《商务统计学》参数估计

商务统计学6参数估计6.1点估计6.1.1点估计点估计（pointestimate）也称定值估计，是用单个样本的统计量来估计总体参数的方法。2我们可以用样本平均数估计未知的总体平均数，用样本方差估计总体方差，用样本比例估计总体比例。式中，表示总体平均数的估计值；表示样本平均数。3式中，表示总体方差的估计值；表示样本方差。式中，表示总体比例的估计值；表示样本比例。4点估计由于估计出来的是一个单一的数值，且不同的样本会得到不同的总体参数估计值，因此不能给出估计的精确度（即估计值与未知的总体参数之间的误差信息）和可靠程度。更好的估计方法是在点估计的基础上和一定的概率保证下给出总体参数的一个估计范围，即区间估计（intervalestimate）。5例6-1许多治癌的药物都非常昂贵。2006年1月30日的《商业周刊》（BusinessWeek）报道了乳腺癌用药Herceptin的费用。10位使用Herceptin治疗的病患的典型用药费用见表6-1，单位为美元。请计算使用Herceptin治疗的平均费用的点估计和总体方差的点估计。6解：为使用Herceptin治疗的平均费用，为样本平均治疗费用，我们用样本平均数去估计总体平均数，同理，用样本方差去估计总体方差。

故总体均值的点估计值为4550，总体方差的点估计值为1007624.44。76.1.2点估计的评价标准（1）无偏性若样本统计量的数学期望等于所要估计的总体参数，则样本统计量称为总体参数的无偏估计量。即如果那么是的无偏估计量。8设是来自总体均值，方差为

的简单随机样本，则有：

其中，，所以有：故样本均值是总体均值的无偏估计量。同理，我们可以证明样本方差是总体方差的无偏估计量，样本比例是总体比例的无偏估计量。9（2）有效性设和都是总体参数的无偏估计量，若有：则称估计量比估计量更有效。即在无偏估计的条件下，估计量的方差越小，估计也就越有效。10（3）一致性随着样本容量的增加，估计量越来越接近于真实值，即对，有：

则称估计量是待估参数的一致估计。116.2区间估计区间估计就是以一定的概率保证给出总体参数的估计范围，即根据样本统计量和抽样平均误差推断总体参数的可能范围。12设为待估的总体参数，对于样本，在给定的概率保证下，构造两个统计量和，若，，则称随机区间为总体参数的置信度为的置信区间，和分别称为置信下限和置信上限，称为置信度或置信水平，称为显著性水平，其取值大小根据实际问题来确定，通常取1%、5%和10%13当置信水平不变时，总体未知参数的置信区间随着样本容量的增大而减小，置信区间的减小意味着精确度的提高，增大样本容量则意味着调查费用的增加。因此，提高精确度是以增加调查费用为代价的，我们必须在精度和调查费用之间做出合理决策。14区间估计的步骤如下：（1）确定待估参数，找出估计量的抽样分布，构造相应的统计量。（2）在给定置信度或显著性水平时，确定临界值，并以点估计为基准，给出下面的置信区间。点估计临界值标准误差一般来说，置信度越高，置信区间越大156.2.1总体均值的区间估计（1）假设总体方差已知如果总体服从正态分布，可以证明抽自该总体的简单随机样本的平均数也服从正态分布，。由第5章的中心极限定理可知，在大样本条件下，一般认为样本容量时，无论总体是否来自正态分布，样本平均数近似服从正态分布，。16因此，构造如下统计量：

