福建省福州市杨桥中学2024届九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

福建省福州市杨桥中学2024届九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是（）A． B． C． D．2．关于的一元二次方程有一个根为，则的值应为（）A． B． C．或 D．3．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形4．下列方程中，是一元二次方程的是()A． B．C． D．5．把函数y＝﹣3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（）A．y＝﹣3x2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣2）2 C．y＝﹣3x2+2 D．y＝﹣3（x+2）26．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（）A． B． C． D．7．用配方法解方程x2+4x+1=0时，方程可变形为（）A． B． C． D．8．如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（）A． B． C． D．9．在△中，∠，如果，，那么cos的值为（）A． B．C． D．10．下列函数中，y关于x的二次函数是()A．y＝ax2+bx+c B．y＝x(x﹣1)C．y= D．y＝(x﹣1)2﹣x211．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（）A． B． C． D．y＝x-312．如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（）A．点 B．点 C．点 D．点二、填空题（每题4分，共24分）13．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_____________．14．若一组数据1，2，x，4的平均数是2，则这组数据的方差为_____．15．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=110°，则∠BOD等于________°.16．如图，圆是一个油罐的截面图，已知圆的直径为5，油的最大深度（），则油面宽度为__________．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边AC、BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的点F处，若AC＝2BC，则的值为____.18．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，若AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则边AB的长为________．三、解答题（共78分）19．（8分）（1）计算：（2）已知，求的值20．（8分）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点.①求∠AQB的度数；②若OA=18，求弧AmB的长.21．（8分）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB＝90°．（1）直接写出点B的坐标是；（2）如果抛物线l：y＝ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元，若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买2件，所买的每件服装的售价均降低6元.已知该服装成本是每件200元.设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元.（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多，并求出获利的最大值？23．（10分）如图，在四边形中，，与交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，，求四边形的面积．24．（10分）如图，中，，是的中点，于.（1）求证：；（2）当时，求的度数.25．（12分）如图，O是所在圆的圆心，C是上一动点，连接OC交弦AB于点D．已知AB=9.35cm，设A，D两点间的距离为cm，O,D两点间的距离为cm，C，D两点间的距离为cm.小腾根据学习函数的经验，分别对函数,随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了,与的几组对应值：/cm0.001.002.003.004.005.006.007.108.009.35/cm4.933.992.281.701.592.042.883.674.93/cm0.000.941.832.653.233.342.892.051.260.00（2）①在同一平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（,）,（,）,并画出（1）中所确定的函数,的图象；②观察函数的图象，可得cm(结果保留一位小数)；（3）结合函数图象，解决问题：当OD=CD时，AD的长度约为cm（结果保留一位小数）．26．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】先过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得△ABE的面积=△COD的面积相等=|k2|，△AOE的面积=△CBD的面积相等=|k1|，最后计算平行四边形的面积．【题目详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，根据∠AEB=∠CDO=90°，∠ABE=∠COD，AB=CO可得：△ABE≌△COD（AAS），∴S△ABE与S△COD相等，又∵点C在的图象上，∴S△ABE=S△COD=|k2|，同理可得：S△AOE=S△CBD=|k1|，∴平行四边形OABC的面积=2（|k2|+|k1|）=|k2|+|k1|=k2-k1，故选D．【题目点拨】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．2、B【分析】把x=0代入方程可得到关于m的方程，解方程可得m的值，根据一元二次方程的定义m-2≠0，即可得答案.【题目详解】关于的一元二次方程有一个根为，且，解得，．故选B．【题目点拨】本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，使等式两边成立的未知数的值叫做方程的解，明确一元二次方程的二次项系数不为0是解题关键.3、A【解题分析】试题解析：∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC为锐角三角形．故选A．4、B【解题分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【题目详解】A.属于多项式，错误；B.属于一元二次方程，正确；C.未知数项的最高次数是2，但不属于整式方程，错误；D.属于整式方程，未知数项的最高次数是3，错误．故答案为：B．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的性质以及定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．5、B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【题目详解】二次函数y＝﹣3x1的图象向右平移1个单位，得：y＝﹣3（x﹣1）1．故选：B．【题目点拨】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．6、D【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.【题目详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，∵A的坐标为(4,3)∴OB=4，AB=3，在Rt△AOB中，∴故选：D．【题目点拨】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．7、C【解题分析】根据配方法的定义即可得到答案.【题目详解】将原式变形可得：x2＋4x＋4－3＝0,即（x＋2）2＝3，故答案选C.【题目点拨】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解本题的要点在于将左边配成完全平方式，右边化为常数.8、B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【题目详解】解：，，即，，，故选．【题目点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9、A【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而可求.【题目详解】∵∠，，∴∴故选A【题目点拨】本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.10、B【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.【题目详解】A.当a=0时，y=ax2+bx+c=bx+c，不是二次函数，故不符合题意；B.y=x（x﹣1）=x2-x，是二次函数，故符合题意；C.的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意；D.y=（x﹣1）2﹣x2=-2x+1，不是二次函数，故不符合题意；故选B.【题目点拨】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.11、A【分析】根据二次函数的定义（一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数）进行判断．【题目详解】A.可化为，符合二次函数的定义，故本选项正确；B.，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误；C.，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；D.y＝x-3，属于一次函数，故本选项错误.故选：A.【题目点拨】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，化简后最高次必须为二次，且二次项系数不为0.12、B【分析】根据位似图形的定义:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可.【题目详解】解:由图可知,对应边AG与CE的延长线交于点B，∴点B为位似中心故选B.【题目点拨】此题考查的是找位似图形的位似中心，掌握位似图形的定义是解决此题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、16cm【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求解．【题目详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，

