ch07相互作用粒子系、渗流与点过程的数学模型

“相互作用粒子系、渗流与点过程的数学模型随机过程论新工科建设之路第七章相互作用粒子系、渗流与点过程的数学模型近世纪以来，若干新的随机过程分支迅速地发展起来。它们不仅本身具有丰富的数学内容，提出了大量富于挑战性的新问题，与其他领域建立了许多出乎预料的联系:而且其中有不少反过来对产生它们的领域有了深刻的影响。例如，相互作用粒子系、渗流等问题是由统计物理中的问题提出的，在20世纪60年代末开始成为一个数学分支，近年来这个方向上的发展对统计物理产生了很大影响，被誉为数学反过来向物理输出的范例之一。01相互作用粒子系的数学模型1.例与简单的概念由于经典的Gibbs平衡态中出现了有趣而有吸引力的相变现象，自然地，人们希望能对以Gibbs平衡态为平稳测度的动态发展过程给出清晰的描述，从而提出了相互作用粒子系的数学模型——一种新型的马氏过程。从数学的角度看，它是马氏过程发展的新起点，它提出了一系列具有刺激作用的新问题与新方法。例11.例与简单的概念例1其中1.例与简单的概念例1因而具有连续轨道，但满足式(7.2)的前者则不可能具有连续轨道。这里讨论的是有限粒子系，然而有趣的相变现象恰巧只在无穷粒子系中发生。1.例与简单的概念例2然而最有趣的却是无穷的相互作用粒子系。1.例与简单的概念例31.例与简单的概念例31.例与简单的概念例3这时对应于式(7.2)的是其中1.例与简单的概念例3式(7.7)可由式(7.5)和式(7.6)不严格地进行推导。1.例与简单的概念例32.一些重要的具体模型1)Ising模型(无外力情形)2.一些重要的具体模型1)Ising模型(无外力情形)2.一些重要的具体模型2)表决模型(VoterModel)2.一些重要的具体模型3)传染模型2.一些重要的具体模型4)排他模型这个模型对格点问题的研究有重要意义。考虑无穷个粒子在d-维格点Zd上运动，每点最多只能有一个粒子，每个粒子按如下规则运动:2.一些重要的具体模型4)排他模型5)X-Y模型2.一些重要的具体模型5)X-Y模型02渗流问题与随机介质的概率模型1.渗流问题模型早在20世纪50年代，对于流体在疏松介质中渗透，人们就提出了渗流问题。至今，渗流不仅在随机介质的研究中有大量应用，而且也由此提出了许多有趣的数学问题。例4(独立齐次d-维格子的边渗流模型)考虑Zd的全部边，即全部Zd中的紧邻的点对1.渗流问题模型例41.渗流问题模型例42.随机介质问题03点过程模型1.点过程的概念最简单的点过程是Poisson点过程，第一章与第四章中，我们已经知道Poisson过程是一个马氏过程。但是我们可以从另一个角度来认识它，并加以推广，得到另一类常见的随机过程一点过程。1.点过程的概念1.点过程的概念定义7.12.点过程的应用与推广定理7.1定理7.22.点过程的应用与推广由以上两个定理可知，点过程对于用简单过程表示具有跳跃的过程(如积分)具有重要意义。此外，点过程在描述BMd、扩散过程等从某一点出发的游及其与原过程的关系等问题时也是很有用的工具。点过程的另一类重要应用是在生存分析、可靠性理论与排队论中。点过程能很好地描述电话呼唤流、服务需求流、服务完成流、事故发生流、各种物流等这些应用问题中的最常见的随机过程。Khinchin在《公用事业数学理论》一书中，就