对于给定的显著性水平或者置信度，通过（反）查标准正态分布表可以得到临界值，满足：注意到：

17因此可以推导出：在重复抽样时，给定置信度为，总体均值的置信区间为：

18在不重复抽样时，

给定置信度为，总体均值的置信区间为：式中，为样本平均数；为显著性水平；为临界值；

19为总体标准差；为样本容量；为总体单位数。如果样本容量在总体单位数中占的比重太小，重复抽样与不重复抽样效果相差不大，可以按照重复抽样的情况估计置信区间。

20区间估计有三个基本要素，分别是样本点估计值、抽样平均误差（样本均值的标准差）、以及置信度。常用的置信度和对应的临界值值见表6-2。21例6-2保险公司承担风险。当他们为财产或生命承保时，对保单的定价必须保证预期利润能使公司生存下去，他们可以根据精算表进行估计，但是保险业的现实常常要求对不同的顾客和情况的保单打折。事实上，不管保险公司收取多少保费，在保单到期之前他们不会知道是否盈利，因此，管理这项风险变得更加困难。某经理想知道公司一位销售代理业绩如何，于是选择该销售代理销售的30个已经到期的保单，计算每个保单的净利润（收取的保费减去支付的索赔），见表6-3。22假设保单净利润服从正态分布，且总体标准差为1200，请计算该销售代理出售保单净利润均值的置信度为95%的置信区间。23解：销售代理人出售保单的净利润，其中未知，，，其直方图和密度曲线图如图6-1所示。24经计算：构造Z统计量，即有：

则样本均值的标准差为：

25置信度，根据表6-2，可以查出临界值。由于总体单位数未知，按照重复抽样时的区间估计公式计算。得到区间估计:

故净利润均值的置信度为95%的置信区间为。

26用上述方式构建置信区间时，总体参数的真实值要么落在这个区间，要么不落在这个区间。如果抽取了100个样本，由这100个样本构造的总体参数的100个置信区间中，有95个置信区间包含了真实值，而另外5个置信区间没有包含真实值，这正是“置信度为95%”的含义。27例6-3某问卷公司想要调查有烟瘾的吸烟者，一周内购买香烟的平均支出，假设吸烟者购买香烟的支出金额服从正态分布且标准差为5美元，现随机抽取49位吸烟者为样本，发现美元，请使用95%的置信度，计算的置信区间28解：总体单位数未知，根据相应的公式计算置信区间：

因此在95%的置信度下，吸烟者购买香烟的平均支出的置信区间为[18.6,21.4]。29（2）假设总体服从正态分布，但总体方差未知在例6-2中，若总体方差未知，样本均值

，我们用样本方差代替总体方差，新的统计量不服从标准正态分布，而是服从自由度为的t分布。即有：

30t分布，又称学生氏分布，是单峰、对称和钟型的。但和正态模型相比，一般具有更厚的尾部和更窄的中心。随着自由度的增加，t分布接近于正态分布。t分布的参数取决于样本容量，自由度越大，就能越多地反映来自样本的信息。

31在大样本条件下（时），若总体方差未知，可以用样本方差代替总体方差，并用标准正态分布来近似。32因为：可以推导出：

33在重复抽样时，给定置信度为，总体均值的置信区间为：在不重复抽样时，给定置信度为，总体均值的置信区间为：

34式中，为样本平均数；为显著性水平；为临界值，自由度；为总体标准差；为样本容量；为总体单位数。

35例6-4佛罗里达州InletSquare百货公司的经理，想要估计每一位顾客平均采购的金额是多少。下表列出了20位顾客采购金额的样本资料。(单位为美元)36请问总体平均数的最佳点估计是多少？置信度为95%的置信区间估计是多少？如果总体平均数是50美元，这个说法是否合理？总体平均数是60美元的说法是否合理？37解：百货公司的经理假设顾客采购金额的总体服从正态分布，在这个例子中，我们不知道总体的标准差，并且为小样本的情况，必须使用t分布来计算置信区间。使用SPSS软件选择【分析】→【描述统计】→【描述】，计算这个样本的平均数和样本标准差，其结果如下：38百货公司的经理不知道总体平均数，而样本平均数是总体平均数的最佳估计值。根据SPSS输出的结果，平均数为美元，样本的标准差为。在这个例子中自由度为，查表可知置信度为95%的临界值。即总体平均数的置信区间为：39即在95%的把握下，置信区间在45.13美元到53.57美元之间。关于总体平均数是50美元和60美元这两种说法是否合理，50美元在此置信区间内，所以总体均值可能是50美元，而60美元不在置信区间内，所以总体均值不大可能是60美元。406.2.2总体比例的区间估计（1）总体比例区间估计的含义下面四种表述方法哪种较为准确呢？•“美国成年人中有15%的人认为经济在好转”。如果我们可以对总体比例做出确定的判断当然很好，但我们并没有足够的信息来做到这一点，没有办法确保样本比例与总体比例相同，不同的样本会产生不同的样本比例。41•“美国成年人中有15%的人认为经济在好转，这可能是正确的”。事实上，无论真实比例是多少，它不会恰好是15%，因此这种说法还是不准确。•“我们不能精确知道美国成年人中认为经济好转的人的比例，但我们可以确定它在的区间内，即在12.8%至17.2%之间”。这个说法越来越接近正确，但仍然不全面。42•“我们有95%的把握认为美国成年人中12.8%至17.2%的人认为经济在好转”，这是对置信区间的一个较为恰当的解释。我们一般用样本比例去估计总体比例，样本比例的抽样分布的中心就是总体比例，当样本足够大时（），根据中心极限定理，样本比例的抽样分布近似正态分布。43（2）总体比例的估计我们知道总体比例的点估计是样本比例，是的无偏和一致估计，其计算公式如下：式中，为总体比例的点估计；为样本中具有某种属性的单位数量；为样本容量。44当样本容量足够大时（），样本比例的抽样分布近似正态分布，其均值为，标准差为。但由于总体比例未知，我们用样本比例代替，则样本比例的标准差同理，总体比例的区间估计是在点估计的基础上加减允许误差而得到的。45在重复抽样时，给定置信度为，总体比例的置信区间为：在不重复抽样时，给定置信度为，总体比例的置信区间为：

