2021届西南名校联盟高考数学诊断性试卷(理科)(三)(5月份)(含答案解析)

2021届西南名校联盟高考数学诊断性试卷(理科)(三)(5月份)

单选题(本大题共12小题，共36.0分)

1.若集合4={-1,0,1},B={y\y-x2,xGA},则/n8=()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{0,-1}

2.已知复数z=2-i,若i为虚数单位，则?=()

A.|+：iB,：+|iC.l+；iD.J+i

3.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“都是红球”

C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

4.在半径为H的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是()/"

*S

9

B这R3

97T

CR3

7T

43

-R

97T

5.己知平面向量方，方的夹角为学，且|方|=2,a-K=-1，则|另|=()

A.夜B.1C.立D.

322

6.在感魂匐内，内角四赢般的对边分别是礴孰芹，若黯!一,攀=后啮，蠹篇=条伤幽淤则

4=()

A.W»B.0OPC.1WD.

7.如果f(x)=ax3+bx2+C(Q>0)导函数图象的顶点坐标为(1,一百)，那么曲线y=/'(%)上任一

点的切线的倾斜角a的取值范围是()

A.[y,y]B.[05]U年㈤

C.[()q)U白勺D.[0,§U音㈤

8.设等比数列鼠加勺前砥项和是，鬼，若善=%则誓=（）

沟然

A.SB.-C.-D.3

9.已知a,尸2为双曲线捺一，=1（«>O.b>0）的左、右焦点，以a尸2为直径的圆与双曲线右支的

一个交点为P,Pa与双曲线相交于点。，且|PQ|=3IQFJ,则该双曲线的离心率为（）

A邈B.堡C.|D.在

3322

10.9.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两

瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率

1111

A.—B.—C.—D.—

10745

11.若函数/（X）=2s讥3双3>0）的图象在（0,2兀）上恰有一个极大值和一个极小值，则3的取值范围

是（）

A.（|4B.（沾C.（然］D.（|勺

12.在^ABC中，a,b,c分别为角A,B,C对应的边，cosBcosC=1-，asinA—bsinB=V2csinB4-

csinC,△ABC的面积为1,则a=（）

A.V5B.叵C.V10D.在

22

二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）

66522

13.若（x-I）=a6x+a5xH--Fa2x+arx+a0,则函数/（x）=a2x+arx+劭的增函数区间

为.

14.已知3,t>0,函数/（x）=|百Sin3』的最小正周期为2兀，将〃久）的图象向左平移，个单位，

11COSCOX1

所得图象对应的函数为偶函数，则r的最小值为.

15.用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是.

16.圆吸（需一般时跳球=髯，过点貉商的直线看与圆相交于.燃豫两点，心璃=颤:，则直

线费的方程是

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17.已知等差数列｛即｝的各项均为正数，.在a】=1,且a3,。4+/成等比数列,

（1）求斯的通项公式

(2)设bn=求｛bj的前〃项.

18.如图，半圆。的直径AB长为4,C是半圆。上除A,8外的一

个动点，OC垂直于半圆0所在的平面，DC//EB,DC=EB,

sinZ-EAB=—.

17

(1)证明：平面BCDE_L平面4CD

(2)当NC4B=45。，求二面角。-AE-B的余弦值？

19.某地最近十年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据

第X年12345

需求量(万吨)36578

(1)利用所给数据求两变量之间的回归方程

(2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地第6年的粮食需求量

附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，=弋弋l零,^=y-bx-

20.已知椭圆C：.+卷=l(a>b>0)的焦距为2且过点(1,小

(1)求椭圆C的方程：

(2)设过椭圆顶点B(0,b),斜率为左的直线交椭圆于另一点D,交x轴于点E,且田叫，|BE|,|DE|成

等比数列，求1的值.

21.已知函数戴端l=M窸.竹d-炉麓您IDIt

就r，

⑴当域时，如果函数辔隹逾-&仅有一个零点，求实数辙的取值范围.

(2)当*您时,比较瘴礴与1的大小.

