2024届高考数学立体几何专项练-（1）空间几何体的结构含答案

2024届高考数学立体几何专项练——（1）空间几何体的结构1.下列说法正确的是()A.圆锥的底面是圆面，侧面是曲面B.用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥C.一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱D.圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交2.下列几何体是棱台的是()A. B.C. D.3.如图，已知圆柱的底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，从侧面爬行到点C，则小虫爬行路线的最短长度是().A.2 B. C.3 D.4.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率.若胡夫金字塔的高为h，则该金字塔的侧棱长为()A. B. C. D.5.如图，在正四棱台中，棱，的夹角为，，则棱，的夹角为()A. B. C. D.6.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.7.若圆台的上、下底面面积分别为4，16，则圆台的中截面的面积为().A.10 B.8 C.9 D.8.一个圆锥的轴载面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱的侧面积取得最大值时，该圆柱的高为().A.1 B.2 C.3 D.9.如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为()A. B.3 C.4 D.10.（多选）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为，侧棱长近似为米，则下列结论正确的是().A.正四棱锥的底面边长近似为3米B.正四棱锥的高近似为米C.正四棱锥的侧面积近似为平方米D.正四棱锥的体积近似为立方米11.（多选）下列关于圆柱的说法中正确的是().A.圆柱的所有母线长都相等B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱12.（多选）已知正方体的棱长为2，M是的中点，过点B的平面α满足平面α，则()A.平面α截正方体所得截面的形状是平行四边形B.平面α截正方体所得截面的面积等于C.点C到平面α的距离为D.若P是线段上的动点，则直线AP与平面α所成角的正弦值的取值范围是13.关于如图所示几何体的正确说法的序号为___________.①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.14.下列说法正确的是_________.(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.15.如图，P是所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'.若，则________________.16.已知球O为正四面体ABCD的内切球，E为棱BD的中点，，则平面ACE截球O所得截面圆的面积为____________.17.已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则___________；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为_________________.

答案以及解析1.答案：A解析：A是圆锥的性质，故正确；对于B，动手操作一下，发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交于一点，故D错误.2.答案：D解析：A,C都不是由棱锥截成的,不符合棱台的定义,故选项A,C不满足题意；B中的截面不平行于底面,不符合棱台的定义,故选项B不满足题意；D符合棱台的定义,故选D.3.答案：B解析：展开圆柱的侧面展开图如图所示，由图可知，小虫爬行路线的最短长度.4.答案：D解析：如图，设该金字塔的底面边长为a，则，得，该金字塔的侧棱长.故选D.5.答案：D解析：如图，分别延长，，，交于点P，连接AC.在正四棱台中，棱，的夹角为，，所以是边长为2的等边三角形，所以.又，所以，所以，所以棱，的夹角为，故选D.6.答案：C解析：设正四棱锥的底面边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高为，则以h为边长的正方形的面积为，该四棱锥一个侧面三角形的面积为.故，且.故，化简整理得，解得或（舍），所以该四棱锥侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.故选C.7.答案：C解析：设圆台的上、下底面半径分别为、，圆台中截面的半径为，则，，解得，，所以，所以.8.答案：D解析：由题意可得，，故圆锥的高，，设圆柱的高为h，底面半径为r，则，故，所以.所以圆柱侧面积，当且仅当，即时，S取得最大值，最大值为.故选D.9.答案：A解析：如图，将绕AB旋转到的位置，并且点P在CB的延长线上，连接PG，交AB于点F，此时最小.由已知可知轴截面ABCD是边长为2的正方形，所以.在中，由余弦定理得，.故选A.10.答案：BD解析：如图，在正四棱锥中，O为正方形ABCD的中心，则平面ABCD，则为侧棱与底面所成的角，且.设底面边长为2a，则，.在中，，所以米，则正四棱雉的底面边长为6米，高为米，的高为(米)，所以侧面积(平方米)，体积(立方米)，故选BD.11.答案：ABD解析：对于A，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A正确；对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知，截面是与底面全等的圆面，所以B正确；对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误；对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，所以D正确.故选ABD.12.答案：BCD解析：如图(1)，连接AC，BD，易得平面MAC，所以取的中点的中点E，连接EF，DE，BF，易知，故B，D，E，F四点共面.取的中点N，连接CN，因为为正方体，所以易得CM在平面内的射影为CN，而，所以又，所以平面BDEF，因此平面α截正方体所得截面就是四边形BDEF，易知其是等腰梯形，故A错误.

因为正方体的棱长为2，所以，所以梯形BDEF的高为面积为故B正确.

连接记AC与BD的交点为与EF交于点H，在矩形中，连接OH，与MC交于点G，则CG即点C到平面α的距离.在中，则由得故C正确.

由于平面α，所以直线AP与平面α所成角的正弦值等于直线AP与CM所成角的余弦值，由图（2）可知，当点P与点C重合时，直线AP与CM所成的角最小，其余弦值为；当点P与点重合时，AP与CM所成的角最大，记与CM交于点Q，由于可得所以由余弦定理可得故直线AP与CM所成角的余弦值的取值范围为故直线AP与平面α所成角的正弦值的取值范围为故D正确.

