北师大数学总复习第7章第5课时空间中的垂直关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【A级】基础训练1．（2013·高考广东卷）设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是（)A．若α⊥β，m⊂α,n⊂β，则m⊥nB．若α∥β,m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：本题可以依据相应的判定定理或性质定理进行判断，也可以借助于长方体模型，利用模型中的直线和平面进行判断．如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC平面A1B1C1D1∥平面ABCD,B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面答案：D2．已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α,α⊥β,则（)A．n⊥β B．n∥β或nβC．n⊥α D．n∥α或nα解析：如图所示．图①中，n与β垂直，②中nβ，③中n∥β，n∥α,∴排除A、B、C，故选D.答案：D3．（2014·重庆模拟)在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为(）A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图，二面角α－l－β为45°，ABβ，且与棱l成45°角，过A作AO⊥α于O，作AH⊥l于H。连接OH、OB，则∠AHO为二面角α－l－β的平面角，∠ABO为AB与平面α所成角．不妨设AH＝eq\r(2），在Rt△AOH中，易得AO＝1；在Rt△ABH中，易得AB＝2。故在Rt△ABO中，sin∠ABO＝eq\f(AO，AB)＝eq\f（1,2）,∴∠ABO＝30°，为所求线面角．答案:A4．设l,m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题①若l⊥α,则l与α相交②若mα，nα，l⊥m,l⊥n,则l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α,则n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n其中正确命题的序号为________．解析：由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m、n不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l∥n,又l⊥α，故n⊥α从而③正确;由m⊥α,n⊥α知m∥n,故l∥n，故④正确．答案:①③④

5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可）解析：DM⊥PC（或BM⊥PC等），∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD,又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC,BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD。答案：DM⊥PC（答案不唯一)6．(2012·高考辽宁卷）已知点P,A，B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2eq\r（3）的正方形．若PA＝2eq\r(6),则△OAB的面积为________．解析：将直四棱锥补成长方体如图:球O的直径2R＝eq\r(2\r（3)2＋2\r(3）2＋2\r（6)2)＝4eq\r（3)，∴R＝2eq\r(3)。S△OAB＝eq\f（1,2）×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3).答案：3eq\r（3）7．(2013·高考辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；（2）设Q为PA的中点,G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC。证明：(1）由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC。又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.（2）连接OG并延长交AC于点M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心,得M为AC中点．由Q为PA中点，得QM∥PC,又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M,QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC。因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.8．(2012·高考广东卷）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝eq\f(1,2）AB,PH为△PAD中AD边上的高．(1）证明：PH⊥平面ABCD；（2)若PH＝1,AD＝eq\r(2),FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明:EF⊥平面PAB。解：（1)证明：∵AB⊥平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD.∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH⊥AD,∴PH⊥平面ABCD。(2)连接BH,取BH中点G,连接EG.∵E是PB的中点，∴EG∥PH.∵PH⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD,∴EG＝eq\f(1，2)PH＝eq\f（1,2）,VE－BCF＝eq\f(1,3）S△BCF·EG＝eq\f(1,3）·eq\f（1，2）·FC·AD·EG＝eq\f(\r(2)，12）.(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME.∵E是PB的中点，∴ME綊eq\f(1，2）AB.又∵DF綊eq\f（1,2）AB，∴ME綊DF,∴四边形MEFD是平行四边形，∴EF∥MD。∵PD＝AD,∴MD⊥PA。∵AB⊥平面PAD,∴MD⊥AB.∵PA∩AB＝A,∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB。【B级】能力提升1．已知平面α⊥平面β,α∩β＝l点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l，直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析：如图所示：AB∥l∥m;AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，故选D。答案：D2．（2014·山西四校第三次联考）在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α,β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,则l⊥γB．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则l∥nD．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析:对于A,∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真题；对于B，∵如果要一条直线平行于两个相交平面,那么该直线平行于它们的交线,∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交,有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D,当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题．综上所述，选D.答案：D3．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC,PA＝2AB，则下列结论正确的是(）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°解析：∵PB在底面的射影为AB，AB与AD不垂直,排除A.又BD⊥AB，BD⊥PA，∴BD⊥面PAB。但BD不在面PBC内,排除B。对于C选项，∵BD∥AE,∴BD∥面PAE，∴BC与面PAE不平行，排除C.又∵PD与面ABC所成角为∠PDA，∵AD＝2AB＝PA,∴∠PDA＝45°，故选D.答案:D4．(2012·高考安徽卷）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________（写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直;②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连结四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．解析:把四面体ABCD放置在如图所示的长方体中,显然命题①错误；因四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形,所以②正确;当ABCD为正四面体时，夹角之和等于180°，所以③错误；因每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行,且都经过长方体的中心,所以④正确；而命题⑤显然成立．故应填②④⑤。答案：②④⑤5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线,垂足为点H①点H是△A1BD的中心;②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C其中正确命题的序号是________．解析：由于ABCD－A1B1C1D1是正方体,所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确;又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1,故②正确;从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1答案:①②③6．(2014·淮南模拟）已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在的直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△PAB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．（写出所有正确结论的编号)解析：由条件可得AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD，故①正确;∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，②错;S△PCD＝eq\f（1,2)CD·PD,S△PAB＝eq\f（1,2)AB·PA，由AB＝CD,PD＞PA知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB,故AE与BF共面，故④错．答案：①③7．(2012·高考山东卷）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF。（1)求证:BD⊥平面AED;（2）求二面角F－BD－C的余弦值．解：（1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD,∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°。又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD。又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)如图所示，取BD的中点G，连接CG,FG，由于CB＝CD