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314空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理:复习：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo问题：

我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP

由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，y，，使都叫做基向量（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：

（2）

由于可认为为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。空间直角坐标系

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz

点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组,y,使p=e1ye2e3有序数组,y,叫做p在空间直角坐标系O--y中的坐标，记作P=,y,yOe1e2e3在空间直角坐标系O--y中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组,y,，使OA=e1ye2e3在单位正交基底e1,e2,e3中与向量OA对应的有序实数组,y,，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A,y,，其中叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，叫做点A的竖坐标yOA,y,e1e2e3例题

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