2022-2023学年山东省烟台市莱州玉皇中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年山东省烟台市莱州玉皇中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2015?兰山区校级二模）如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）A．B．20πC．D．28π参考答案：B【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：由三视图知几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．解：由三视图知几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×2=12π∴空间组合体的表面积是8π+12π=20π，故选B【点评】：本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的表面积，本题解题的关键是看出图形是一个组合体，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端，本题是一个基础题．2.（

）A.-6

B.

C.6

D.参考答案：A3.设复数z满足，则|z|＝A．1

B．

C．3

D．参考答案：D4.的展开式中常数项为A.－30 B.30 C.－25 D.25参考答案：C的展开式中常数项为，答案选C.5.（5分）（2015?嘉峪关校级三模）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π参考答案：C【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．【点评】：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．6.函数的图象A．关于原点对称

B．关于直线对称

C．关于轴对称

D．关于轴对称参考答案：D略7.已知在R上是奇函数，且.(

)

A.-2

B.2

C.-98

D.98参考答案：A由，得，所以函数的周期是4.所以，选A.8.设向量满足，则=（）A．2 B． C．3 D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可以得到，这样代入即可求出的值，从而得出的值．【解答】解：===16﹣4=12；∴．故选：B．9.已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与抛物线x2=8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x

B．y=±x

C．y=±x

D．y=±3x参考答案：A【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（0，2），可得关于m的方程，求出m，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线x2=8y的焦点为（0，2），∴双曲线的一个焦点为（0，2），∴+1=4，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．10.已知与是共轭虚数，有4个命题①；②；③；④，一定正确的是（

）A．①②

B．②③

C．②③

D．①②③参考答案：D设故，①正确；，故②正确；，故③正确；此时不成立，故④不正确.故答案为：D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.点P是圆（x+3）2+（y﹣1）2=2上的动点，点Q（2，2），O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值，即可求出△OPQ面积的最小值．【解答】解：因为圆（x+3）2+（y﹣1）2=2，直线OQ的方程为y=x，所以圆心（﹣3，1）到直线OQ的距离为，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为，所以△OPQ面积的最小值为．故答案为2．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．12.若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点处于第

▲

象限.参考答案：一，，复数对应的点为，位于第一象限.故答案为：一.

13.已知各项均为正数的数列满足，Sn为数列的前n项和，若对于任意的，不等式恒成立，则实数k的取值范围为___参考答案：k≥3/8考查构造数列因此，故是首项为3、公比为1/2的等比数列因此，故目标函数可化简为，分离变量，恒成立问题转为函数最值问题因此取函数的最大值求导得解得，正整数n取可取2或3，14.如右图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径

．参考答案：4因为根据已知条件可知，连接AC，，，根据切线定理可知,,可以解得为4.15.在△ABC中，已知，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③；④若，则△ABC的面积是.其中正确结论的序号是_______参考答案：②③【分析】根据正弦定理及三角形面积公式，余弦定理，逐一分析选项即可.【详解】因为(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，设，可解得，对于①，边长不确定，所以①错误，对于②由余弦定理，可知A为钝角，△ABC一定是钝角三角形，所以②正确，对于③由正弦定理知,③正确，对于④由，又,,故④错误.【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，三角形面积公式求面积，属于中档题.16.已知函数，若，则实数的取值范围是

．参考答案：17.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为_________参考答案：【知识点】余弦定理．C8【答案解析】解析：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==×≥．故答案为：．【思路点拨】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆点，离心率为，左右焦点分别为（I）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.参考答案：

（1）

（2）

（1）（2）19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2?cos（A+B）sin（A﹣B）．求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．（Ⅱ）由sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=sin2A﹣sin2B，即cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2?cos（A+B）sin（A﹣B）．∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．由正弦定理可得，=，即=，∴a=．∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，∴△ABC的面积为=×=．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线交x轴于点H，过H作直线l交抛物线于A，B两点，且|BF|=2|AF|．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若△ABF的面积为，求抛物线的方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，易知AF=AA1，BF=BB1，求出A，H的坐标，即可求直线AB的斜率；（Ⅱ）若△ABF的面积为，可得，即可求抛物线的方程．【解答】解：（Ⅰ）过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，易知AF=AA1，BF=BB1，∵|BF|=2|AF|，∴|BB1|=2|AA1|，∴A为HB的中点，又O是HF的中点，∴AO是△BHF的中位线，∴，而，∴，∴，，∴，而∴；

…（Ⅱ）∵A为HB的中点，O是HF的中点，∴，∴，∴p=2，∴抛物线的方程为y2=4x．

…21.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F1恰是QF2的中点．若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l1：y=x+2与椭圆C交于G、H两点．在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0），由已知得过A、Q、F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径2c=a，=2c，由此能求出椭圆的方程．（2）将直线l1：y=x+2代入，得7x2+16x+4=0，由此利用韦达定理能求出GH的中点M，再由菱形的对角线互相垂直平分能求出存在满足题意的点P，且能求出m的值．【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0），∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F1恰是QF2的中点，过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，∴过A、Q、F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径2c=a，又∵该项圆与直线l相切，∴=2c，解得c=1，∴a2=4，b2=3，∴所求椭圆的方程为．（2）将直线l1：y=x+2代入，得7x2+16x+4=0，设G（x1，y1），H（x2，y2），则，，∴，∴GH的中点M（﹣），∵菱形的对角线互相垂直平分，∴kPA?kPB=﹣1，∴，解得m=﹣，∴存在满足题意的点P，且m的值为﹣．22.已知函数（Ⅰ）若f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，求k的取值范围；（Ⅱ）当x＞0时，f（x）＜ln（x+1）恒成立，求整数k的最大值．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）若f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，转化为f′（x）≥0恒成立，即可求k的取值范围；（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：（I）因为在（﹣1，+∞）上恒成立，所以k≥﹣1．又当k=﹣1时，f（x）是常函数，所以k＞﹣1．…（II）设则（i）当k≤0时，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上是减函数，所以，g（x）＜g（0）=﹣1＜0，不等式f（x）＜ln（x+1）