专题16三角函数的图象与性质

专题16三角函数的图象与性质№专题16三角函数的图象与性质№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题16三角函数的图象与性质命题解读命题预测复习建议函数的图象与性质是高考的一个重点考点，同样三角函数的图象和性质也是高考常考的知识点，三角函数的单调性、周期、最值是高考的高频考点，题型有选择、填空、解答，难度比较适中，常常与三角恒等变换的方法与技巧相联系，注重考察函数方程、转化等思想。预计2024年的高考对于三角函数图象与性质的考察还是一个重点，主要是以选择或者填空为主，难度不是很大，但要注意三角恒等变换与这部分的结合，因此需要掌握各种公式和图象。集合复习策略：1.能画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象；2.掌握三角函数的图象和性质，能通过图象看性质；3.掌握三角函数的性质在解题中的应用。→➊考点精析←一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性,奇函数，偶函数，奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.二、函数的图象与性质1．函数的图象的画法（1）变换作图法由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.2．函数（A>0,ω>0）的性质（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=.（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.（4）对称性：利用y=sinx的对称中心为求解，令，求得x.利用y=sinx的对称轴为求解，令，得其对称轴.3．函数（A>0,ω>0）的物理意义当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f=叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.三、三角函数的综合应用（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．（5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．【注】函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解．（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴.函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.→➋真题精讲←1.（2023全国甲卷10）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.2.（2023全国Ⅱ16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．【答案】【解析】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．3.（2023全国乙卷）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.4.（2023北京卷17）设函数．（1）若，求的值．（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）.（2）条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.【解析】【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【小问1详解】因为所以，因为，所以.【小问2详解】因为，所以，所以的最大值为，最小值为.若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；若选条件②：因为在上单调递增，且，所以,所以,,所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以.所以，；若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最小值，即.以下与条件②相同．→➌模拟精练←1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到，利用平移变换得到，再根据是函数的一个极值点，即当时，函数取得最值求解.【详解】由，化简得，所以．又是函数的一个极值点，所以当时，函数取得最值，所以，解得．因为，所以．故选：A．2.（2023·广东·校联考模拟预测）若函数是区间上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数是区间上的减函数，则①当时，则，则由得，故，则无解.②当时，则，则由得，故，则有.综上①②知：.故选：B3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数的图象与性质可得及，继而可得，计算可得结果.【详解】化简，在时，，该区间上有零点，故，又时单调，则，即，故故选：C4．（2023·江苏常州·校考二模）已知函数(，)，若函数的最小正周期且在处取得最大值2，则的最小值为（

）A．5 B．7 C．11 D．13【答案】D【分析】由函数式的最大值2结合函数的特点求出a值，再把函数式化成，由取最大值的条件结合周期范围得解.【详解】，所以的最大值为，即，又，所以，所以.又在处取得最大值2，所以，即，即，又函数的最小正周期，所以，又，所以，所以的最小值为13.故选：D【点睛】涉及解决类型函数的问题，运用辅助角公共化成是关键.5．（2023·广东湛江·统考一模）已知，函数，下列选项正确的有（

）A．若的最小正周期，则B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象C．若在区间上单调递增，则的取值范围是D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是【答案】ACD【解析】由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确；当时，可得，将函数的图象向右平移个单位长度后得，所以B错误；若在区间上单调递增，则，解得，又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；若在区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确．故选：ACD．6．（2023·江苏·二模）已知函数的最小正周期为，若将其图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于轴对称及得到的值，进而可得函数可能的解析式．【详解】解：由题意知．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，因为其图像关于轴对称，所以．又，所以．即，由诱导公式知，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．7．（2023·广东广州·统考一模）已知函数的图像关于直线对称，则（

）A．函数的图像关于点对称B．函数在有且仅有2个极值点C．若，则的最小值为D．若，则【答案】ABD【解析】依题意，，即，而，则，，对于A，因为，于是函数的图像关于点对称，A正确；对于B，当时，，而正弦函数在上有且只有两个极值点，所以函数在有且仅有2个极值点，B正确；对于C，因为，又，因此中一个为函数的最大值点，另一个为其最小值点，又函数的周期为，所以的最小值为，C错误；对于D，依题意，，则，因此，D正确.故选：ABD8．（2023·江苏常州·校考二模）已知定义域为的函数，的最小正周期均为，且，，则（

