工力第8章-轴向拉伸与压缩

第8章

轴向拉伸与压缩

拉压杆的内力、应力与强度计算

材料在拉伸与压缩时的力学性能

轴向拉压变形分析

简单拉压静不定问题分析

连接部分的强度计算本章主要研究：单辉祖:工程力学(材料力学)1§1

引言§2

轴力与轴力图§3

拉压杆的应力与圣维南原理§4

材料在拉伸与压缩时的力学性能§5应力集中概念§6失效、许用应力与强度条件§7

胡克定律与拉压杆的变形§8

简单拉压静不定问题§9连接部分的强度计算§10应变能概念单辉祖:工程力学(材料力学)2§1

引言

轴向拉压实例

轴向拉压及其特点单辉祖:工程力学(材料力学)3

轴向拉压实例单辉祖:工程力学(材料力学)4

轴向拉压及其特点外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线轴向拉压:

以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式拉压杆:

以轴向拉压为主要变形的杆件单辉祖:工程力学(材料力学)5§2轴力与轴力图

轴力

轴力计算

轴力图

例题单辉祖:工程力学(材料力学)6

轴力符号规定：拉力为正,压力为负轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力单辉祖:工程力学(材料力学)7

轴力计算试分析杆的轴力要点：逐段分析轴力；设正法求轴力（F1=F，F2=2F）单辉祖:工程力学(材料力学)8

轴力图

表示轴力沿杆轴变化情况的图线（即

FN-x图）,称为轴力图以横坐标x

表示横截面位置，以纵坐标FN

表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。单辉祖:工程力学(材料力学)910kN8kN3kN5kNABCD112233

解：1)求杆各截面的轴力

5kNA11FN1

1-1截面：

Fx=0FN1－5=0FN1=5kN(拉力)1A10kN5kNB122FN2

2-2截面：

Fx=0FN2+105=0FN2=-5kN(压力)3kND33FN3

3-3截面：

Fx=03FN3=0FN3=3kN(拉力)2)画出轴力图如左所示。FN

(kN)x55533++

5例

8-1等直杆AD,画杆的轴力图。

例题单辉祖:工程力学(材料力学)10

例题例

8-2等直杆BC,横截面面积为A,材料密度为r,

画杆的轴力图，求最大轴力解：1.轴力计算2.轴力图与最大轴力轴力图为斜直线单辉祖:工程力学(材料力学)11§3拉压杆的应力与圣维南原理

拉压杆横截面上的应力

拉压杆斜截面上的应力

圣维南原理

例题单辉祖:工程力学(材料力学)12

拉压杆横截面上的应力

横线仍为直线

仍垂直于杆轴

横线间距增大1.试验观察单辉祖:工程力学(材料力学)132.假设变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂直,仅沿杆轴相对平移

–

拉压平面假设3.正应力公式横截面上各点处仅存在正应力，并沿横截面均匀分布公式得到试验证实单辉祖:工程力学(材料力学)14横截面上的正应力均匀分布横截面间的纤维变形相同斜截面间的纤维变形相同斜截面上的应力均匀分布

拉压杆斜截面上的应力1.斜截面应力分布单辉祖:工程力学(材料力学)152.斜截面应力计算设横截面的面积为A单辉祖:工程力学(材料力学)163.最大应力分析4.正负符号规定

最大正应力发生在杆件横截面上，其值为s0。

最大切应力发生在杆件45°斜截面上,其值为s0/2。

α

：拉应力：＋；压应力：－。

α

：

绕物体内任一点顺时针转动为正；反之为负。α

：逆时针转动为正；反之为负。(从X轴到截面外法线方向n)单辉祖:工程力学(材料力学)17

圣维南原理杆端应力分布单辉祖:工程力学(材料力学)18圣维南原理

力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区约距杆端

1~2倍杆的横向尺寸杆端镶入底座，横向变形受阻，应力非均匀分布应力均布区应力非均布区应力非均布区单辉祖:工程力学(材料力学)19

例题例8-3

已知：F=50kN，A=400mm2

试求：斜截面m-m上的应力

解：1.

