生物组织中任意倾斜多柱状电极的电场计算

生物组织中任意倾斜多柱状电极的电场计算

针灸和针灸广泛应用于医学。这是因为针灸和针灸可以临床上的伤口小，使用灵活，可以治疗浅表、深部肿瘤和内脏器官病变。它是一种有效的补救措施，逐渐成为癌症和其他疾病综合治疗的有效补充手段。由于单针电极的时间分布是不均匀的[10.12]，治疗组织非常大，需要扩大治疗范围，通常需要增加针灸和脊柱针的数量。同时，为了杀死被破坏的组织的薄细胞，在杀死组织中需要强烈的横向分布，以最小的损伤。为了达到不同的治疗效果和目的，对多针倾斜电极的治疗要求非常严格。获得的文献主要是单元网格阻抗法和有限元法。在现有的限元法中，只使用了两个针电极的计算示例。多针电极的计算示例是二维平面模型，垂直针灸和莫哈布西翁系统[9.13]。近年来，人们对针灸和莫哈布西翁系统空间分布的定量研究较少。在文献中，主要有单元网格阻抗法和有限元法。在有限元法中，只使用了两个针电极。多针电极的计算示例是二维平面模型和垂直针灸电极[9.13]。近年来，人们主要使用积分法原理对多针电极的垂直分布进行了计算，但目前还不够。此外，还有许多计算针灸中产生的电流的计算方法，这些算法主要基于简化模型而使用电路理论。这是接近计算方法或对称电离作用的问题。然而，如果这种设计的电离作用是不规则的，或多针倾斜电极的电离作用是困难的，它是无法计算复杂电离作用的。现在，医学上有许多关于应用的报道，但许多关于临床实践报告的定性描述。在临床上，为了改变电压和电极距离来改变治疗效果，人们需要对多针倾斜电极的场分布进行定量分析和计算。这对医学的继续应用非常重要。此外，对于多针倾斜电极的动态分布特征进行了进一步的探索。在数值计算中所使用的有限元或有限差分法,其缺点是方程涉及的未知量太多,使计算的速度和精度受到限制.若用于计算倾斜多针状电极系的场分布,把针状电极当柱状处理,则网格需划分的非常小;如果把针状电极当作线状处理,则会出现奇点;倾斜针状电极的存在还会出现不规则立体网格的划分问题,利用有限元或有限差分法计算倾斜多针状电极系的场,在边界的处理上存在困难,因此目前尚无倾斜多针状电极系所产生场的算例.积分方程法所涉及的未知量只分布在不同介质的边界上,可使计算量减小,从而较大幅度地提高计算速度[23~32].同时积分方程法将电流分布按线状处理,可以很好地解决用有限元素或有限差分法计算倾斜多针状电极系边界处理所遇到的困难.但是用积分方程法计算静电类问题时,有时离散方程会存在病态问题.我们利用算例对边界元积分方程系数矩阵进行了考查,所选算例属于良态方程.本文实现了利用积分方程法计算倾斜多针状电极系的电场分布,并获得了较快的计算速度.1计算电流分布的性能1.1含多个含电极的x-u-t-ln点电流源I在生物导电组织中任意一点的电势可以写为其中r为场点到源点的距离,σ是生物组织的电导率.图1为任意多针状电极的不规则空间分布图,若有L1,L2,…,Lm,…,Ln个针状电极(编号),并用L1,L2,…,Lm,…,Ln代表针状电极的长度.设由单位长度针状电极流入生物组织的电流为I1,I2,…,Im,…In,且I1,I2,…,Im,…,In在同一个电极上的分布是不均匀的、随空间坐标而变化,则有其中U=[U1,U2,L,Um,L,Un]T,U1,U2,…,Um,…,Un分别为针状电极上的电势,上标T表示矩阵的转置,r1,r2,…,rm,…,rn分别为场点到源点的距离.1.2转化单元i,j设场点和源点都在针状电极上,将L1,L2,…Lm,…,Ln个电极分别分为M1,M2,…,Mm,…,Mn个网格,采用块中心网格系统,总网格数为M=M1+M2+L+Mm+L+Mn,则第j个网格在第i个网格所产生的电势为其中ir是网格编号为i的中心点的矢径,r′为第j个网格上任意一微分元dl的矢径.