一次函数的应用 市赛获奖

一次函数的应用V/(米/秒)t/秒O

某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（米/秒）与其下滑时间

t（秒）的关系如右图所示：(1)请写出v

与t

的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？(V=2.5t)(V=7.5米／秒)（２，５）设Ｖ＝kt；∵(2，5)在图象上∴５＝2kk=2.5∴V=2.5t某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：类型价格进价（元/盏）售价（元/盏）A型3045B型5070（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，根据题意，得30x+50（100﹣x）=3500，解得x=75，所以，100﹣75=25，答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；(2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？类型价格进价（元/盏）售价（元/盏）A型3045B型5070解：设商场销售完这批台灯可获利y元，则y=（45﹣30）x+（70﹣50）(100﹣x)，=15x+2000﹣20x，=﹣5x+2000，∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，∴100﹣x≤3x，∴x≥25，∵k=﹣5＜0，∴x=25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元）答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．（1）设甲离开出发地的时间为x(h)，求：①甲离开出发地的路程y（km）与x（h）之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．②乙离开出发地的路程y（km）与x（h）之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（2）在同一直角坐标系中，画出（1）中两个函数的图像，并结合实际问题，解释图像中交点的意义．甲骑自行车以10km/h的速度沿公路行驶，出发3h后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25km/h.解：（1）由公式s=vt，得①甲离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=10x.自变量x的取值范围为x≥0.②乙离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=25(x-3)，即y=25x-75.自变量x的取值范围为x≥3．（2）以上两个函数的图像如图21-4-3所示．两个函数图像的交点坐标是（5，50)，即甲出发5h后被乙追上（或乙出发2h后追上甲）．此时，两人距离出发地50km.甲、乙两地相距40km，小明8:00点骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小红10:00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小明所用的时间为x(h)，小明与甲地的距离为y1(km)，小红离甲地的距离为y2(km).例1

举例(1)分别写出y1

，y2与x之间的函数表达式；(2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，

并指出谁先到达乙地.(1)解

小明所用时间为xh，

由“路程=速度×时间”

可知y1=8x，

自变量x的取值范围是0≤x≤5.

由于小红比小明晚出发2h，因此小红所用时间

为(x

-2)h.

从而

y2=40(x

-2)，自变量x的取值范围是2≤x≤3.

过点M(0，40)作射线l与x

轴平行，它先与射线

y2=40(x-2)相交，这表明小红先到达乙地.

(2)

解

将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，

如图4-17所示.图4-17(2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，

并指出谁先到达乙地.某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地H处旅游.当地有甲乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到H地旅游的价格都是每人100元，经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交100元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，使其支付的旅游总费用较少？解法一：设该单位的职工数为

人，那么甲旅行社应付：80x元，乙旅行社应付：60x+100

元，记

，=60x+100，在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象如下：由图象可知：当人数x=50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；当人数x大于0而小于50时，选择甲旅行社费用较少；当人数x大于50时，选择乙旅行社费用较少.解法二：设甲、乙旅行社的费用之差为y，则=80x-（60x+100）=20x-1000在平面直角坐标系内作出这个函数的图象如图：由图象可知：当人数x=50时，y=0，即y1=y2，选择甲或乙旅行社费用都一样；当人数x大于0而小于50时，y<0，即y1<y2，选择甲旅行社费用较少；当人数x大于50时，y>0，即y1>y2，选择乙旅行社费用较少.请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距.

已知指距与身高具有如下关系：例2指距x(cm)192021身高y(cm)151160169(1)

求身高y与指距x之间的函数表达式；(2)

当李华的指距为22cm时，你能预测他的身高吗？

上表3组数据反映了身高y与指距x之间的对应关系，

观察这两个变量之间的变化规律，当指距增加1cm，

身高就增加9cm，可以尝试建立一次函数模型.

解设身高y与指距x之间的函数表达式为y=kx+

b.将x=19，

y=151与x=20，y=160代入上式，得

19k

+

b=151，

20k

+

b=160.

(1)

求身高y与指距x之间的函数表达式；解得k=9，

b=

-20.于是y=9x-20.

①将x=21，y=169代入①式也符合.公式①就是身高y与指距x之间的函数表达式.解

当x=22时，

y=9×22-20=178.

因此，李华的身高大约是178cm.(2)

当李华的指距为22cm时，你能预测他的身高吗？你能找到下面两个问题之间的联系吗？(1)

解方程：

3x

-

6=0.(2)

已知一次函数y=3x

-

6，问x取何值时，y=0？动脑筋

从图中可以看出，一次函数y=3x

-

6的图象与x

轴交于点(2，0)，

这就是当y=0时，得x=2，

而x=2正是方程3x

-

6=0的解.(1)

方程3x

-

6=0的解为x=2.(2)

画出函数y=3x

-

6的图象(如图4-19)，图4-19

一般地，一次函数y=kx+b

(k≠0)

的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解.任何一个一元一次方程kx+b=0的解，

就是一次函数y=kx+b

的图象与x

轴交点的横坐标.已知一次函数y=2x

+6，

求这个函数的图象与x轴交点的横坐标.举例例3(1)

令y=0，

解方程2x

+6=0，

得x=-3.

所以一次函数y=2x+6的图象与x轴交点

的横坐标为-3.解法一直线y=2x+6与x

轴交于点(-3，0)，所以该图象与x轴交点的横坐标为-3.画出函数y=2x+6的图象(如图4-20)，

解法二图4-201.学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；（2）该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由.练习：解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：

y1=0.7[120x+100（2x﹣100）]+2200=224x﹣4800，

y2=0.8[100（3x﹣100）]=240x﹣8000；

分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买；当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．（2）由题意，得当y1＞y2时，即224x﹣4800＞240x﹣8000，解得x＜200当y1=y2时，即224x﹣4800=240x﹣8000，

解得x=200当y1＜y2时，即224x﹣4800＜240x﹣8000，解得x＞200（2）该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由.

花卉造型甲乙A8040B50702.某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况如下表所示：综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪几种？(2)如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元．试说明选用哪种方案成本最低？最低成本为多少元？解得37≤x≤40.∵x为整数，∴x＝37，38，39，40，∴符合题意的搭配方案有4种：①A种造型37个，B种造型23个；②A种造型38个，B种造型22个；③A种造型39个，B种造型21个；④A种造型40个，B种造型20个．(1)设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型(60－x)个，根据“4200盆甲种花卉”“3090盆乙种花