2022-2023学年广东省东莞市金石中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年广东省东莞市金石中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（）A. B.C. D.参考答案：D【详解】对于A,，三角形只有一解；对于B，，三角形只有一解；对于C，，又a>b,∴角B为小于的锐角，即三角形只有一解；对于D，，又a<b,∴角B为锐角或钝角，即三角形有两解，故选D6.已知，则数列{an}是（

）A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定【答案】A【解析】【分析】通过数列的关系式,判断数列是等差数列,通过公差的符号判断数列的增减性.【详解】因为,得，所以数列是等差数列,且公差是3.所以数列是递增数列.

故选A.【点睛】本题考查数列的函数特征：数列的单调性的判断,属于基础题.2.命题“若A∩B=A，则AB的逆否命题是（

）A．若A∪B≠A，则AB

B．若A∩B≠A，则ABC．若AB，则A∩B≠A

D．若AB，则A∩B≠A参考答案：C略3.能得出平面a∥b时的条件是（

）

A．平面a内有无数条直线平行于平面b；

B．平面a与平面b同平行于一条直线；C．平面a内有两条直线平行于平面b；

D．平面a内有两条相交直线与b平面平行.参考答案：D4.已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长是（A）2

（B）1

（C）

（D）参考答案：A5.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．

B．C．

D．参考答案：B略6.已知，那么下列判断中正确的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略7.设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：C分析：由不等式分离参数可得恰有两个整数解，然后结合函数的图象求解可得实数的取值范围．详解：由，得恰有两个整数解．令，则，由于在上单调递增，且，∴当时，单调递增，当时，单调递减．画出函数的图象如下图所示．结合图象可得，当恰有两个整数解时，需满足，即，∴实数的取值范围是．故选C．点睛：（1）已知函数的零点个数（方程解的个数或不等式解的情况）求参数的取值范围时，一般可借助函数图象的直观性求解，解题时先分离参数得到具体的函数，然后再画出函数的图象，最后结合题意求解．（2）求参数的范围时，要注意不等式端点处的等号能否取得．8.若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围是(

)A.(－∞,－2] B.(－2,+∞) C. D.参考答案：B【分析】求出函数的导数，问题转化为a＞-，而g（x）=﹣在（，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【详解】f′（x）=+2ax，若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，则f′（x）＞0在x∈（，2）有解，故a＞-，而g（x）=﹣在（，2）递增，g（x）＞g（）=﹣2，故a＞﹣2，故选B．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，也考查转化思想以及计算能力．9.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】把本题转化为古典概率来解，他第2次抽到时，盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡，根据古典概率计算公式求得他第2次抽到的是卡口灯泡的概率．【解答】解：在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，这时盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这时，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为=，故选D．10.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为()A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为.参考答案：2.略12.命题“”的否定为______________________________．参考答案： 13.若圆经过坐标原点和点（4，0），且与直线相切，则圆的方程是_________参考答案：略14.用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的染色方法共有_____________种。 参考答案：2415.已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里．参考答案：900【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】因为要求最远，所以3人同去耗食物，即只一人去，另2人中途返回，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的食物返回；甲独自前进18天后返回，甲一共走了30天，他们每天向沙漠深处走30千米，据此解答即可．【解答】解：因为要求最远，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回．则甲有的食物：36﹣12+12+12=48（天）甲再走：（48﹣12）÷2=18（天）30×（12+18）=900公里．故答案为900．16.已知实数满足线性约束条件，则的取值范围是

.参考答案：略17.（5分）已知（i为虚数单位），则复数z的共轭复数是

．参考答案：由，得．所以复数z的共轭复数是﹣1﹣i．故答案为﹣1﹣i．把给出的等式的分母乘到右边，然后采用单项式乘以多项式化简复数z，则z的共轭复数可求．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为()与圆C交于M，N两点，求的面积.参考答案：（1）（2）【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解圆的极坐标方程；（2）由圆的方程，求得圆心的极坐标为，联立方程组，解得交点的极坐标，再利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由圆的方程，可得，又由，代入可得，所以，即圆的极坐标方程为.（2）由圆的方程，可得圆心坐标为，极坐标为，联立方程组，解得交点的极坐标为，所以，所以的面积为.【点睛】本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，其中解答总熟记直角坐标与极坐标的互化公式，以及合理利用利用曲线的极坐标方程和三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.（12分）在正三角形中，分别是边上的点，满足：（如图甲），将沿折成到的位置，使二面角成直二面角，连接（如图乙）。

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离。参考答案：解：（1）设三角形边长为，为边长为的正三角形，，则，又二面角成直二面角平面

（2）设为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示坐标系。

设面的一个法相量为，则有

，令，设面的一个法相量为，则有

，令，

（3）略20.已知圆C：x2+y2=4，直线l：y+x﹣t=0，P为直线l上一动点，O为坐标原点．（1）若直线l交圆C于A、B两点，且∠AOB=，求实数t的值；（2）若t=4，过点P做圆的切线，切点为T，求?的最小值．参考答案：【分析】（1）由∠AOB=，得到圆心到直线l的距离为1，由此求出圆心（0，0）到直线l的距离=1，从而能求出t．（2）?=||?||?cosθ=||2=||2﹣4，求出||的最小值d=2，由此能求出?的最小值．【解答】解：（1）∵圆C：x2+y2=4，直线l：y+x﹣t=0，P为直线l上一动点，O为坐标原点．直线l交圆C于A、B两点，且∠AOB=，∴圆心到直线l的距离为1，即圆心（0，0）到直线l的距离d==1，解得t=．（2）∵t=4，过点P做圆的切线，切点为T，∴?=||?||?cosθ=||2=||2﹣4，∴求?的最小值．等价于求||2﹣4的最小值，∵||的最小值d==2，∴?的最小值为（2）2﹣4=4．21.计算：（1）（2）+．参考答案：【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的代数形式的运算法则化简可得．【解答】解：（1）化简可得==﹣1﹣3i．（2）+=+=+=﹣1．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，属基础题．22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原

点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.

（Ⅰ）求△