(3)求证：朴…北一1-海电口个

v、.翼若7输:*:r»

22.已知直线〃的极坐标是pcos(。+9=4鱼，圆A的参数方程是

[IT甯:惠(皖参数)

(1)将直线n的极坐标方程化为普通方程；

(2)求圆A上的点到直线〃上点距离的最小值.

23.已知函数/(x)=|x+a|++

(I)当a=3时,求不等式f(x)>4的解集;

(E)证明：/(2m)+/(-^)>4V2.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：把A中％=-1,0,1代入8中得：y=0,1,即8={0,1},

则4CB=[0,1},

故选：C.

把4中元素代入B中解析式求出)，的值，确定出8,找出两集合的交集即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.答案：B

解析：解：由复数z=2—i,

匚匚1+i(l+i)(2+i)l+3i1,3.

所以三=a=-^r-=-T=g+gL

故选：B.

根据复数的代数形式运算法则，计算即可.

本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题.

3.答案：D

解析：

本题考查互斥事件与对立事件.首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事

件的联系与区别.同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件.属筒单题.

解：互斥事件指的是在一次试验中不能同时发生的两个事件，

对立事件是不能同时发生且必然有一个发生的两个事件.

两个事件互斥，不一定对立，

但是两个事件对立则必互斥，

“至少有一个黑球”与“都是黑球”不互斥，故A错；

“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不互斥，故C错；

“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故8错;

“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”互斥不对立，故。正确.

故选D

4.答案：A

解析：

本题给出半球，求其内接圆柱的体积最大值，着重考查了球内接多面体、圆柱体积公式和利用导数

研究函数的最值等知识，属于中档题.

设这个圆柱的高为儿可得这个圆柱的体积VuTTj/+RZh）利用导数研究函数的单调性，得V在

（0片R）上是增函数，在谭R,R）上是减函数，由此可得当无=生时，圆柱的体积的最大值是不兀R3.

解：设这个圆柱的高为/7,底面半径为r,可得：

h2+r2=R2,所以丁=、R2-九2,

・•.这个圆柱的体积1/=nr2h=TT（—公+R2九），

V=zr（-3h2+R2）=-3Mh+亨R）（九一4R），

V'>0,得0<九<@/?；V<0,得/?>h>*—/?,

33

1/在（0,乎R）上是增函数，在谭R,R）上是减函数，

因此，当日=立/?时，圆柱的体积的最大值，

3

Vmax=*鸟幻3+R2X,R]=雪7TR3.

故选：A.

5.答案：B

解析：解：•••平面向量落石的夹角为拳且|五1=2,a-b=-l，

—T-T27rliT

Aa-h=-1=|a||6|cos—=--x2|6|=-\b\

则出I=1

根据向量数量积的应用进行求解即可.

本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的定义建立方程关系是解决本题的关键.比较基

础.

6.答案：A

解析：试题分析：因为赢.0=,厩gfe图，所以由正弦定理得c=£^b,所以由余弦定理得：

，娥将炉一蓊二妒书/7潦转8磷_一避融_窜:一&_既岳一熠—有坨

W；W；W；激I嚣S.

W»,选A。

考点：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用

点评：中档题，三角形中求角问题，一般考虑求角的余弦值，因为余弦函数在（0,兀）是单调函数，因

此，要注意将COSA用边表示。

7.答案：D

解析：分析】

本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图像求倾斜角，本题属于中档题.

由二次函数的图象可知最小值为-6，再根据导数的几何意义可知k=tana2-8，结合正切函数

的图象求出角a的范围.

解：根据题意得f'（x）

则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tana>—V3

结合正切函数的图象，

由图可得ae[0（）u[g,兀）,

故选O.