轴力与横截面应力单辉祖:工程力学(材料力学)202.斜截面

m-m

上的应力

例题单辉祖:工程力学(材料力学)21例8-4已知：AAB＝10×102mm2，ABC＝5×102mm2；

FP＝60kN。求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。

例题单辉祖:工程力学(材料力学)22

解：1．

作轴力图

FNAD＝－2FP

＝－120kN；

FNDE＝FNEB＝－FP

＝－60kN；

FNBC＝FP＝60kN。

例题单辉祖:工程力学(材料力学)23

2．计算直杆横截面上绝对值最大的正应力

例题单辉祖:工程力学(材料力学)24例8-5

三角架结构尺寸及受力如图示。其中FP＝22.2kN；钢杆BD的直径dl＝25.4mm；钢梁CD的横截面面积A2＝2.32×103mm2。

试求：杆BD与CD的横截面上的正应力。

例题单辉祖:工程力学(材料力学)25

解：1．受力分析，确定各杆的轴力

例题单辉祖:工程力学(材料力学)26其中负号表示压力。

解：1．受力分析，确定各杆的轴力

2．计算各杆的应力

例题单辉祖:工程力学(材料力学)27§4

材料在拉伸与压缩时的力学性能

拉伸试验与应力－应变图

低碳钢的拉伸力学性能

其它材料的拉伸力学性能

材料压缩时的力学性能单辉祖:工程力学(材料力学)28

拉伸试验与应力－应变图GB/T228-2002《金属材料室温拉伸试验方法》拉伸标准试样单辉祖:工程力学(材料力学)29拉伸试验

试验装置单辉祖:工程力学(材料力学)30

拉伸试验与应力－应变图应力－应变图单辉祖:工程力学(材料力学)31

低碳钢的拉伸力学性能滑移线加载过程与力学特性低碳钢Q235单辉祖:工程力学(材料力学)32sb-强度极限

E

=

tana

-

弹性模量sp-比例极限ss-屈服极限单辉祖:工程力学(材料力学)33卸载与再加载规律e

p－塑性应变s

e－弹性极限e

e－弹性应变冷作硬化：由于预加塑性变形,使s

e

或s

p提高的现象单辉祖:工程力学(材料力学)34材料的塑性

伸长率l－试验段原长（标距）Dl0－试验段残余变形

塑性

材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力单辉祖:工程力学(材料力学)35

断面收缩率塑性材料：d

≥5%例如结构钢与硬铝等脆性材料：d

<5%例如灰口铸铁与陶瓷等A

－试验段横截面原面积A1－断口的横截面面积

塑性与脆性材料单辉祖:工程力学(材料力学)36

其它材料的拉伸力学性能e/%s/MPa30铬锰硅钢50钢硬铝塑性金属材料拉伸s0.2－名义屈服极限单辉祖:工程力学(材料力学)37灰口铸铁拉伸断口与轴线垂直单辉祖:工程力学(材料力学)38纤维增强复合材料拉伸

各向异性

线弹性

脆性材料碳纤维/环氧树脂基体单辉祖:工程力学(材料力学)39

材料压缩时的力学性能低碳钢压缩愈压愈扁单辉祖:工程力学(材料力学)40灰口铸铁压缩(sb)c=3

~

4(sb)t断口与轴线约成45o单辉祖:工程力学(材料力学)41§5

应力集中概念

应力集中与应力集中因数

交变应力与材料疲劳概念

应力集中对构件强度的影响单辉祖:工程力学(材料力学)42

应力集中与应力集中因数由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中应力集中单辉祖:工程力学(材料力学)43应力集中因数smax－最大局部应力sn－名义应力d－板厚单辉祖:工程力学(材料力学)44

交变应力与材料疲劳概念随时间循环或交替变化的应力交变或循环应力连杆单辉祖:工程力学(材料力学)45N－应力循环数s/MPasbss疲劳破坏在交变应力作用下，材料或构件产生可见裂纹或完全断裂的现象，称为

疲劳破坏在循环应力作用下，虽然小于强度极限，但经历应力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂钢拉伸疲劳断裂单辉祖:工程力学(材料力学)46

应力集中对构件强度的影响

应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展,对构件（塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大

对于塑性材料构件，当smax达到ss

后再增加载荷，

s

分布趋于均匀化，不影响构件静强度

对于脆性材料构件，当

smax＝sb

时，构件断裂单辉祖:工程力学(材料力学)47§6许用应力与强度条件

失效与许用应力

轴向拉压强度条件

例题单辉祖:工程力学(材料力学)48

失效与许用应力断裂与屈服，相应极限应力构件工作应力的最大容许值n

≥1安全因数静荷失效许用应力单辉祖:工程力学(材料力学)49

轴向拉压强度条件保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件强度条件-变截面变轴力拉压杆-等截面拉压杆单辉祖:工程力学(材料力学)50