）A． B．C．函数是偶函数 D．函数的最大值是【答案】BC【分析】根据函数的周期性以及已知条件，求得的解析式；再结合特殊角的三角函数值，诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和最值，即可判断和选择.【详解】因为，的最小正周期均为，，则，即，又，故可得：，，则；综上所述，；对A：，故A错误；对B：，，显然，故B正确；对C：，又为偶函数，故函数是偶函数，C正确；对D：，又的最大值为，故D错误.故选：BC.9．（2023·广东江门·统考一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的值域为 B．的图像关于点中心对称C．的最小正周期为 D．的增区间为（）【答案】AD【解析】因为，所以，A正确；，但，因此的图象不可能关于点成中心对称，B错；的最小正周期是，所以的最小正周期是，C错；由得，，，时，，易得时，递增，时，递减，又的最小正周期是，所以的增区间是（），D正确；故选：AD．10．（2023·广东深圳·统考一模）已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（

）A．的最小正周期为πB．在区间上单调递增C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称【答案】AD【解析】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，故A选项正确；令，解得，所以单调递增区间为，故B选项错误；令解得，故C选项错误；令解得所以函数的对称中心为，故D选项正确.故选：AD11．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后的函数的图像，若为偶函数，则函数在上的值域为___________.【答案】【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据为偶函数求出的值，即可求出的解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：因为，将的图像向右平移个单位长度得到，又为偶函数，所以，，解得，，因为，所以，所以，因为，则，所以，则.故答案为：12．（2023·江苏南京·统考二模）已知，．(1)若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值；(2)若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，依题意，即可求出，从而得到函数解析式，再代入计算可得；（2）由对称性得到，，再由函数在区间上的单调性求出的范围，即可得解.【详解】（1）因为，因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，所以，解得，所以，所以.（2）由，函数的图象关于对称，所以，，所以，，由，，则，又函数在上单调，所以，解得，所以当时.13．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知函数.(1)求的最小正周期及对称轴方程；(2)时，的最大值为，最小值为，求，的值.【解析】（1）∴，则的最小正周期为，∵的对称轴为直线，，∴由，，解得，，∴的对称轴方程为，.（2），∵，∴，∴，∴，当时，的最大值为，最小值为，∴由，解得，当时，的最大值为，最小值为，∴由，解得，综上所述，，或，.→➍专题训练←1.将函数f(x)=2sin(2x+π3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g(x)A．x=−π24 C．x=5π24 【答案】A【解析】将函数fx=2sin2x+再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g即gx由4x+2π3=则当k=0时，离原点最近的对称轴方程为x=−π24，故选【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．2.（2023·湖北·校联考三模）已知函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上单调，则a的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，由已知条件时取得最大值，有，即．又由已知得，于是，由于，故在．所以函数，因为，所以，因为在上单调，所以，解得，故．故选：D．3．（2023·安徽·校联考三模）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．的最小正周期为 B．直线是图像的一条对称轴C．在上单调递增 D．若在区间上的最大值为1，则【答案】D【详解】，所以的最小正周期为，A错误；因为，，所以直线不是图像的一条对称轴，B错误；当时，，而函数在上不单调，C错误；当时，，因为在区间上的最大值为1，即，所以，解得，D正确．故选：D．4．（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知函数，且在上单调.则下列结论正确的是（

）A．B．C．在区间上有2个零点D．若，且，则【答案】BC【详解】由函数，因为，可得，可得，则，又因为上单调，所以，即，因为，可得，取，可得，则，可得，又因为，可得，可得，检验：当，，故单调递减，满足题意，所以A不正确，B正确；由，可得，令，即，解得或，所以函数在上有两个零点，所以C正确；由且，，令，则，因为，且，可得，根据函数的对称性，可得，即，即，可得，所以，所以D不正确.故选：BC.5．（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AB【详解】由，知函数的图象关于直线对称，又，即是函数的零点，则，，即，.由在上单调，则，即，所以.当时，由，，得，，又，所以，此时当时，，所以在上单调递增，故符合题意；当时，由，，得，，又，所以，此时当时，，所以在上单调递增，故符合题意；当时，由，，得，，又，所以，此时当时，，所以在上不单调，故不符合题意.综上所述，或3.故选：AB.10．（多选）（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．在上单调递增C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为【答案】BC【详解】对于A，由函数，则，故A错误；对于B，由，则，因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；对于C，由，则，因为函数的对称轴为直线，故C正确；对于D，由，则，令，解得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，故D错误.故选：BC.6．（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知函数在上恰有三个零点，则（

）A．的最大值为B．在上只有一个极小值点C．在上恰有两个极大值点D．在上单调递增【答案】BD【详解】A项，当时，，由函数恰有三个零点，可得，解得，所以无最大值，因此A错误；B选项：由A选项知，，则当，即时，函数取得极小值，即在上只有一个极小值点，因此B正确；C选项：当，即时，此时，函数取得极大值，当