初级中学数学竞赛试题参考答案

1/51/5中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯"2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)TOC\o"1-5"\h\z.已知非零实数”，〃满足|2〃-4|+|"2|+5(〃-3纺2+4=2”,则a+匕等于( ).(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2【答】C.解：由题设知”三3,所以，题设的等式为|"2|+J(a-3)打=0,于是a=3,b——2， 而。+Z?=1.(第2题).如图，菱形的边长为〃，点。是对角线AC上的一点,且。4=〃，OB=OC=OD=1,则〃等于( (第2题)(A) (B)2^11 (C)1 (D)22 2【答】A.解：因为△60。sAABC,所以='0,即ABAC1a—— ?aa+1所以,由a>0,解得〃=匕2叵.2.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为〃,第二次掷出的点数为。，则使关于x,y的方程组ax+by=3,x+2y=2只有正数解的概率为()(A)-112【答】D.

(B)I

coA18

13(D)—36解：当2a-8=0时，方程组无解.6-2bX- )当2a-当2a-时，方程组的解为《2。—3y~ ・2a-b[6-2b八[2a-。>0,2a-b<0, >0,由已知，得2"b 即va〉—5 ^4<3Q<一?2a—3八22 >0,2a-bb<3,b>3.由〃，8的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得Ia—2,3,4,5,6,,,,. 了.、日_[〃=1, ,1了.、日, 共有5X2=10种情况；或，「〃共3种情况.[b=1,2, [b=4,5,6,13又掷两次骰子出现的基本事件共6X6=36种情况，故所求的概率为36.如图1所示，在直角梯形中，AB//DC,4=90。.动点尸从点B出发，沿梯形的边由B一。一。一A运动.设点尸运动的路程为1,^入与尸的面积为y.把y看作，的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为().图1(第4题)图2(A)10 (B)16 (C)图1(第4题)图2【答】B.

解：根据图像可得6。=，CD=,DA=,进而求得A8=,故1S心「二—x8x4二△ABC25.关于x,y的方程工2+q+2y2=29的整数解（x,y）的组数为（ ）.（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组【答】C.解：可将原方程视为关于％的二次方程，将其变形为%2+jx+(2y-29)=0.由于该方程有整数根，则判别式ANO,且是完全平方数.解得 1^^16.57.于是7014916A11610988534由A=#4(劣2-29)=-yl+妾D6显然，只有刀=16时，A=4是完全平方数，符合要求.TOC\o"1-5"\h\z当y=4时，原方程为+4x+3=0,止匕时x=—l,x=—3；1 2当y=—4时，原方程为一4%+3=0,止匕时x=l,x=3.3 4所以，原方程的整数解为X=1,<3y=-4;I3x=3,< 4yX=1,<3y=-4;I3x=3,< 4y=-4.k4<1 12J=4; h=4;L1 L2二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km.# 15分又0＜。＜2009，所以。=0,1,…,10.因此,满足条件的所有可能的正整数〃的和为11+192(1+24——卜10)=10571. 20分.如图，给定锐角三角形A8C,3GCA,a。，BE是它的两条高，过点。作△ABC的外接圆的切线/,过点。，石分别作/的垂线，垂足分别为凡G.试比较线段。厂和EG的大小，并证明你的结论.解法1：结论是。方=£G.下面给出证明. （•第34题）因为/bCD=/EA5,所以RtsRtAEAB.于是可得df=be--.AB同理可得CF同理可得EG=AD-——AB10分又因为tan/AC6二ADBECDCE，所以有,DF=EG.・又因为tan/AC6二ADBECDCE，所以有,DF=EG.・20分解法2：结论是。方=£G.下面给出证明.连接。石，ZADB=ZAEB=90°,所以A,B,D,E于是可得d5分四点共圆，故/CED四点共圆，故/CED=ZABC.(第13A题)10分又I是。。的过点C的切线，所以ZACG=ZABC. 15分所以，/CED=/ACG,于是DE〃FG,故=EG.20分.n个正整数〃，a,a满足如下条件：1=〃<a<••・<〃=2009；TOC\o"1-5"\h\z12 n 12 n且“，a,…,〃中任意〃一1个不同的数的算术平均数都是正整数.求〃的最大值.1 2 n解：设“，”，…，〃中去掉〃后剩下的〃一1个数的算术平均数为正整数匕，1 2 n i i.nnr(a+〃+•••十〃)—〃i=1,2,…,n.即b——i s « i-.i n-1于是，对于任意的都有a-ab—b二7 、ijn—1从而 n-1Q—a） 5分Ji由于b-b=幺工=当是正整数，故1 « n-1 n-1n-13x25.1 10分由于 a-1=（〃-a）+（〃-a）h F（a-a）n nn-1 n-1 n-1 2 1三（几—1）+（川一1）+•••+（几—1）=（72—1）2,所以，(所以，(H—1