轴向拉压强度条件校核强度

已知杆外力、A与[s]，检查杆能否安全工作确定承载能力已知杆A与[s]，确定杆能承受的FN,max常见强度问题类型截面设计已知杆外力与[s]，确定杆所需横截面面积单辉祖:工程力学(材料力学)51

例题例

8-6图示吊环，最大吊重

F=500kN，许用应力[s]=120MPa，夹角a=20°。试确定斜杆的直径d。解：1.问题分析轴力分析应力分析根据强度条件确定直径单辉祖:工程力学(材料力学)522.轴力分析3.应力计算4.确定直径d单辉祖:工程力学(材料力学)53例

8-7已知A1=A2=100mm2,[st]=200MPa,[sc]=150MPa

试求载荷F的许用值－许用载荷

[F]

解：1.轴力分析单辉祖:工程力学(材料力学)542.应力分析3.确定[F]单辉祖:工程力学(材料力学)55§7

胡克定律与拉压杆的变形

轴向变形与胡克定律

横向变形与泊松比

叠加原理

例题单辉祖:工程力学(材料力学)56

胡克定律与杆的轴向变形实验表明：当s

sp

时，引入比例常数E胡克定律在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律E－弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa单辉祖:工程力学(材料力学)57轴向变形公式EA-杆截面的

拉压刚度在比例极限内，拉压杆的轴向变形Dl，与轴力FN及杆长l成正比，与乘积EA成反比。－胡克定律

n－杆段总数FNi－杆段i的轴力

阶梯形杆:

等截面匀质杆:Dl-伸长为正,缩短为负。单辉祖:工程力学(材料力学)58

横向变形与泊松比拉压杆的横向变形泊松比试验表明：在比例极限内，e’

e，并异号m－泊松比

单辉祖:工程力学(材料力学)59

叠加原理算例1.分段解法试分析杆

AC的轴向变形

Dl单辉祖:工程力学(材料力学)602.分解载荷法3.比较单辉祖:工程力学(材料力学)61叠加原理当杆件内力、应力及变形，与外力成正比关系时，通常即可应用叠加原理

原理

应用

例题

用叠加法分析内力几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和单辉祖:工程力学(材料力学)62例

8-8

变截面直杆，ADE段为铜制,EBC段为钢制；在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积AAB＝10×102mm2，BC段杆的横截面面积ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；铜的弹性模量Ec＝100GPa，钢的弹性模量Es＝210GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。

试求：直杆的总变形量。

例题单辉祖:工程力学(材料力学)63

解：1．

作轴力图

应用截面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴力分别为：

FNAD＝－2FP＝－120kN；

FNDE＝FNEB＝－FP

＝－60kN；

FNBC＝FP＝60kN。

例题单辉祖:工程力学(材料力学)642．计算直杆的总变形量

直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和：

例题单辉祖:工程力学(材料力学)65

例题例

8-9

已知

l=54mm,di=15.3mm,E＝200GPa,m=0.3,拧紧后,AB

段的轴向变形为Dl

＝0.04mm。试求螺栓横截面上的正应力

s,与螺栓的横向变形Dd

。解：1.

螺栓横截面正应力2.螺栓横向变形

螺栓直径缩小0.0034mm单辉祖:工程力学(材料力学)66解：1.轴力与变形分析例

8-10

图示桁架，杆1与2分别用钢与松木制成。F

=

10

kN；E1

=

200

GPa,A1

=

100

mm2,l1

=

1

m；E2

=

10

GPa,A2

=

4000

mm2。试求节点

A的水平与铅垂位移。单辉祖:工程力学(材料力学)672.作图法确定节点新位置3.节点位移计算用切线或垂线代替圆弧作图4.讨论－小变形概念

与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形

在小变形条件下，通常即可：按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力

采用切线代圆弧的方法确定节点位移单辉祖:工程力学(材料力学)68例

8-11

F1

=

F2

/

2

=

F，求截面

A

的位移DAy解：1.计算FN刚体EA单辉祖:工程力学(材料力学)692.计算Dl4.位移计算3.画变形图刚体EA单辉祖:工程力学(材料力学)70§8简单拉压静不定问题

静不定问题与静不定度

静不定问题分析

例题单辉祖:工程力学(材料力学)71

静不定问题与静不定度

静不定问题仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题

静不定度未知力数与有效平衡方程数之差

静定问题仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反力与内力）的问题一度静不定静定问题单辉祖:工程力学(材料力学)72