46例6-5位于墨西哥普拉亚卡门的皇家庄园度假村现在正考虑开始一个促销活动，当客户结账离开度假村时，会在15天之后收到一张优惠券，如果下次再来度假5天以上，就可以获得两晚免费住宿。经理有兴趣估计将会使用优惠券的客户比例。随机抽取100位客户作为样本，发现在收到优惠券的一年内，共有62位客户会返回。试计算收到优惠券的客户中使用优惠券的比例在95%置信度下的置信区间。47解：总体为收到度假村优惠券的全部客户，样本为随机抽取的100位客户。只要

，就同时满足和，可以用标准正态分布来近似。经计算，样本比例为：在给定95%的置信度下，查表可知临界值为，所以总体比例的置信区间为：

48故收到优惠券的客户中使用优惠券的比例在95%的置信度下的置信区间为[0.525,0.715]。

496.3总体方差的区间估计用样本方差作为总体方差的点估计，即可以证明，服从自由度为的卡方分布，即：50图6-4是不同自由度的卡方分布对应的概率密度曲线图：51为了估计总体方差的置信区间，首先构造卡方统计量：在给定的置信度下，有：则有：52因此，的置信区间可以表示为：53例6-5假定一组样本容量为10的样本，计算出的样本方差为，请估计总体方差的置信度为95%的置信区间。54解：根据总体方差置信区间的计算公式：查卡方分布表，得到时，总体方差的置信区间：556.4样本容量的确定在样本容量不变的情况下，若要增加估计的可靠度，置信区间就会扩大。在商务领域中，样本容量的确定常常优先于数据的采集，目的是确保置信区间小到做决策时能派上用场。合理样本容量的确定是一个复杂的过程，受资金、时间、可接受抽样误差的限制。56一般来说，可靠度越大，估计的精度就会降低；若要在不降低可靠度的情况下，提高估计的精度，就只有扩大样本容量。但是增加样本容量会受到许多限制，比如增加调查的费用和工作量，延长调查的时间等。所以我们需要在满足一定精确度的条件下尽可能减少样本容量576.4.1影响样本容量的因素合适的样本大小依赖于下列因素：（1）置信水平置信水平反映的是估计结果的可靠性，理论上介于0和100%之间，通常取90%、95%或者99%。在其他条件不变的情况下，提高可靠性，就需要增加样本容量，反之，则相应减少样本容量58（2）抽样极限误差抽样极限误差（又叫允许误差），指允许的最大抽样误差，是用绝对值表示的估计值和总体参数之差，记作。在其他因素固定时，允许误差的大小取决于研究的目的。如果要求估计的精确度高，允许误差就小，所需要的样本容量就大一些；反之，如果要求估计的精确度不高，允许误差可以大一些，所需要的样本容量就小一些。59（3）总体的变异程度在其他条件保持不变的情况下，总体的变异程度越大，所需要的样本容量越大；反之，具有较小方差的总体则需要较小的样本容量。（4）抽样方式在其他条件都相同的情况下，不重复抽样比重复抽样所需的样本容量要小。606.4.2样本容量的确定（1）估计总体均值的样本容量抽样极限误差也可以理解为区间估计时样本平均数（样本比例）加上或减去的那个值。在大样本情况下，重复抽样时，抽样极限误差、临界值和抽样平均误差三者之间的关系如下：61上式解出，就得到了构造合理均值置信区间估计所需要的合理样本容量。62例6-7计划通过某项调查来确定某大型公司雇员的平均年家庭医疗花费，公司管理部门希望有95%的信心使得总体平均年家庭医疗花费的样本均值精确在美元内，原来的调查显示标准差近似为400美元，求需要多大的样本容量？63解：允许误差，总体标准差为在95%的置信度下，，将其代入样本容量确定公式,有：

