直线的方程（学生版）

2.2直线的方程目录TOC\o"13"\h\u☯知识清单☯1.直线的点斜式方程 32.直线的斜截式方程 43.直线的两点式方程 44.直线的截距式方程 55.直线方程的一般式 66.直线方程几种表达方式的选取 67.直线方程的综合应用 7☯典型例题☯母题1：点斜式方程 811：点斜式方程的形式 812：求直线方程 9母题2：斜截式方程 1021：求直线方程 1022：斜截式方程的图象应用 1223：根据斜截式方程求参数取值 14母题3：两点式方程 1531：求两点式直线方程 1532：根据两点式求参数取值 1633：光线折射问题 17母题4：截距式方程 1841：截距式方程的概念理解 1842：求截距式直线方程 19母题5：一般式方程 2451：直线的一般式方程 2452：五种方程形式的互化 25母题6：直线过定点问题 28母题7：两条直线的位置关系 30母题8：由直线平行与垂直求直线 31母题9：由直线的平行与垂直求参数 32母题10：直线方程的综合问题 352.2直线的方程☯知识清单☯直线的点斜式方程（1）定义：如图，直线过定点，斜率为，把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。（2）两种特殊的直线：①垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或。②平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为。（3）求直线点斜式方程的一般步骤：①求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程②点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。知识点诠释：1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2．当直线的倾斜角为时，直线方程为；3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：．4．表示直线去掉一个点；表示一条直线．直线的斜截式方程（1）定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为，则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。（2）斜截式的几种特例表示过原点的直线，表示与轴平行的直线，表示轴知识点诠释：1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．直线的两点式方程（1）定义：如图，直线经过点，（其中，），则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。（2）两点式方程的应用用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。知识点诠释：1．这个方程由直线上两点确定；2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程．3．直线方程的表示与选择的顺序无关．4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．直线的截距式方程（1）定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。（2）截距的概念①横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可；②纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。（3）截距式方程应用的注意事项①问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；②选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；③要注意截距式方程的逆向应用。知识点诠释：1．截距式的条件是，即截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线，不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距．直线方程的一般式（1）定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。（2）适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。（3）系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距）当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．知识点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．直线方程的综合应用（1）已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．（2）根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．（3）对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．①从斜截式考虑已知直线，，；于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．②从一般式考虑：且或，记忆式（）与重合，，，（4）直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．☯典型例题☯母题1：点斜式方程11：点斜式方程的形式直线的点斜式方程y−yA．任何一条直线

B．不过原点的直线C．不与y轴垂直的直线

D．不与x轴垂直的直线直线y＝k（x﹣1）（k∈R）是（）A．过点（﹣1，0）的一切直线 B．过点（1，0）的一切直线 C．过点（1，0）且除直线x＝1外的一切直线 D．过点（1，0）且除x轴外的一切直线直线l的点斜式方程为，则（）A．直线l过点，斜率为B．直线l过点，斜率为C．直线l过点，斜率为2D．直线l过点，斜率为2直线的倾斜角和所过的定点分别为（）A．60°，（1，2）B．120°，（－l，2） C．60°，（－1，2）D．120°，（－1，－2）12：求直线方程过点A2,1且斜率为2A．2x−y+3=0 B．2x−y−3=0C．x−2y+1=0 D．x−2y=0经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（

）A． B． C． D．求经过点D(－1,1)，倾斜角为0°的直线方程。求过点C(－2，3)，与x轴垂直的直线方程。斜率与直线平行，且过点（－4，3）的直线的点斜式方程是________．过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的倍。求直线l的倾斜角是直线y＝x－3的倾斜角的两倍，且经过点(2，4)的直线方程直线过点P（2，－3），且与过点M（－1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线的方程．母题2：斜截式方程21：求直线方程根据条件写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；（2）写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；（3）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；（4）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（

）A． B． C． D．已知直线方程为y=2x－1，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．直线l：的斜率和在x轴上的截距分别为（

）A．，3 B．， C．，3 D．，直线的倾斜角及在y轴上的截距分别是（

）A．，2 B．， C．， D．，222：斜截式方程的图象应用（1、3象限斜率为正，2、4象限斜率为负；y轴正半轴b为正，y轴负半轴b为负）如图中直线的方程是，则下列结论中成立的是（）A．且B．且C．且D．且直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0直线l不经过第三象限，l的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则有()A．k·b>0B．k·b<0C．k·b≥0 D．k·b≤0在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()直线y＝ax－eq\f(1,a)的图像可能是()直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()23：根据斜截式方程求参数取值直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k的取值范围．方程y＝a|x|和y＝x+a（a＞0）所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．0＜a＜1 C．∅ D．0＜a＜1或a＞1母题3：两点式方程31：求两点式直线方程过(1,1),(2,−1)两点的直线方程为（

