可以分辨出解法二的过程较简便，其原因是它在原图形上加了延长线(虚线部分)，这个延长线构造出了直角，也把原要求的角分成了两个部分，剩下的任务就是求∠DOE的大小．第五章相交线与平行线解法二：反向延长OA，并在延长线上任取第五章相交线与平行线【针对训练】1．如图5－T－2，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试说明∠AOC与∠BOD是对顶角．图5－T－2[解析]要说明∠AOC与∠BOD是对顶角，只需C，O，D三点在同一条直线上，即只需∠COD＝180°即可．第五章相交线与平行线【针对训练】1．如图5－T－2，O是第五章相交线与平行线解：因为∠AOC＋∠COB＝180°(平角的定义)，∠AOC＝∠BOD(已知)，所以∠BOD＋∠COB＝180°，即∠COD＝180°，所以C，O，D三点在一条直线上(平角的定义)，即直线AB，CD相交于点O.所以∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角的定义)．[点析]

证三点共线的方法，通常证这三点组成的角为平角．第五章相交线与平行线解：因为∠AOC＋∠COB＝180°第五章相交线与平行线类型之二利用平行线、垂线的判定和性质进行推理计算建立分散的角与角之间的关系，平行线是最好的“桥梁”之一．所以先观察角与角之间的数量关系及特征(相等或互补)来推断线与线的平行，再利用线的平行来计算角的大小，这正是本类题型的常见解题思路．第五章相交线与平行线类型之二利用平行线、垂线的判定和性质第五章相交线与平行线例2

如图5－T－3，已知DA⊥AB于点A，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°.试说明：BC⊥AB.图5－T－3[解析]欲说明BC⊥AB，即说明∠B＝90°.因为DA⊥AB，所以若能说明AD∥CB，则BC⊥AB.由DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°可说明∠ADC＋∠BCD＝180°，从而说明AD∥BC.第五章相交线与平行线例2如图5－T－3，已知DA⊥AB于第五章相交线与平行线解：因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4(角平分线的定义)．因为∠1＋∠2＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，即∠ADC＋∠BCD＝180°，所以AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)，所以∠A＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．因为DA⊥AB，所以∠A＝90°(垂直的定义)，所以∠B＝90°，即BC⊥AB(垂直的定义)．[归纳总结]

由角判定平行，主要是根据同位角、内错角、同旁内角的关系判定直线平行．第五章相交线与平行线解：因为DE平分∠ADC，CE平分∠第五章相交线与平行线【针对训练】2．如图5－T－4，已知BC∥DE.试说明：∠ACB与∠AOE互补．图5－T－4[解析]由BC∥DE可知∠ACB＝∠EOC.又因为∠AOE＋∠EOC＝180°，故可得证．第五章相交线与平行线【针对训练】2．如图5－T－4，已知第五章相交线与平行线解：因为BC∥DE(已知)，所以∠ACB＝∠EOC(两直线平行，内错角相等)．因为∠AOE＋∠EOC＝180°，所以∠AOE＋∠ACB＝180°(等量代换)，即∠ACB与∠AOE互补．[点析]

本题需要综合运用补角的定义和平行线的性质的知识．第五章相交线与平行线解：因为BC∥DE(已知)，[点析]第五章相交线与平行线例3

如图5－T－5，已知BD∥CE，∠1＝105°，∠2＝140°，求∠3的度数．图5－T－5[解析]因为∠3＋∠BAC＝180°，欲求∠3，需求∠BAC.观察图形，∠1，∠2，∠BAC没有直接联系．由已知BD∥CE，可以联想到平行线的性质，添加辅助线，作AF∥BD，则∠3，∠1，∠2，∠4，∠5之间的关系就比较明显了．第五章相交线与平行线例3如图5－T－5，已知BD∥CE，第五章相交线与平行线解：如图5－T－5，过点A作AF∥BD，所以∠1＋∠4＝180°，所以∠4＝180°－∠1＝180°－105°＝75°.又因为AF∥BD，BD∥CE，所以AF∥CE，所以∠2＋∠5＝180°，所以∠5＝180°－∠2＝180°－140°＝40°，所以∠3＝180°－∠4－∠5＝180°－(75°＋40°)＝180°－115°＝65°.

