函数的单调性与导数

高二数学选修1-1喀什市第十一中学焦阳1.3.1函数的单调性与导数函数y=f(x)在给定区间I上，当x1、x2∈I且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在I上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在I上是减函数；若f(x)在I上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在I上具有严格的单调性。I称为单调区间I=(a,b)课前复习基本初等函数的导数公式课前复习课前复习导数运算法则高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数

h(t)＝－4.9t2+6.5t+10

图象高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数

v(t)=h

(t)＝－9.8t＋6.5

图象运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？情境引入：①h(t)↗v(t)=h(t)>0②h(t)↘且v(t)=h(t)＜0函数的单调性与其导函数的正负的关系f(x)>0f(x)↗f(x)<0f(x)↘f(x)>0f(x)↗f(x)>0f(x)↗f(x)<0f(x)<0f(x)↘f(x)↘特殊到一般：在某个区间(a,b)内,如果f(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?f(x)=c归纳新知：例1已知导函数f

(x)的下列信息:当1<x<4时,f

(x)>0;当x>4时,或x<1时,f

(x)<0；当x=4,或x=1时,f

(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.新知应用：解当1<x<4时,f

(x)>0,f(x)在此区间内单调递增;当x>4时,或x<1时,f

(x)<0,f(x)在这两区间内单调递减;当x=4,或x=1时,f

(x)=0,这两点为”临界点”.abcOxy函数y=f(x)的图象如图所示，试画出导函数图象的大致形状.xyOabcy=f(x)变式练习例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(1)因为所以，在R上单调递增。即其单调区间为R.(如图所示)oxy例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

当,即时,函数单调递增;解:(2)因为

当,即时,函数单调递减.综上原函数的单调递增区间是：；原函数的单调递增区间是：yox1-2例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(3)因为,所以在内单调递减。因此原函数的单调递减区间是。（如右图所示）oxy令，解得

的单调递增区间是令，解得

的单调递减区间是解:(4)要使有意义，则例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:xy01-12-2（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数方法小结：利用导数求可导函数f(x)的单调区间的步骤：（3）由（或）在定义域内解出相应的x的范围，写出其单调区间。例3如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.如果一个函数在某一个范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”.练习1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:练习2.求证:函数在内是减函数.解:由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.小结导数f

(x)>0导数f

(x)<0单调增函数单调减函数1.函数单调性与导数符号的关系是：2.求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）练习2.讨论二次函数的单调区间.解:由,得,即函数