8.答案：B

解析：试题分析：等比数列中窿魂-黑黑-黑成等比数列，设黑="；“鼠=紫温-禺=巽

二墨/=4

考点：等比数列性质

点评：等比数列性喊的前〃项和为鬼，则有冤禹「留犷黑％成等比数列

9.答案：8

解析：解：•.•点P是以吊尸2为直径的圆与C右支的一个交点

:•4RPF2为直角,\,-----、/

设IQF/=M，则|PQ|=3m,

r>JC

又尸1尸21=2c,\j9("yF2

则IPF2I=V4c2-167n2,\PF1\—|PF2|=4m—\/\/

74c2—16m2=2a，①

又IQ尸2I=J|P&|2+|PQ『=V4c2-7m2,

・•,IQF2ITQFi|=74c2-77n2-M=2a,②，

联立①②可得，5m—74c2—167n2=74c2—7m2,可得116血2=25c2,

则m2=^c2,代入②式得，J4c2一篝c2一备C=2a,

175

•.•海c-漏C=Q2a,

・••双曲线的离心率为e=£=变.

a3

故选：B.

根据|PQ|=3|QF/,以及圆的性质，结合直角三角形的性质，建立三角形的边角关系，利用双曲线

的定义得到关于a,c的方程进行求解即可.

本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的边角关系建立方程组，求出a,c的关系是解

决本题的关键，综合性较强，运算量较大.

io.答案:c

解析：解析：

试题分析：设源=｛其中一瓶是蓝色.感=［另一瓶也是蓝色『则线则硼=：.

考点：条件概率

11.答案：B

解析：

根据函数/(%)=2s讥3X(3>0)的图象在(0,2兀)恰有一个极大值和一个极小值，可得<27r<|r,

结合周期的求法，即可得到结论.

本题考查三角函数图象的性质，考查周期的求法，考查学生的计算能力，属于基础题.

解：•.・函数/(X)=2sina)x{a)>0)的图象在(0,2江)恰有一个极大值和一个极小值，

..3-T<2n<-5T.

44

32zr_rJ52几

，----<Z7T<----------,

4a)4o)

：・一3<,347一5.

44

故选：B.

12.答案:C

解析：解：由正弦定理得a?—炉=近几+C?,

由余弦定理得cos4=-立，所以A=：兀，

所以cos(8+C)=—cosA=^~=cosBcosC-sinBsinC，

所以sinBsiziC=立,

10

△4BC的面积S=-absinC=---^—sinBsinC=—=1,

22stnA10

所以a=VTO,

故选：C.

根据正弦定理和余弦定理求出A的值，再根据三角形的面积公式得到关于。的方程，解出即可.

本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形面积公式以及两角和的余弦公式，是中档题.

13.答案：@,+8)

222

解析：解：由题意可得函数/(无)=a2x+atx+a0=%-Cfx+=15x-6x+1,

显然函数f(x)为二次函数，图象的对称轴方程为％=今

故函数f(%)的增区间为6,+8),

故答案为：(g+8).

由题意可得函数/。)=15/-6%+1,显然函数f(x)为二次函数，且图象的对称轴方程为％=也

由此可得函数/(%)的增区间.

本题主要考查二项式定理，求展开式中某项的系数，二次函数的性质，属于中档题.

14.答案：?

6

解析：解：/(%)=I®i-inwxl_遍cosax—sin(i)x=-2sin((ox-

11cosa)x>3

f(x)的最小正周期为2兀，.•・§=2兀，得3=1.

将/(x)的图象向左平移，个单位，得/'(x+t)=-2sin(x+t-》

•••函数f(x+t)为偶函数，

-.t-^=^+kn,则"詈+eZ.

取k=0时，，的最小值为好

O

故答案为：詈.

由题意得到函数解析式，利用辅助角公式化积后结合周期求得3,再由函数图象的平移求得平移后

的函数解析式，结合平移后的函数为偶函数求出f的取值集合得答案.

本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象平移，训练了函数奇偶性的求法，是

中档题.

15.答案：51

解析：解：辗转相除法：•••459=357X1+102,357=102x3+51,102=51x2

故459和357的最大公约数是51,

故答案为：51.

根据辗转相除法：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到

的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数.

本题考查的知识点是辗转相除法，熟练掌握辗转相除法求最大公约数的方法和步骤是解答本题的关

键.