∵△ABC的周长为12cm

∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm．故答案为：16.【题目点拨】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形周长的比等于相似比．14、【分析】先由数据的平均数公式求得x，再根据方差的公式计算即可.【题目详解】∵数据1，2，x，4的平均数是2，∴，解得：，∴方差.故答案为：.【题目点拨】本题考查了平均数与方差的定义，平均数是所有数据的和除以数据的个数；方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.15、140【解题分析】试题解析：：∵∠A=110°

∴∠C=180°-∠A=70°

∴∠BOD=2∠C=140°．16、1【分析】连接OA，先求出OA和OD，再根据勾股定理和垂径定理即可求出AD和AB．【题目详解】解：连接OA∵圆的直径为5，油的最大深度∴OA=OC=∴OD=CD－OC=∵根据勾股定理可得：AD=∴AB=2AD=1m故答案为：1．【题目点拨】此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键．17、【分析】由折叠的性质可知，是的中垂线，根据互余角，易证；如图（见解析），分别在中，利用他们的正切函数值即可求解.【题目详解】如图，设DE、CF的交点为O由折叠可知，是的中垂线，又设.【题目点拨】本题考查了图形折叠的性质、直角三角形中的正切函数，巧妙利用三个角的正切函数值相等是解题关键.18、1【分析】由∠AED=∠B，∠A是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，然后由AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，即可求得AB的长．【题目详解】∵∠AED=∠B，∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴，∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，∴△ABC的面积为9，∵AE=2，∴，解得：AB=1．故答案为1．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）1；（2）.【分析】（1）先计算乘方并对平方根化简，最后进行加减运算即可；（2）用含b的代数式表示a，代入式子即可求值.【题目详解】解：（1）==1（2）已知，可得，代入=.【题目点拨】本题考查实数的运算以及代入求值，熟练掌握相关计算法则是解题关键.20、（1）见解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π.【解题分析】(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根据∠PAO+∠APO=90°，继而得出∠OBC=90°，问题得证；(2)①根据等腰三角形的性质可得∠ABO=25°，再根据三角形内角和定理可求得∠AOB的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；②根据弧长公式进行计算即可得.【题目详解】(1)连接OB，∵CP=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠PAO+∠APO=90°，∴∠ABO+∠CBP=90°，∴∠OBC=90°，∴BC是⊙O的切线；(2)①∵∠BAO=25°，OA=OB，∴∠OBA=∠BAO=25°，∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，∴∠AQB=∠AOB=65°；②∵∠AOB=130°，OB=18，∴l弧AmB==23π.【题目点拨】本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.21、（1）点B的坐标为（3，1）；（2）y＝x2﹣x﹣2；（3）点A1在抛物线上；理由见解析；（4）存在，点P（﹣2，1）．