）A．2x−y−1=0 B．x−2y+3=0C．2x+y−3=0 D．x+2y−3=0过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为已知三角形的三个顶点分别为A（6，－7），B（－2，3），C（2，1），求AC边上的中线所在的直线方程．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），分别求BC边上的高和中线所在的直线方程．32：根据两点式求参数取值已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024若点P（3，m）在过点A（2，―1），B（―3，4）的直线上，则m的值为________已知两点，.（1）求直线AB的方程；（2）设a为实数，若点在直线AB上，求a的值.33：光线折射问题一束光线从A（1，0）点处射到y轴上一点B（0，2）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．x+2y﹣2＝0B．2x﹣y+2＝0C．x﹣2y+2＝0 D．2x+y﹣2＝0一条光线从点A（3，2）发出，经x轴反射，通过点B（﹣1，6），则反射光线所在直线的方程为．一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程．母题4：截距式方程41：截距式方程的概念理解下列四个命题中真命题是()A.经过定点的直线都可以用方程表示；B.经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)＝(xx1)(y2y1)表示；C.不经过原点的直线都可以用方程表示；D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示.直线过第一、三、四象限，则（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0直线：如图所示，则，的取值范围是（

）A．，A．，B．，C．，D．，如下图，若A（2，2）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）三点共线，则的值等于________．两条直线与的图像可能是如图中的（）A．B．C．D．42：求截距式直线方程例1：已知截距求方程已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为________。根据条件求下列各题中直线的截距式方程：（1）在x轴上的截距为－3，在y轴上的截距为2；（2）在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为－4。例2：已知截距关系求方程已知直线l过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．则直线l的方程为已知直线l经过点A(5,−2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为.已知直线过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程。过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程是已知直线经过点，其纵截距为正，且纵截距比横截距大1，则直线的方程为__________.过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为若直线经过点A(1，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，那么直线的方程为例3：面积问题设直线在，轴上的截距分别为，，且满足，则直线与坐标轴围成的图形的面积为______.直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l的方程为____________．已知直线l过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．已知直线的倾斜角的正弦值为，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程．母题5：一般式方程51：直线的一般式方程根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是eq\r(3)，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；(5)经过点B(4,2)，且平行于x轴.根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式.①斜率是－eq\f(1,2)，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________；②在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)和－3的直线方程为________________；③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________.52：五种方程形式的互化在直角坐标系中，直线x＋eq\r(3)y－3＝0的倾斜角是()A.30°B.60°C.150°D.120°已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0直线Ax+By+C=0，当A＞0，B＜0，C＞0时，必经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()若ac＜0，bc＜0，则直线ax+by+c＝0的图形只能是（）A．B．C．D．直线方程为，若直线不过第二象限，则实数m的取值范围是______．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．若直线与直线平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大，求直线的方程.已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A.－eq\r(3)，－1B.eq\r(3)，－1C.－eq\r(3)，1D.eq\r(3)，1若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________.若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是平行于y轴的直线，则系数a，b，c满足条件()A．bc＝0 B．a≠0C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝0母题6：直线过定点问题直线kx−y+1−3k=0，当k变化时，所有直线都恒过点()A．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)无论a、b(ab≠0)取何实数，直线ax＋by＋2a－3b＝0都过一定点P，则P点坐标为．直线2m−1x−m+3不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（）A．B．C．D．已知点P(m，n)在直线3x＋y＋2＝0上，直线y＝mx＋n恒过一定点，则该定点的坐标为________．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)。(1)求证：不论a取何值，直线l必过定点，并求出这个定点；(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(3)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．母题7：两条直线的位置关系（多选）已知直线（）A．直线与直线平行B．直线与直线平行C．直线与直线垂直D．直线与直线垂直直线：和直线：（）的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（）A．与相交B．与平行C．与重合D．与的位置关系与a的取值有关下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是(

)A．与 B．与C．与 D．与母题8：由直线平行与垂直求直线与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（）A．B．C．D．过点且垂直于直线的直线方程是（）A．B．C．D．过点，且与直线平行的直线方程是（）A．B．C．D．已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．母题9：由直线的平行与垂直求参数若直线和直线平行，则的值为（）A．B．C．或D．直线与直线垂直，则