人教版九年级数学上册 （配方法）一元二次方程教学课件(第1课时)

第二十一章一元二次方程第二十一章一元二次方程配方法第1课时

学习目标12会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.(重点）新课导入如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

问题情境ABCPQ试一试

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4；(2)x2=0；(3)x2+1=0.解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.知识讲解★直接开平方法的概念

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.（2）当p=0

时，方程x2=p有两个相等的实数根=0；（3）当p<0

时,因为任何实数x，都有x2≥0

，所以方程x2=p无实数根.

如果我们把x2=4，

x2=0，

x2+1=0变形为x2=p

会是什么情形？一般的，对于方程x2=p,

（1）当p>0

时，根据平方根的意义，方程x2=p有两个不等的实数根，；(1)x2=25；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=25，直接开平方，得（2）移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.

利用直接开平方法解下列方程:例1★用直接开平方法解方程在解方程例1(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:（x+2)2=5，解得对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程（x+2）2=25？于是，方程（x+2）2=25的两个根为上面的解法中，由方程

得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：

先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念直接求解.

分析：第1小题中只要将（x＋2）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.解：（1）∵x+2是7的平方根，∴x+2=

解下列方程：⑴（x＋2）2=7；

例2分析：同第（1）小题一样地解.（2）（2x+3）2=16；

解：∵2x+3是16的平方根，∴2x+3=±4.即2x+3=4或2x+3=-4∴x1=

，

x2=(3)2（

1－3x

）2－18=0.分析：第3小题先将－18移到方程的右边，再两边都除以2，再同第（1）小题一样地去解，然后两边都除以-3即可.

解：移项，得2（

1－3x

）2=18，两边都除以2，得（1－3x

）2=9.∵1－3x是9的平方根，∴1－3x=±3.即1－3x=3或1－3x=-3.1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=p或（mx＋n）2=p（p≥0）的形式的方程，可得方程的根为x=或mx＋n=2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况.注意随堂训练1．下列方程可用直接开平方法求解的是()A．x2＝4B．4x2－4x－3＝0C．x2－3x＝0D．x2－2x－1＝9

CA4．关于x的一元二次方程x2＋a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是

．3.若(a2＋b2－2)2＝25，则a2＋b2＝

．7a＞0

(2)(3x＋2)2＝25；

(3)(x＋1)2－4＝0;解：移项，得(2－x)2＝9，开平方，得2－x=±3，即2－x=3或2－x=-3，

∴

x1＝-1，x2＝5.(4)(2－x)2－9＝0.

②

5.用直接开平方法解一元二次方程4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0.小明的解答如下：移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2.①直接开平方，得2(2x－1)＝5(x＋1)．②小明的解答有无错误？若有，错在第

步，原因是

，写出正确的解答过程．直接开平方法概念利用平方根的定义求方程的根的方法步骤关键要把方程化成x2=p(p≥0)或（x+n)2=p（p≥0)基本思路课堂小结一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法第二十一章一元二次方程第二十一章一元二次方程配方法第2课时

学习目标12了解配方的概念.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）

复习新课导入解下列方程

（1）3x2-1=5；（2）（x-1）2-9=0；（3）x2+8x+16=9.方程（1)(2）可转化成x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）的形式的方程，由直接开平方法可得方程的根为x=或x＋n=.方程x2+8x+16=9能不能转化成（x＋n）2=p（p≥0）的形式？想一想方程（3）怎么解呢？知识讲解★配方的方法你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；a+b(2)a2-2ab+b2=(

)2.a-b探究交流做一做：填上适当的数，使下列等式成立1.x2+12x+

=(x+6)2；2.x2-6x+

=(x-3)2；3.x2-4x+

=(x-

)2；4.x2+8x+

=(x+

)2.问题：上面等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？6232222424将方程转化为（x+m)2=n(n≥0）的形式的方法叫配方法.对于形如x2+ax

的式子如何配成完全平方式？二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.★用配方法解方程探究交流怎样解方程x2+6x+4=0？1.把方程变成（x+n)2=p（p≥0）的形式x2+6x+4=0

x2+6x=-4移项

x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：

常数项等于一次项系数一半的平方.(x+3)2=5配方2.用直接开平方法解方程(x+3)2=5(x+3)2=5开方

求解配方法解方程的基本思路

把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解．方法归纳

在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.方程配方的方法配方法解方程的基本步骤一般步骤方法一移移项将常数项移到右边，含未知数的项移到左边二化二次项系数化为1左、右两边同时除以二次项系数三配配方左、右两边同时加上一次项系数一半的平方

四开开平方利用平方根的意义直接开平方五解解两个一元一次方程移项，合并

解下列方程：例1∴x1＝x2＝-2.（1）x2+4x+4＝0；解：移项，得x2+4x

＝-4.配方，得x2+4x+22＝-4+22，即（x+2）2＝0，

方程的二次项系数不是1时，为便于配方，可以将方程各项的系数除以二次项系数．移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?

配方，得

因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得3x2－6x=-4,x2－2x=－,x2－2x+12=－

+12，即(x－1)2=－.

试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.例2★配方法的应用配方法的应用

类别

解题策略求最值或证明代数式的值为恒正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方转化成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=21．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）

A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）

A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-113．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（

）

A．1B．-1C．1或9D．-1或9随堂训练BBC4.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.解：5.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？