16.答案：或=想i撼寓一蚓承-面=®

解析：试题分析：◎：(雷-球班胖#球=晦半径为垂，因为，过点貉用的直线S1与圆相交于星海

两点，心璃=颤甘，所以，圆心c到直线/距离为1,x=是所求直线之一；设L的另一方程为

他一述一趣需暮一欧I

承*一兽二僦式一卷匕即，延:一展"兽一徽二顾，由=3,得低=上所以,

退事一期源一端=1配综上知，直线费的方程是需=碱雅阳一蚓第一面=力。

考点：直线方程，直线与圆的位置关系。

点评：中档题，本题易错，忽视直线的斜率不存在的情况。利用数形结合法，形象直观，易于理解。

注意分类讨论，避免漏解。

17.答案：解：（1）设等差数列公差为d,由题意知，d>0,

因为。3，。4+/%1成等比数列，

所以（。4+1）2=•an.......................（2分）

所以G+3dA=（1+2d）-（1+10d）-----------------（3分）

即44d2-36d-45=0.所以d=I，（d=一||舍去）-------（5分）

⑵册=十，；・%==（3n_1）（3n+2）=式川一会）......（8分）

所以｛%｝的前〃项和：

T4,11.11,.11、2n

=-（----------1-----------1-…H----------------------）=--------（12分）

713、25583n-l3n+273n+2

解析：（1）设等差数列公差为d，由题意知，d>0,由。3，。4+|，%1成等比数列，求出d=|,由此

能求出斯=节二.

（2）求出“=就二=（3…篙+2）=其右一表），由此利用裂项求和法能求出也｝的前〃项和•

本题考查数列的通项公式、前〃项和的求法，考查等差数列、等比数列、裂项求和法等基础知识，

考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.

18.答案：解：（I）证明：因为半圆。的直径为AB,所以BCJ.AC,

因为CDJ_平面ABC,所以COJ.BC,

因为CDnAC=C,所以BC,平面AC。，

因为BCu平面BCDE,所以平面BCDEJL平面ACD.

（H）解：因为sin/E4B=^，所以了翼弓=巨，

17y/42+EB217

解得EB=1,所以CD=EB=1,

因为ZZ71B=45。，所以4C=BC=2a,

以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，C。为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,1),£(0,272,1)-4(2夜,0,0),8(0,2/,0),

所以四=(-2V2,2V2,0),F£=(0,0,1),OE=(0,2夜,0),方=(272,0,-1).

设平面D4E的法向量为方=

fn7,DE=0,af2V2yi=0„r,«xe__,,l、

则由，一二得16n,取与=1，得%=(1,0,2&)，

1%•DA=0(2y2x1—zx=0

设平面48E的法向量为底=(%2，为h2)，

则由西四二°，得『式+2板0＞

取％2=1，则病=(1/，0)

则cos＜席可＞=蒿工=T"

因为＜诟，而＞与二面角。-AE-B的平面角互补，

因此二面角。一4E-B的余弦值为一立.

6

解析：（1）由圆的性质得8。14。，由线面垂直得CD1BC,从而平面ACC,由此能证明平面

BCDEJL平面ACD.

（口）由sin/EAB=。得EB=1,CD=EB=1,以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z

轴，建立空间直角坐标系，求出平面D4E的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二

面角O-4E-8的余弦值.

本小题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理

论证能力及运算求解能力，属于中档题.

19.答案:解:（1）由所给数据，元=3,9=5.8,

01x3+2x64-3x5+4x7+5x8-5x3x5.8一.

b=-------------------；-----=1.1»

1+4+9+16+25-5x32

A_A_

a=y—bx=5.8—3x1.1=2.5,

・•・线性回归方程是£=1.1X—2.5；

(2)可预测第6年的粮食需求量为，=1,1x6+2.5=9.1万吨).

解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，做出平均数，利用最小二乘法做

出4a,写出线性回归方程.

(2)把所给的x的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果.

本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查回归方程的意义和求法，考查数据处理的基本方

法和能力，考查利用统计思想解决实际问题的能力.