若i和j分别为多针状电极系中任意两针状电极Lm1和Lm2上的任意两个网格(i和j也可以在同一根针状电极上,如图2),设任意两针状电极Lm1和Lm2下端点的坐标为(x01,y01,z01)和(x02,y02,z02),第i个网格中心点的坐标为(x1,y1,z1),针状电极Lm1和Lm2的方向余弦为(cosα1,cosβ1,cosγ1)和(cosα2,cosβ2,cosγ2),α11β,γ1和α2,β2,γ2分别为针状电极Lm1和Lm2与坐标轴x,y,z的夹角.在第j个网格中认为I(j)为常数,若I(j)系数用a(i,j)表示,则有其中在这里il和lj表示由针状电极Lm1和Lm2的下端点到第i和j个网格中心的距离.同样有则令则(3)式积分可表示为其中lj+12和lj-12是第j个网格上下边界点到电极下端点的距离.若i=j,则x01=x02,y01=y02,z01=z02,α1=α2,β1=β2,γ1=γ2,有此时(3)式的积分为含有奇点的积分,可采取如下处理办法:在i点附近挖去长度为2∆的一小段∆→0,则在实际计算中根据精度要求适当选取∆的大小.当i和j均在同一个电极上时,不论j点在i点的上方还是下方,可以证明矩阵元a(i,j)可用统一的(4)式计算.电极上第i点的电势为将(6)式写成矩阵形式为2计算空间势和电池电压的值2.1第j个网格设电极mL下端点的坐标为(x0m,y0m,z0m),第j个网格是电极mL上的点,r′为第j个网格上任意微分元dl的位矢,r为空间任意一点P的位矢,则P点的电势为2.2eyj-mezj模型点电流元在电导率为σ的生物组织中的电场可写为其中r和r′为场点和源点的位置矢径.与计算电势方法类似,第j个网格电流元在生物组织中任意一点所产生场强的x分量为其中αm为向量(r-r′)与x轴的夹角.Eyj,Ezj与Exj类似有总电场的各分量为其中βm和γm为向量(r-r′)与y和z轴的夹角.总电场强度为3计算值的例和计算结果的验证3.1实验结果和讨论在倾斜多针状电极无解析解和没有其他数值计算结果的条件下,为考察和检验计算方法的可行性和计算结果的可靠性,今用文献[15,16]在水中的实验测量结果对倾斜多针状电极系计算方法进行了检验,将倾斜多针状电极系程序简化(通过改变程序中的电极系参数)为竖直2针状电极系.得到了如表1的对比结果(计算及实验参数,两电极长度L1=L2=0.07m,阴极1L电势1U=0V,电源阳极2L电势U2=3V,1L平行于2L,1L距2L0.04m,两电极下端点在垂直于两电极的同一个平面内,水的电导率σ=1.2×10-4(Ω⋅m)-1,实验时整个装置放在水中,电势参考0点为阴极),在表1中UC表示由边界元方法计算的结果,Um为由实验测量所测得的电势分布.可以看出计算结果与实验值符合得非常好,而在离阳极较近的点电势测量值低于计算值,其相对误差最大值小于1%,在电极上电势测量值等于计算值,说明计算方法可靠.3.2倾斜多轴电极系统的场势值计算3.2.1电极形貌和位置分布利用MATLAB软件平台,我们编程实现了任意倾斜多针状电极系的场势计算,下面给出了一个7针状倾斜电极的算例,图3中A,B,C,D,E,F,G为7针状倾斜电极下端在xoy坐标平面上的位置,呈正六边形排列,各点之间距离相同均为0.02m,各点的坐标(x,y)分别为:A(0.1m,0.135m),B(0.12m,0.135m),C(0.13m,0.117m),D(0.12m,0.1m),E(0.1m,0.1m),F(0.09m,0.117m),G(0.11m,0.117m),各电极与x,y,z轴的夹角α,β,γ分别为LA(70°,70°,29°),LB(50°,50°,66°),LC(60°,60°,45°),LD(70°,70°,29°),LE(70°,70°,29°),LF(60°,60°,45°),LG(90°,90°,0°).在这7针状电极中只有电极G是竖直放置的,每个电极的电势均为U=200V,电极长度均为0.05m,每根针状电极被离散为50个网格,生物组织的电导率σ=0.286(Ω⋅m)-1.