2022年湖南省怀化市师范综合中学高三数学文测试题含解析

2022年湖南省怀化市师范综合中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D如图，设正六棱柱的底面边长为，高为，如图所示。在Rt△F1FC中，FC=，F1F=，F1C=6，则，正六棱柱的体积。解法一：（利用导数求最大值）由，得，所以（），，令，得，当时，；当时，，因此当时，取得最大值。故选择D。解法二：（利用不等式定理求最大值）由，得，所以，当且仅当时，即当时，取得最大值。故选择D。解法二利用了三个正数的均值不等式定理的变形结论：（当且仅当正数时取等号）。2.已知集合为A. B. C. D.参考答案：B略3.下列不等式一定成立的是A.B.C.D.参考答案：Ｃ.

此类题目多选用筛选法，对于Ａ当时，两边相等，故Ａ错误；对于Ｂ具有基本不等式的形式，但是不一定大于零，故Ｂ错误；对于Ｃ，，显然成立；对于Ｄ任意都不成立．故选Ｃ．

4.为了配平化学方程式，某人设计了一个如图所示的程序框图，则输出的a、b、c、d满足的一个关系式为A.a＋b－c－d＝2

B.a＋b－c－d＝3C.a＋b－c－d＝4

D.a＋b－c－d＝5参考答案：D5.已知集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B={x|0＜x＜4}，则（?RA）∩B=（）A．（0，3] B．[﹣1，0） C．[﹣1，3] D．（3，4）参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，集合B={x|0＜x＜4}，∴?RA={x|﹣1≤x≤3}，∴（?RA）∩B={x|0＜x≤3}=（0，3]．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题目．6.一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则的最大值为

A．

B．

C．

D．3参考答案：C构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知，即，又，所以，当且仅当时取等号，所以选C.

7.设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（

）A． B． C． D．参考答案：B8.定义在R上的函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+2）=，f（2）=，则f（2010）等于（）A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.对向量＝（a1，a2)，＝（b1，b2）定义一种运算“×”：×＝（a1，a2)×（b1，b2）＝（a1b1，a2b2），已知动点P，Q分别在曲线y＝sinx和y＝f(x)上运动，且＝×＋（其中O为坐标原点），若＝（，3），＝（，0），则y＝f(x)的最大值为（）A、

B、2

C、3

D、参考答案：C10.若实数满足关系式：，则|x|-|y|的最小值为A．2

B．

C．

D．参考答案：【知识点】对数B7【答案解析】B

由题意可得?，即x2-4y2=4，即-y2=1，表示焦点在x轴上的双曲线，曲线关于x轴、y轴、原点都是对称的．由函数的图象的对称性知，只考虑y≥0的情况即可，因为x＞0，所以只须求x-y的最小值．令x-y=u代入x2-4y2=4中，有3y2-2uy+（4-u2）=0，

∵y∈R，∴△≥0，解得u≥．∴当x=y=时，u=，故|x|-|y|的最小值是．故答案为．【思路点拨】由函数的图象的对称性知，只考虑y≥0的情况即可，因为x＞0，所以只须求x-y的最小值．令x-y=u代入x2-4y2=4中，由判别式大于或等于零求出u的最小值，即为所求．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量与的夹角为120°，且，则=．参考答案：2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】对||=两边平方得出关于||的方程，从而可求得||．【解答】解：∵||=，∴﹣2+=19，∵=||2=9，=||||cos120°=﹣||，即9+3||+||2=19，解得||=2．故答案为2．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．12.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=1，，若，，且，则实数的值为

▲

．参考答案：13.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P到点与到点的距离之比为，已知点，则的取值范围为

．参考答案：14.（5分）（2015?泰州一模）函数y=的定义域为．参考答案：[2，+∞）【考点】：函数的定义域及其求法．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．15.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则+++…+=

参考答案：16.已知P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin(α+β)=，则此椭圆的离心率为

．参考答案：17.设数列对都满足，且，则

．参考答案：本题考查等差数列的前项和的计算以及用裂项法求和的方法.因为,且,则,那么,，因此.所以.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。（I）

求a的值，并讨论f（x）的单调性；（II）

证明：当参考答案：解析：（Ⅰ）.有条件知，

，故.

………2分

于是.

故当时，＜0；

当时，＞0.

从而在，单调减少，在单调增加.

………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为.

从而对任意，，有.

………10分

而当时，.

从而

………12分19.（本小题14分）已知菱形所在平面，点、分别为线段、的中点．

（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：∥平面．参考答案：（1）平面，平面，，又是菱形，，又平面，，平面，又平面，．（2）取线段的中点，连结，则∥，且，又∥，且，∥，，四边形是平行四边形，∥，又平面，平面，∥平面．20.在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+2，圆曲线C的普通方程联立消元，令判别式等于0求出k，得出直角坐标方程，再转化为极坐标方程；（2）求出N到圆心的距离，即可得出最值．【解答】解：（1）M的直角坐标为（2，2），曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=4．设直线l的方程为y=k（x﹣2）+2，联立方程组得（1+k2）x2+（4k﹣4k2﹣2）x+4k2﹣8k+1=0，∵直线l与曲线C相切，∴（4k﹣4k2﹣2）2﹣4（1+k2）（4k2﹣8k+1）=0，解得k=0或k=﹣．∴直线l的方程为y=2或y=﹣（x﹣2）+2，即4x+3y﹣8=0，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=2或4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0．（2）点N的坐标为N（﹣2，2），C（1，0）．CN==，圆C的半径为2．∴曲线C上的点到点N的距离最大值为+2，最小值为﹣2．曲线C上的点到点N的距离的取值范围是[﹣2，+2]．21.已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若当x∈[0，1]时，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0，求解绝对值的不等式，进一步分类求解含参数的不等式得答案；（2）把不等式f（x）≥1恒成立转化为|ax﹣2|≤3，记g（x）=|ax﹣2|，可得，求解不等式组得答案．【解答】解：（1）要使原函数有意义，则|ax﹣2|≤4，即﹣4≤ax﹣2≤4，得﹣2≤ax≤6，当a＞0时，解得，函数f（x）的