2021届高考数学考前20天终极冲刺模拟卷 含答案（十六）

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（16）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

I.已知集合尸={x|f—5x-6,,0},Q={x|3*..l},则户「|。二()

A.｛划一掇此0）B.{幻啜k1}C.{xim6}D.{x|-6M0)

设Z弋”为虚数单位）

2.，则IZ1=()

AB.C.1D.72

-?2

3.疫情期间，课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时

间（小时）进行统计，服从正态分布N（9,『），则100名同学中，每天学习时间超过10

小时的人数为（）（四舍五入保留整数）

参考数据：尸(〃一b<z„〃+b)=o.6827尸(〃一2。<Z,,〃+2。)=0.9545,

P(〃-3bvZ„〃+3cr)=0.9973.

A.15B.16C.31D.32

41

4.己知sin(6+上)=—,则sin(26+3)=()

636

5

ABC.D

-?-49-1

5.将面积为4的矩形ABCD沿对角线3。折起，使二面角A-的大小为a0＜。＜乃），

则三棱锥外接球的体积的最小值为（）

8信44

[\(-------B.

3T

「32乃

C.-----D.与e的大小有关

3

6.用红、黄、蓝三种颜色给图中的A、B、C、。四个小方格涂色，使相邻小方格（有公

则不同的涂色方案种数为（）

18种D.24种

7.设功用分别为双曲线〜记

=1（々＞0,〃＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过”的

直线与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,且满足*OF\+OB=2OA,

则该双曲线的离心率为()

A.&B.V?C.2D.2夜

8.定义在R上的偶函数/(x)满足f(2-x)=f(2+x),且当xe[O,2]时，

\ex~\0致k1

/«=,:双：，若关于x的不等式机|x|,J(x)的整数解有且仅有9个，则实数机

[r-4x+4,1<x„2

的取值范围为()

,e-\e-L-^-le-L-e-le-L一^-le-L

A.(---,---]B.r[----,---]C.z(---,---]D.r[---,---]

75759797

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得。分。

9.己知则下列结论一定正确的是()

ab

A.cc<b~B.—i—>2C.Iga->IgabD.|aa

ab

10.己知函数/(x)=3sin2x+4cos2x,g(x)=/(x)+1/(x)|.若存在/eR,使得对任意

XGR,/(X)../(X0),则()

A.任意xeR,f{x+x0')=f(x-xa)

B.任意xeR,f(x)„f(x0+^)

c.存在e>o,使得g。)在(%,玉+e)上有且仅有2个零点

D.存在。>-葛，使得g。)在(％-蒋，玉+。)上单调递减

11.已知棱长为1的正方体ABCD-AMGA，过对角线8Q作平面a交棱A4,于点£,交

棱CG于点尸，以下结论正确的是()

A.四边形8尸RE不一定是平行四边形

B.平面&分正方体所得两部分的体积相等

C.平面。与平面片可以垂直

D.四边形3FRE面积的最大值为友

12.直线/：y=Z(x+^)(p>0)与抛物线C：V=2px有公共点M,N(M,N可以重合)，F

是抛物线C的焦点，直线/与x轴交于点P.下列结论成立的是()

A.|MN|=+1\\FM\-\FN||

B.若|FM|=4,\FN\=2,则抛物线C的方程是丁=与工

C.当〃，N重合时，APMF内切圆的面积为TTP?

D.点F到直线/的最大距离为—p

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若〃eZ,且3和：6,则(x+二)"的展开式中的常数项为一.

14.已知1=(-1,-2),5=(4,-2),修1=2b，(a+d),5=—10,则5与？的夹角。的余弦值

为—.

r

15.己知数列｛4｝满足+neN,数列｛““｝的通项为—.

〃+「he

16.在AA8C中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,且--=cosB+cosC,——=8,

asinA

则AABC的周长最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

jr

17.AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,Z?sinA=acos(B--).

6

(1)求3；

(2)若。是AA8C的外接圆的劣弧AC上一点，且a=3,c=4,45=1,求CD.