计算结果见图4~6.图4表示在坐标平面z=0上的电势分布,在靠近电极的地方电势存在大的梯度变化,在电极上利用边界元法计算的结果等于电极的电势设定值200V由于所有电极的下端都在该平面上,所以电势出现7个锐锋.尽管电极下端点在xoy平面(z=0)上是均匀分布的,但因电极是倾斜的,所以其电势等值线图4(b)为非对称分布.图4(b)明显显示出电极所在的位置.图5表示在平面z=0.04上的电势分布,该图只显示出4根针状电极的存在,这是因为只有这4根针状倾斜电极被该平面所切割,电势等值线图5(b)显示电极在该平面的位置间距存在较大差别,在电极区内电势分布更不均匀.图6表示在直线1L:y=0.117m,z=0.0m;2L:y=0.117m,z=0.01m;3L:y=0.117m,z=0.05m上的电场强度分布.1L,2L,3L互相平行,直线1L穿过三个针状电极F、G、C的下端,三条直线均穿过竖直电极G,但2L,3L不与F、C电极相交,图中的曲线1,2,3分别对应直线1L,2L,3L上的电场分布,图6(a)~(c)为这三条直线上的电场x,y,z分量,图6(d)为总电场强度的大小,曲线2显示,在x=0.14m附近直线2L与其中一个电极比较靠近.电场的Ex分量在电极的左右两侧存在方向的改变,显示出倾斜多针状电极电场分布的不均匀性.3.2.2算例3:美国法上的最佳计算方法积分方程法的优势是所涉及的未知量只分布在不同介质的边界上,但计算发现离散方程有时解的稳定性差.对上述电极结构我们建立了以倾斜针状电极系的电流密度为未知量的离散方程,分别计算了离散方程系数矩阵的条件数(直接调用MATLAB计算条件数的指令可实现系数矩阵条件数的计算),结果表明随着针状电极划分网格数目的增加,系数矩阵的条件数在增大,但增加的非常缓慢.电极网格总数由70变到2100的过程中,方程系数矩阵条件数由1.709变为2.405,将方程系数矩阵条件数与机器精度(10-16)相乘则可粗略估计计算的误差,若使用双精度,对于倾斜多针状电极系的计算机截断误差最大在10-15数量级范围内,方程属于良态方程,计算方法的稳定性较好.表2还给出了该方法的计算程序运行时间与针状电极网格数目的关系,计算时将空间场点划分为100×100×100=1000000个网格.在不改变空间网格总数条件下,研究了程序运行时间与电极系网格划分个数的关系(见表2)(软件:MATLAB软件平台,程序:倾斜多针状电极程序(自己编写的),机器:PentiumⅣ650微型计算机).表2显示,随针状电极上网格总数的增加,程序计算运行时间在非线性增加,但当针状电极网格数为2100时计算空间100万个场点的运行时间为116.2s,这在仅有0.05m长的针状电极上就划分了300个网格(每个网格的长度不到0.2mm),对这种排列的倾斜7针状电极系,有限元或有限差分方法是难以精确到这种网格尺度的,在这么短的时间内无法实现这么多场点的电势计算,本算例显示了边界元积分方程法在计算速度上的优势在实际应用中在0.05m长的针状电极上划分20~30个网格足以满足精度的要求,那么空间100万个场点电势的运行时间仅为3~5s,这为射频治疗仪的职能控制提供了快速计算方法,该表还反映出电极网格数的多少对程序运行时间影响较大,而计算空间场点数目的多少对程序运行时间影响较小.4结果的评价和应用本文利用边界元法实现了生物组织中倾斜多针状电极所产生场的数值计算,克服了利用有限元素或有限差分法计算生物组织中倾斜多针状电极系问题所遇到的边界处理上的困难.并用实验测量结果对计算方法进行了检验,结果吻合得较好.还给出了7针状倾斜电极算例,利用算例对方法的计算速度和稳定性进行了考查,获得了较快的计算速度和稳定的计算结果,表明边界元积分方程法对计算倾斜多针状电极系的电场分布是合适的,较其他方法有计算速度快的明显优势.这对解决医学实际问题具有重要意义,只要给