第3节 导数与函数的极值、最值

第三章一元函数的导数及其应用第3节导数与函数的极值、最值1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧_________.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧________.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为________,极小值和极大值统称为______.知识梳理f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)＞0f′(x)＜0极值点极值2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的______；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值_____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.极值f(a)，f(b)[常用结论]1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为极值点.(

)(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.(

)(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(

)(4)函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.(

)解析(1)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.(3)反例：f(x)＝x2在区间(－1，2)上的最小值为0.×诊断自测√×√2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(

)AA.1 B.2 C.3

D.4解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数值符号左负右正.－104.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是

__________________________.解析f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2＞0，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一利用导数研究函数的极值角度1根据导函数图象判断极值例1(多选)(2022·重庆检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(

)ACA.－3是函数y＝f(x)的极值点

B.－1是函数y＝f(x)的极小值点C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增

D.－2是函数y＝f(x)的极大值点

解析根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，1)时，f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，可知－3是函数y＝f(x)的极值点，所以A正确.因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.感悟提升x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

ln2－1

故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值.

(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数在定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.感悟提升

角度3由函数的极值求参数例3(1)(2023·绵阳质检)若x＝2是函数f(x)＝x2＋2(a－2)x－4alnx的极大值点，则实数a的取值范围是(

) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(2，＋∞) D.(－2，2)A①若a≥0，当x＞2时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，所以当x＝2时，f(x)取得极小值，不满足题意，故舍去.

②若a＜－2，由f′(x)＞0可得0＜x＜2或x＞－a，由f′(x)＜0可得2＜x＜－a，所以当x＝2时，f(x)取得极大值，满足题意.③若－2＜a＜0，由f′(x)＞0可得0＜x＜－a或x＞2，由f′(x)＜0可得－a＜x＜2，所以当x＝2时，f(x)取得极小值，不满足题意.④若a＝－2，则f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，此时f(x)无极值.综上，a＜－2满足条件，故选A.

(2)(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)在(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为_____________.当0＜x＜1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，所以g(x)的极大值为g(1)＝1，又当x＞1时，g(x)＞0，当x→＋∞时，g(x)→0，当x→0时，g(x)→－∞，(1)已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验.(2)判断极值点的个数，转化为导数的根的个数.感悟提升

训练1(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(

)DA.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.

(2)(2023·长沙模拟)若x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极大值为________.解析因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，因为x＝1是函数f(x)的极值点，故可得f′(1)＝0，即2a＋2＝0，解得a＝－1.此时f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x＋2)(x－1).由f′(x)＞0可得x＜－2或x＞1；由f′(x)＜0可得－2＜x＜1，故f(x)的极大值点为x＝－2.则f(x)的极大值为f(－2)＝(4＋2－1)e－3＝5e－3.5e－3

要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.令h(x)＝mx2－x＋m，考点二利用导数研究函数的最值角度1求已知函数的最值例4已知函数f(x)＝xlnx－a(x－1)，求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值.解f(x)＝xlnx－a(x－1)，则f′(x)＝lnx＋1－a，由f′(x)＝0，得x＝ea－1.所以在区间(0，ea－1)上f(x)单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上f(x)单调递增.(1)当ea－1≤1，即a≤1时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(1)＝0.

(2)当1＜ea－1＜e，即1＜a＜2时，f(x)在[1，ea－1]上单调递减，在[ea－1，e]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(ea－1)＝a－ea－1.(3)当ea－1≥e，即a≥2时，f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(e)＝a＋e－ae.综上，当a≤1时，f(x)的最小值为0；当1＜a＜2时，

f(x)的最小值为a－ea－1；当a≥2时，f(x)的最小值为a＋e－ae.

[－2，1)解析由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，故若函数f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.(2)若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.感悟提升

由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意.综上，a＝－10.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升31.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(

)B【A级

基础巩固】A.1 B.2 C.3

D.4解析由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.BAC得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1.根据题意得[2(a－1)]2－4≤0，解得0≤a≤2.C解析由图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是f(x)的极值点，∴1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，∴f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，

6.(2023·哈尔滨质检)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值.若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(

) A.15 B.－15 C.10 D.－13解析因为f′(x)＝－3x2＋2ax，f(x)在x＝2处取得极值，所以f′(2)＝0，即－12＋4a＝0，解得a＝3，所以f′(x)＝－3x2＋6x.又当n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n单调递增，所以当n＝－1时，f′(n)的最小值为－9.当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以f(m)在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，所以当m＝0时，f(m)最小值为－4.故f(m)＋f′(n)的最小值为－4＋(－9)＝－13.DABC∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确；且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，∴f(x)的图象如图所示，由图知C正确，D不正确.8.(2023·广州模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝____________________.解析正弦函数f(x)＝sinx为奇函数，且存在极值.sinx(答案不唯一)9.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件.解析y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当0<x<3时，y′>0；当x>3时，y′<0.故当x＝3时，该商品的年利润最大.310.(2023·福州一模)已知函数f(x)＝xlnx＋mex有两个极值点，则实数m的取值范

围是________________.解析f′(x)＝lnx＋1＋mex(x＞0)，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，若f(x)有两个极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，11.已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；解因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.解设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.解因为F(x)＝af(x)，令F′(x)>0得0<x<e，令F′(x)<0得x>e，所以F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以F(x)在[a，2a]上的最小值F(x)min＝min{F(a)，F(2a)}.所以当0<a≤2时，F(a)－F(2a)≤0，F(x)min＝F(a)＝lna.当a>2时，F(a)－F(2a)>0，B【B级

能力提升】AD解析f′(x)＝lnx＋1＋2x，∵x0是f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，即lnx0＋1＋2x0＝0，所以当0＜t＜2时，f′(t)