20.答案：解：(1)由已知2c=2百，即有c=V5，

代入点(1,日)，可得

2+2=1,Xa2—b2=3,

a24b2

解得Q=2,b=1,

2

则有椭圆的方程为菅+y2=i.

(2)由(1)得过8点的直线为y=kx+1,

2

由代入椭圆方程，得(41+1)%+8kx=0,

[7|||8fc1—4/c?

则Xu。=--l-+-4k727，)VnD=-1-+--4-上27，

依题意k。0,/c。±|.

因为|80，|8E|,|DE|成等比数列，所以

所以炉=(1-yo)|yo|,即(1一加)|加|=1，

当、D>0时，羽一Vo+1=0，无解，

当<0时，yB-1=0,解得y。=与鸟

所以上把|二上渔，解得左2=社渔，

l+4k224

所以，当|BC|,|BE|,|DE|成等比数列时，k2=—.

4

解析：(1)由已知12c=2b，代入点(1,当)，结合/=。2-。2即可求a,b,进而可求椭圆方程；

(2)由(1)得过B点的直线为y=kx+1,联立直线、=kx+1与椭圆方程可求。的坐标，及k的取值

范围，由|BD|,|BE|,|DE|成等比,可得即(1-切)|%?|=1，解方程即可得到.

本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，及等比数列的应用,

属于综合试题.

21.答案：⑴鳏-如国棍砥金怦彳斗M甥।

(2)①当富情力时，翎微H，寓须=1期，即负豫

②当岫，0,，《：：!时,麻礴，《：叫二吹即舞磁“：二1；

③当察=工时，微磁=趣霞=1鼠即舞磁=口

(3)利用(2)的结论或数学归纳法证明

喇唧

解析：试题分析：(1)当磔=艺时，,敢礴=如需昔—r，定义域是引出礴，1分

覆乳紧阴舟

浮端=1_§=锻富-琬T

L一军警解:京姨一露羯片璟,

令.旌题I=叁，得冢=，或窠:=寓.2分

V当fflY需Y-或G霞时，¥弋磁>期，当一Y需Y3时，,算嗡磁Y,

二函数舞感在勰3、修肃礴上单调递增，在缴上单调递减.

4分

,二婕磁的极大值是济&=曾-M雪，极小值是筋像=?普如家

1"当客,T•普胞时，礴:当而T陋时，£&礴-T闽，

二当修黑磁仅有一个零点时，辙刖津-M晦或取<二年遍乳

誓

••赢的取值范围是族-瞬,富存施九；*三樗觥意；5分

■,'‘一\2/

(2)当谢=喝时，趣燔=如显书上;，定义域为辆,拈礴.

令粽磁=■电磁一1=刎潦开工77-31,

制得1

,..,flKfV小・M

'工烟&硒=—

侬书:F<^：F

二题:礴在刎出礴上是增函数•7分

渤既=(@

①当窠：w工时，颍f礴法颍重=阚，即¥(砥*3.；

②当岫YQ«：：1时,昆延磁•《：撤建=1配即舞曝《：?；

③当•黎=R时，颍微=趣重=鼠即［躅礴=*9分

般一？

(3)(法一)根据(2)的结论，当需不1时，1®Kt——->1>即％需泄

令说•=%?,则有％如旦净_2_,

12分

以IK-411111

*昨&M*皿铲/…扁14分

(法二)①当为=?时，豳辎出:旗=如既.

鼬<骂=蝙感冷3：Jfe乳芹二，即聪=：!时命题成立.io分

署

②假设聪=盘时，命题成立，即3H然样惠挣：丑:笄…”年一7、.

3j3篝/tta

则当/=盛况1时,

械触小砥=><样期=)H隅帮禽外如—>力普士斗…存」一小M—.

作步票.蛋.开口

甥■.«;—1

根据(2)的结论，当需加工时，如,£；普——->3,即曲支:演二三.

n"七M急#翦

令需=则有M-------

InM

则有械衰笄缈冲即阳=低开：!时命题也成立