18.已知数列｛a“｝中4=1,%=3,且满足a,*+3%,=4%+|,设8“=%-4,n^N*•

(I)求数列｛2｝的通项公式；

(H)记q,=log3(a“+d),数列｛%｝的前〃和为S,,求之.

19.如图1,在RtAABC中，ZC=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中

点，将A4DE沿QE折起到△A£)E的位置，使AC=4D,如图2.

(I)求证：DEYA.C.

(II)求点C到平面A8E的距离.

20.1616年4月23日，塞万提斯与莎士比亚辞世，4月23日也和其它一些伟大作者的生卒

有关.于是，以4月23日向书籍及其作者致以世界范围的敬意，自然成了联合国大会的选

择.1995年，联合国教科文组织定4月23日为世界图书与版权日(或世界书籍与版权日)，

汉译另有世界读书日、世界阅读日、世界书香日诸种2014年起，“全民阅读”己经连续4

年写入政府工作报告，在今年的政府工作报告中，“倡导全民阅读”的提法更是升级为“大

力推动全民阅读”，全民阅读已经成为了国家战略.为调查全校学生的课外阅读情况，教务

处随机调查了100名学生(男生60人，女生40人)，统计了他们的课外阅读达标情况(一

个学期中课外阅读是否达到规定时间)，结果如表：

是否达标不达标达标

性别

男生3624

女生1030

(1)是否有99%的把握认为课外阅读是否达标与性别有关?

“n(ad-bc)2

I'J•z\—

(«+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K，k）0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

(2)如果把这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别当作全校男生和女生

课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立.现随机抽取3个学生(2男1

女)，用X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望.

21.已知直线/：y=履+〃依<。）与椭圆G：—+y2=i交于A,3两点，且线段他的中点尸

恰好在抛物线上.

ok

（I）若抛物线C,的焦点坐标为（L，0）,求女的值；

64

（H）若过点尸的直线/'与抛物线C?的另一交点为。，且求AQAB面积的取值范围.

22.己知函数/,&）=5一。+1）/"（犬+1）.

（1）证明：（0,也）上，/（x）有唯一的极小值点％,且2<%<3；

（2）讨论函数f（x）零点个数.

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（16）答案

1.解：集合尸={回/一5x-磁0}={x|-l*6},

Q={x\yf^}={x\x0},

pp|2={xim6}.

故选：C.

2.解：由2=黑

得⑶端咛等

故选：B.

3.解：P(Z>10)=-x(1-0.6827)=0.15865,

2

故所求人数为100x0.15865*16.

故选：B.

-jr1jr■jr11

4.解：,/sin(^+—)=-,则sin(2^+—)=cos(2^+y)=l-2sin2(^+—)=l-2x—=—,

故选：A.

5.解：设矩形ABC。边长为。，b,可得ab=4,矩形ABC。的对角线相互平方且相等，

⑷折叠后，球心在对角线交点上，且球的半径是对角线的一半，即/?=虫亚,

2

那么4芯=.2+廿..2,必(当且仅当a=匕时取等号)，

R..近,

.•・三棱锥A-3co外接球的体积V=…号叵.

33

故选：A.

6.解：根据题意，对于A方格，有3种选择，

对于8、C、。方格，

若B、C方格颜的色相同，有2种选择，。方程格2种选择，此时有2x2=4种涂色方案，

若B、C方格的颜色不同，有用=2种选择，力方格有1种选择，此时有2x1=4种涂色方

案，

则8、C、O方格有4+2=6种涂色方法，

则有3x6=18种不同的涂色方案；

故选：C.

7.解：由|0豆|=|历OFX+OB=2OA,

可得ABO耳为等腰三角形，且A为底边8耳的中点，

由耳(GO)到渐近线y=±-x的距离为d==b,

由OA_L8/"可得|OA|=A?-从=a,

由ZAOF.=NAOB=NBOF,=60°,可得cos60°=/立=-,

\OF}|c

可得e=£=2.

a

故选：C.

8.解：因为定义在R上的偶函数满足/(2-x)=f(2+x),八―x)=f(x),

所以f(2+x)=/(-2-x)=f(-x+2),所以〃x+4)=f(x),所以函数的周期为4,

函数的图象如图：令数x)=%|x|,

将g(x)的图象绕坐标原点旋转可得。,,即，"€(彳，—

[9ni>e-l97

故选：C.