计算出的结果是245.86，即至少需要一个含246个雇员家庭的样本来估计误差在美元内，置信度为95%的总体平均年家庭医疗花费。64例6-8一个在政府机关打工的学生，想要计算员工每月薪资多少，她设定的允许误差为100美元，同时确定95%的置信水平。这位学生还发现之前劳工部门也做过一次类似的研究，在那次研究中，标准差为1000美元。计算本次研究所需要的样本容量是多少？65解：允许误差，总体标准差为在95%的置信度下，，将其代入样本容量确定公式,有：

计算出的结果是384.16，即在这次研究中至少需要抽取385个样本。66如果这个学生想要增加置信度，例如99%，则必须增加样本容量。反查标准正态分布表，得到99%的置信度对应的临界值则67可见，当置信水平大小改变时，样本容量大小也会改变，置信度从95%提高到99%时，样本容量从385增加到了666，增加了281，相应会增加调查费用和调查时间，因此在选取置信水平时必须仔细考虑。68（2）估计总体比例的样本容量与确定总体均值的样本容量类似，在大样本情况下，重复抽样时，抽样极限误差、临界值和抽样平均误差三者之间的关系如下：69上式解出，就得到了构造合理总体比例置信区间估计所需要的合理样本容量总体比例通常是未知的，在实际的抽样调查中，可以先进行小规模的抽样调查，用求得的样本比例来代替，也可用历史的资料来代替。70如果什么资料都没有，可以令，使得方差达到最大，由此估计出的样本数目也就比较大，能够保证估计的可靠性要求。71例6-9为检查某企业生产的10000个显像管的合格率，需要确定样本容量，根据以往经验，合格率有90%和91.7%两个数据。如果要求估计的允许误差不超过0.0275，在置信水平为95.45%的条件下，应该抽取多少只显像管？72解：根据资料，应该选择使得方差

达到最大，来计算样本容量。在95.45%的置信度下临界值，允许的最大误差。将其代入公式有：从计算结果可以看出，在置信水平为95%的条件下，应抽取477只显像管进行检验。

736.5两个正态总体均值差的区间估计6.5.1两个正态总体，且方差和

已知设总体，总体，且方差和已知，是来自总体的样本容量为的一个样本74是来自总体的样本容量为

的一个样本。估计的置信度为的置信区间，构建如下统计量：

75给定置信度为，则有，即容易推得的置信度的置信区间为：76例6-10美国Chase银行新泽西州BergenCounty分行进行一项研究来确定两个支行客户的经常账户之间的差异。从FortLee支行取得容量为28的经常账户的简单随机样本，又从Edgewater支行取得与FortLee支行独立的容量为22的经常账户的简单随机样本，并记录了样本中每个账户的结余，数据如下：77Chase银行BergenCounty分行要对来自这两个支行的顾客总体的经常账户结余的均值差进行区间估计。78解：总体方差和已知，选择Z统计量：

在95%的置信度下，查表知。可以得到置信度为95%的两个总体均值差的置信区间为：

79故的置信度为95%的置信区间为

。806.5.2两个正态总体，方差和未知，但设总体和，且方差和未知，但，是来自总体的样本容量为的一个样本，样本方差为，是来自总体的样本容量为的一个样本，样本方差为。81可以证明：式中，，是总体方差的无偏估计。82从而得到，的置信度为的置信区间为：

83实际中遇到的大量问题是既不了解总体分布形式，也不知道总体方差的情况，这类问题最好的解决办法是增大样本容量，因为当样本容量足够大时，下列统计量近似服从标准正态分布。

84例6-11公司1和2是分别处于市中心和郊区的两家公司，它