静不定问题分析分析方法求解思路

建立平衡方程

建立补充方程各杆的变形间满足一定关系补充方程变形协调方程

联立求解利用变形协调方程与物理方程，建立补充方程单辉祖:工程力学(材料力学)73

平衡方程

变形几何关系

胡克定律

补充方程－变形协调方程E1A1=E2A2求解算例单辉祖:工程力学(材料力学)74

联立求解平衡与补充方程综合考虑三方面

外力与

FNi

满足静力平衡方程

各Dli

之间满足变形协调方程

Dli

与FNi

间满足给定物理关系（例如胡克定律）（静力、几何与物理）静不定问题求解与内力的特点

内力分配与杆件刚度有关

一般讲，EiAi

，FNi

内力特点：单辉祖:工程力学(材料力学)75

例题例8-12求两端固定杆的支反力解：2.几何方面4.建立补充方程5.支反力计算联立求解平衡方程(a)与补充方程(b)3.物理方面一度静不定1.静力学方面单辉祖:工程力学(材料力学)76解：1.

画变形与受力图注意受力图与变形图协调：

伸长～拉力；缩短～压力例8-13已知：F

=

50

kN，[st

]

=

160

MPa，[sc

]

=

120

Mpa，A1=A2。试问：A1=?A2=?2.建立平衡方程3.建立补充方程单辉祖:工程力学(材料力学)775.截面设计4.内力计算联立求解平衡方程与补充方程单辉祖:工程力学(材料力学)78解：例

8-14图示两端固定杆，试分析当温度升高

DT时，横截面上的应力sT。已知材料的线膨胀系数为al。在静不定杆系结构中,各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件,温度变化一般将引起应力,称为热应力变形协调条件温度变形单辉祖:工程力学(材料力学)79钢制的杆件：

＝12.5×10-6/℃，E＝200GPa，当温度升高

t＝40℃时，杆内的热应力：

单辉祖:工程力学(材料力学)80例

8-15

图示桁架,结构左右对称,杆3比设计尺寸短d,装配后将引起应力。试建立应力分析的平衡与补充方程。解：画变形图画受力图

建立平衡与补充方程

在静不定杆系结构中,各杆或各杆段的轴向变形必须服从变形协调条件,杆长制造误差一般将引起应力,称为初应力单辉祖:工程力学(材料力学)81§9

连接部分的强度计算

连接实例

剪切与剪切强度条件

挤压与挤压强度条件

例题单辉祖:工程力学(材料力学)82

连接实例耳片销钉螺栓单辉祖:工程力学(材料力学)83单辉祖:工程力学(材料力学)84

剪切与剪切强度条件以耳片销钉为例介绍分析方法单辉祖:工程力学(材料力学)85剪切强度条件：[t]-许用切应力假设：剪切面上的切应力均匀分布剪切面切应力公式：单辉祖:工程力学(材料力学)86

挤压与挤压强度条件挤压破坏－在接触区的局部范围内，产生显著塑性变形挤压应力－挤压面上的应力耳片销钉挤压面－连接件间的相互挤压接触面几个概念单辉祖:工程力学(材料力学)87挤压破坏实例单辉祖:工程力学(材料力学)88挤压计算面积Abs＝矩形

ABCD的面积Abs＝实际接触面的正投影面积δd挤压应力Fb——挤压力，Abs——挤压计算面积单辉祖:工程力学(材料力学)89挤压强度条件[sbs]-许用挤压应力最大挤压应力

dd：

数值上等于受压圆柱面在相应径向平面上的投影面积单辉祖:工程力学(材料力学)90

例题例

8-16

已知

d

=

2mm,b=15mm

,d=4mm,[t]

=100MPa,[sbs]=300

MPa，[s]=160

MPa。试求许用载荷

[F]单辉祖:工程力学(材料力学)91

例题解：1.破坏形式分析铆钉沿1-1截面被剪断铆钉与孔壁互相挤压，产生显著塑性变形。板沿2-2截面被拉断板沿3-3截面被剪断单辉祖:工程力学(材料力学)922.许用载荷[F]

单辉祖:工程力学(材料力学)93例

8-17

F=45

kN;d

=

10mm,b=250mm,h=

100

mm,l=100

mm;顺木纹方向,[t]

=

1MPa,[sb