第二章 平面向量

向量的有关概念(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．（2）表示方法：用来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，…表示．(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝_______.(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．(7)相等向量：长度______且方向______的向量．1．下列物理量中，不能称为向量的是（）A．质量B．速度C．位移D．力2．设O是正方形ABCD的中心，向量是（）A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等向量D．模相等的向量3．下列命题中，正确的是（）A．|a|=|b|a=bB．|a|>|b|a>bC．a=ba与b共线D．|a|=0a=04．在下列说法中，正确的是（）A．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;B．模为0的向量与任一非零向量平行;C．向量就是有向线段;D．若|a|=|b|，则a=b5．下列各说法中，其中错误的个数为（）（1）向量的长度与向量的长度相等;（2）两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行A．2个B．3个C．4个D．5个6．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是_______________________．7．如图，O是正方形ABCD的对角线的交点，四边形OAED、OCFB是正方形，在图中所示的向量中，（1）与相等的向量有_________________________；（2）与共线的向量有_________________________；（3）与模相等的向量有_______________________；（4）向量与是否相等？答：_______________．8．O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c，在以A、B、C、D、E、F、O为端点的向量中：（1）与a相等的向量有；（2）与b相等的向量有；（3）与c相等的向量有．平面向量加减法运算及几何意义1．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))=a，eq\o(BC,\s\up6(→))=b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的，记作，即=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=，这种求向量和的方法叫做向量加法的.（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线eq\o(OA,\s\up6(→))就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的.(3)加法运算律：a＋b＝________(交换律)；(a＋b)＋c＝____________(结合律)．2．向量的减法及其几何意义(1)相反向量：与a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，记作______．(2)向量的减法①定义a－b＝a＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．②如图，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝，eq\o(DB,\s\up6(→))＝____________.(3)两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.1．化简所得的结果是（）A．B．C．0D．2．设a，b且|a|=|b|=6，∠AOB=120，则|a－b|等于（）A．36 B．12 C．6 D．3．a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则（）A．a与b方向相同B．a=bC．a=－bD．a与b方向相反4．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．ABCD为菱形B．ABCD为矩形C．ABCD为正方形D．以上皆错5．已知正方形ABCD边长为1，=a，=b，=c，则|a+b+c|等于（）A．0B．3C．D．6．在平行四边形ABCD中，a，b，则__________，_______．7．在a=“向北走20km”，b=“向西走20km”，则a+b表示8．若8，5，则的取值范围为_____________．9．如图，O是平行四边形ABCD外一点，用表示．10．如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证：．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝______；②当λ>0时，λa与a的方向______；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝______.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝_______.(结合律)②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)③λ(a＋b)＝__________.(第二分配律1．已知向量a=e1-2e2，b=2e1+e2,其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系为（）A．不共线B．共线C．相等D．无法确定2．已知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x－y的值等于（）A．3B．-3C．0D3．若=3a,=－5a,且,则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形4．AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且=a,=b,那么为（）A．a＋bB．a－bC．a－bD．－a＋b5．若|a|=3,b与a方向相反,且|b|=5,则a=b6．已知向量e1,e2不共线，若λe1－e2与e1－λe2共线,则实数λ=7．a,b是两个不共线的向量，且=2a＋kb,=a＋3b,=2a－b,若A、B、D三点共线，则实数k的值可为8．设两个非零向量a与b不共线,⑴若=a＋b,=2a＋8b,=3(a－b),求证：A、B、D三点共线;⑵试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝______________.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．2．夹角（1）已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的_______．(2)向量夹角θ的范围是________，a与b同向时，夹角θ＝____；a与b反向时，夹角θ＝.(3)如果向量a与b的夹角是________，我们说a与b垂直，记作________．3．把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．4．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序数对______叫做向量a的________，记作a＝________，其中x叫a在________上的坐标，y叫a在________上的坐标．5．平面向量的坐标运算(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝_____________，a－b＝________________________，λa＝_________.（2）已知A（），B（），则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是________________________．7．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为________________________________．(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则△P1P2P3的重心P的坐标为_______________．1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．e1=(0,0),e2=(1,－2);B．e1=(-1,2),e2=(5,7);C．e1=(3,5),e2=(6,10);D．e1=(2,-3),e2=2．已知向量a、b，且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是（）A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D3．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe1＋μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ,μ有无数多对；③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2)；④若实数λ,μ使λe1＋μe2=0，则λ=μ=0.A．①②B．②③C．③④D．仅②4．若向量a=(1,1),b=（1,-1),c=(-2,4),则c=()A．-a+3bB．3a-bC．a-3bD．-35．已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若点C横坐标为6,则C点的纵坐标为()A．-13B．9C．－6．若三点P(1,1)，A(2,－4)，B(x,－9)共线，则()A．x=－1B．x=3C．x=D．517．下列各组的两个向量，共线的是()A．a1=(－2,3),b1=(4,6)B．a2=(2,3),b2=(3,2)C．a3=(1,-2),b3=(7,－14)D．a4=(－3,2),b4=(6,－5)8．设a=(,sinα)，b=(cosα,)，且a2．向量数量积的运算律:(1)交换律：a·b＝________；(2)分配律：(a＋b)·c＝________________；(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝________________.3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝______；(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔________________________；(3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.(4)若A（x1，y1），B（x2，y2），则|eq\o(AB,\s\up6(→))＝____________________，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝___________________.1．已知|a|=，|b|=4，且a与b的夹角为，则a·b的值是（）A．1B．±1C．2D．2．△ABC中，,则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a＝2i+3j,b=ki-4j,若a⊥b，则k的值是（）A．6B．－6C．3D．4．已知a，b，c为非零向量，t为实数，则下列命题正确的是（）A．|a·b|=|a||b|B．(a·b)·c=a·(b·c)C．ta·b=tb·aD．a·b=a·c=b·c5．已知两个力F1,F2的夹角为900，它们的合力的大小为10N，合力与F1的夹角为600，则F1的大小为（）A．B．5NC．10ND．6．已知|a|=2,|b|=4,a·b=3,则(2a－3b)·(2a+b)=7．已知向量(-1,2),(8,m),若,则m=____________8．已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与9．已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,求a,b的夹角θ.一、选择题1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b