13.答案：①③④⑤解析：①正确，因为有六个面，属于六面体的范围；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体放倒，会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图所示.14.答案：②③④解析：①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②③④正确.15.答案：解析：平面平面ABC，，，，.由等角定理得，，，.又，，，.16.答案：解析：因为球O为正四面体ABCD的内切球，，所以正四面体的体积为.设正四面体内切球的半径长为r，则，故内切球半径.因为平面ACE截球O所得截面经过球心，所以平面截球O所得截面圆半径与球的半径相等，故截面圆面积.17.答案：；解析：如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且，易知球O的半径，所以，，所以；设MN的中点为C，连接PC，DM，则，易知，，所以，所以.过O点作，垂足为E，易知，则，又，则.设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r，则，所以截面的面积为.2024届高考数学立体几何专项练——（2）空间几何体的表面积和体积1.在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为()A.1 B. C.2 D.32.如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥的体积为()A.4 B.3 C.2 D.13.在底面为正三角形的三棱柱中，，，该三棱柱的体积的最大值为()A.3 B. C.6 D.4.如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2，4，4，那么该三棱锥外接球的表面积是()A. B. C. D.5.已知四棱锥的体积是，底面ABCD是正方形，是等边三角形，平面平面ABCD，则四棱锥的外接球的体积为()A. B. C. D.6.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则()A. B. C. D.7.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为()A. B. C. D.8.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为()A. B. C.1 D.9.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，且，则该正四棱锥体积的取值范围是()A. B. C. D.10.（多选）已知一个圆柱和一个圆雉的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是().A.圆柱的侧面积为 B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆锥的表面积最小11.（多选）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为，侧棱长近似为米，则下列结论正确的是().A.正四棱锥的底面边长近似为3米 B.正四棱锥的高近似为米C.正四棱锥的侧面积近似为平方米 D.正四棱锥的体积近似为立方米12.（多选）已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则()A.碳原子与氢原子之间的距离为B.正四面体外接球的体积为C.正四面体的体积为D.任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为13.若三棱锥中PA，PB，PC两两互相垂直，，，则其体积的最大值为___________.14.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________.15.如图，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的表面积为_______________.16.如图，球O的半径为R，有一圆柱内接于球O，且，分别为该圆柱上、下底面的圆心.已知当圆柱的侧面积最大时，它的体积，则球O的表面积为___________.17.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为________.

答案以及解析1.答案：A解析：如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为是边长为2的等边三角形，，所以，，所以，又，所以，所以，又，，平面ABC，所以平面ABC，所以，故选A.2.答案：C解析：因为P，O分别为，AD的中点，所以由直棱柱的性质知平面ABCD，又为正三角形，，所以，连接CO，在直角梯形ABCD中，易知，因为E为PC的中点，所以，故选C.3.答案：D解析：设三棱柱的高为h，当三棱柱为直三棱柱时，其体积最大，则h的最大值为3，所以该三棱柱的体积的最大值.故选D.4.答案：C解析：由题意可知三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a，b，c，则，解得，，，，设该三棱锥外接球的半径为R，则，所以.故选C.5.答案：A解析：由已知可得，则，设球心为O，O到平面ABCD的距离为x，球O的半径为R，则由，得，解得，所以，.故选A.6.答案：C解析：解法一：因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合可知，甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2:1.不妨设两个圆锥的母线长为，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，，高分别为，，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以，，得，.由勾股定理得，，，所以.故选C.解法二：设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为，，高分别为，，侧面展开图的圆心角分别为，，则由，得.由题意知，所以，，所以，，得，.由勾股定理得，，，所以.故选C.7.答案：C解析：设圆锥的内切球的半径为r，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，则圆锥的体积.故选C.8.答案：C解析：设等边三角形ABC的边长为a，因为其面积为，所以，解得.故的外接圆半径.设球O的半径为R，因为球O的表面积为，所以，得.所以O到平面ABC的距离.故选C.9.答案：C解析：通解：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h，依题意，得，解得.由题意及图可得，解得，所以正四棱锥的体积，所以，令，得，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又当时，；当时，；当时，；所以该正四棱锥的体积的取值范围是.故选C.光速解：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h，依题意，得，解得.由题意及图可得，解得，又，所以该正四棱锥的体积（当且仅当，即时取等号），所以正四棱锥的体积的最大值为，排除A,B,D，故选C.优美解：如图，设该球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底边长为a，高为h，正四棱锥的侧棱与高所成的角为，依题意，得，解得，所以正四棱锥的底边长，高.在中，作，垂足为E，则可得，所以，（另解：也可以利用余弦定理，得）所以正四校维的体积，设，易得，则，则，令，得，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.又当时，；当时，；当时，；所以，所以.所以该正四棱维的体积的取值范围是，故选C.10.答案：CD解析：对于A，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，圆柱的侧面积，故A错误；对于B，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，圆雉的侧面积，故B错误；对于C，由A知圆柱的侧面积为，球的表面积，圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，圆柱的表面积，圆锥的表面积，球的表面积，圆锥的表面积最小，故D正确.故选CD.11.答案：BD解析：如图，在正四棱锥中，O为正方形ABCD的中心，则平面ABCD，则为侧棱与底面所成的角，且.设底面边长为2a，则，.在中，，所以米，则正四棱雉的底面边长为6米，高为米，的高为(米)，所以侧面积(平方米)，体积(立方米)，故选BD.12.答案：ACD解析：如图所示，正四面体ABCD中，点