第五章相交线与平行线解：如图5－T－5，过点A作AF∥BD第五章相交线与平行线【针对训练】3．如图5－T－6，已知∠1＝40°，∠2＝140°，∠3＝40°，∠4＝140°.试说明：a∥b，b∥c，d∥e，a∥c.图5－T－6第五章相交线与平行线【针对训练】3．如图5－T－6，已知第五章相交线与平行线[解析]初看此题，由于角多，直线多，给人一种杂乱的感觉，好像无从下手，但仔细观察图形，认真分析题意，会发现平行的两条直线被第三条直线所截构成的“三线八角”非常明显，再通过所给的角度，不难得到结论．解：因为∠1＝40°，∠2＝140°(已知)，所以∠1＋∠2＝180°，所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)，所以∠6＝∠1＝40°(两直线平行，同位角相等)．又因为∠3＝40°(已知)，第五章相交线与平行线[解析]初看此题，由于角多，直线多，第五章相交线与平行线所以∠3＝∠6(等量代换)，所以d∥e(同位角相等，两直线平行)．因为∠5＋∠4＝180°(平角的定义)，∠4＝140°(已知)，所以∠5＝40°(等式的性质)，所以∠3＝∠5(等量代换)，所以b∥c(内错角相等，两直线平行).因为a∥b，b∥c(已说明)，所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)．第五章相交线与平行线所以∠3＝∠6(等量代换)，第五章相交线与平行线4．如图5－T－7所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D.试说明：BE⊥DE.图5－T－7[解析]欲得出∠BED＝90°，而已知条件无法直接运用，作辅助线EF∥AB，将∠BED分解为∠3和∠4，可分别利用平行线的性质定理达到目的．第五章相交线与平行线4．如图5－T－7所示，AB∥CD，∠第五章相交线与平行线解：过点E作EF∥AB.因为AB∥CD(已知)，所以EF∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)．又因为∠D＝∠2(已知)，所以∠4＝∠2(等量代换)．同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1.因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°(平角的定义)，所以∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝90°，即∠BED＝90°，故BE⊥DE.第五章相交线与平行线解：过点E作EF∥AB.因为AB∥CD第五章相交线与平行线[点析]

这是初学几何较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线，把一个大角分成两个小角，分别与两个已知角建立联系．这种转化思想在解题时经常用到．第五章相交线与平行线[点析]这是初学几何较为复杂的题目，第五章相交线与平行线类型之三平行线的判定及性质在实际生活中的应用平行线在折叠问题，探照灯光线，公路“拐角”等方面有着广泛的应用，解决此类问题的办法是利用平行线的判定与性质，实现角之间的转换．例4

如图5－T－8所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF.若∠ABE＝20°，求∠EFC′的度数．图5－T－8第五章相交线与平行线类型之三平行线的判定及性质在实际生活第五章相交线与平行线[解析]长方形的四个角都是90°，且AD∥BC，根据折叠可知∠EFC′＝∠EFC，∠DEF＝∠BEF，所以∠EFC′＝∠EFC＝180°－∠DEF，故问题转化成求∠DEF.以E为顶点的∠AED为平角，∠ABE＝20°，根据∠ABE＋∠EBF＝∠ABC＝90°，∠AEB＝∠EBF求出∠AEB的度数，从而可求得∠DEF.解：在长方形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC.因为∠ABE＝20°，所以∠EBF＝∠ABC－∠ABE＝70°.第五章相交线与平行线[解析]长方形的四个角都是90°，且第五章相交线与平行线第五章相交线与平行线第五章相交线与平行线[归纳总结]

本例应用平行线的性质对折叠问题进行计算，说明运用数学知识能准确解决现实生活、生产中的问题，增强学生应用数学的意识．第五章相交线与平行线[归纳总结]本例应用平行线的性质对折第五章相交线与平行线【针对训练】5．一艘渔船在海上航行，发现一个小岛，在渔船上测得小岛在渔船的北偏东50°方向上，那么在