【分析】（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，通过证明△BDC≌△COA即可得BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，从而得知B坐标；（2）利用待定系数法，将B坐标代入即可求得；（3）画出旋转后的图形，过点作x轴的垂线，构造全等三角形，求出的坐标代入抛物线解析式即可进行判断；（4）由抛物线的解析式先设出P的坐标，再根据中心对称的性质与线段中点的公式列出方程求解即可．【题目详解】（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠AC0+∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠CAO，又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，在△BDC和△COA中：∵∠BDC=∠COA，∠BCD＝∠CAO，CB=AC，∴△BDC≌△COA（AAS），∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1＝9a﹣3a﹣2，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（3）旋转后如图1所示，过点A1作A1M⊥x轴，∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°，∴∠ABC＝∠A1BC＝90°，∴A1，B，C共线，在三角形BDC和三角形A1CM中：∵∠BDC=∠A1MC=90°，∠BCD=∠A1CM，A1C=BC,∴△BDC≌△A1CM∴CM＝CD＝3﹣1＝2，A1M＝BD＝1，∴OM＝1，∴点A1（﹣1，﹣1），把点x＝﹣1代入y＝x2﹣x﹣2，y＝﹣1，∴点A1在抛物线上．（4）设点P（t，t2﹣t﹣2），点A（0，2），点C（1，0），点B（3，1），若点P和点C对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：，，无解，若点P和点A对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：，，无解，若点P和点B对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：，，解得：t＝﹣2，t2﹣t﹣2＝1所以：存在，点P（﹣2，1）．【题目点拨】本题主要考查了抛物线与几何图形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．22、（1）y=100x（的整数）y=x(的整数);（2）购买22件时，该网站获利最多,最多为1408元.【分析】（1）根据题意可得出销售量乘以每台利润进而得出总利润；（2）根据一次函数和二次函数的性质求得最大利润.【题目详解】（1）当的整数时，y与x的关系式为y=100x；当的整数时，，y=(的整数),∴y与x的关系式为：y=100x（的整数）,y=x(的整数)（2）当（的整数），y=100x,当x=10时，利润有最大值y=1000元；当10˂x≤30时，y=,∵a=-3<0,抛物线开口向下，∴y有最大值，当x=时，y取最大值，因为x为整数，根据对称性得：当x=22时，y有最大值=1408元˃1000元，所以顾客一次性购买22件时，该网站获利最多.【题目点拨】本题考查分段函数及一次函数和二次函数的性质，利用函数性质求最值是解答此题的重要途径，自变量x的取值范围及取值要求是解答此题的关键之处.23、(1)见详解；（2）四边形ABCF的面积S=6.【分析】（1）根据平行四边形的判定推出即可．（2）通过添加辅助线作高，再根据面积公式求出正确答案．【题目详解】证明：（1）∵点E是BD的中点，在中，∴四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABDF是平行四边形；（2）过C作于H，过D作于Q，∵四边形ABCD和四边形ABDF都是平行四边形，，∴四边形ABCF的面积S=【题目点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识点，解题的关键在于综合运用定理进行推理.24、（1）详见解析；（2）.【分析】（1）易证∽，再利用相似三角形的性质即可得出结论；（2）已有，然后利用（1）的结论进行代换，即可根据两边成比例且夹角相等