工左表w

-10-9-4-7-6-5-4-)-2-1234$67g9101

9.解：因为则有。<”0,

ah

对于A,因为bvavO,所以"〈片，故选项A正确；

对于因为0va<0,所以2>0,f>0且2工£,故2+:>2、陌=2,故选项B正确；

ababab\ab

对于C,因为b<a<0,所以a?<ab，故Iga*<Ig(ab),故选项C错误；

对于。，因为与1的大小关系不确定，故函数)，=|。「的单调性不确定，故「'与『的

大小不确定，故选项。错误.

故选：AB.

3

10.解：函数J(x)=3sin2x+4cos2x=5sin(2x+e),其中9为锐角，且cose=《，

由题意，X。是/(X)的最小值点，所以/(X)关于X=X.对称，所以

/(X-Ao)H/(-X+与)=/(X+Xo),故A错误；

因为/(X)的最小正周期7=,=万，所以为最大值，所以任意xeR,

/(X),,/(x0+万),故3正确；

因为/(%)<0，且/(%+9)=0,在(％,%+£)中，/(犬)<0,此时g(x)恒为0,

故不存在，>0,使得g(x)在(%,%+。)上有且仅有2个零点，故C错误；

取。=-?,则在每一二，毛+。)内，/(X)单调递减，且/(x)>0,所以g(x)=2/(x)单

调递减，故D正确.

故选：BD.

11.解：如图所示:

对于A,因为平面AB4A〃平面CCQ£),平面3FREC平面ABKA=BE,平面

平面

3FRECCCRD=DtF,

所以BE//RE,同理可证RE//3尸，所以四边形BFRE是平行四边形，故力不正确；

对于8,由正方体的对称性可知，平面口分正方体所得两部分的体积相等，故B正确；

对于C,当E、尸为棱中点时，所_1平面B8Q,又因为EFu平面5fRE,

所以平面BFREL平面B8Q,故C正确；

对于D,平行四边形BED、F的面积取最大值时，即三角形EBD、的面积取得最大值，

因为这个三角形的面积的两倍是该平行四边形的面积.

而8R位置固定，只需点£到82的距离最大，即可取得面积的最大值，

当点尸与A重合时，点尸与G重合时，四边形8尸。E面积的最大，且最大值为值为

72x1=72.故。正确.

故选：BCD.

.解：对于设%),则||玉—

12A,M(X1,X),N(x?,FM\—\FN||=|(x(+$—+§HWI,

22故正确；

|MN|=yj\+k|x,-x21=yj]+k||FM|-1F/V||,A

对于8,由A知，％=4-4，电=2—

2■2

=攵,

••X4y2—2k,

(4k)2=2p(4-与於丫=2M2一5,解得°=|,

，抛物线C的方程是故8正确；

对于C,当M,N重合时，直线/和抛物线。相切于点M(5,p)或M(5,-p),是腰

为夕的等腰直角三角形，

它的内切圆半径为(1-弓)P，内切圆面积不等于乃P0故C不正确；

对于由C知3最大值为1,点F(£0)到直线l:y=k(x+^)的距离

d==P6

炉i卜一丁，当公=1时，〃取得最大值注0,故。正确.

VI72

故选：ABD.

13.解：•••(x+4)”的展开式中的通项(M=C>X"』，

X

令〃一4r=0,

则r=2wN,又〃GZ,且3领h6,

4

/.7?=4,r=1,

则(x+二)，的展开式中的常数项为北=c：=4,

故答案为：4.

14.解：vd=(-1,-2),h=(4,—2),

d'h=-4+4=0,

Xv(6f+c)-/?=-10,/.fee=-10，

八_he-101

COS”=COS<Dr,C>=—.........=-F-------j==——.

\b\-\c\252加2

故答案为：-三.

2

77+2

15.解：数列｛〃〃｝满足％+2%+…+加〃=4一万口~〃eN*,

几+1

可知4+2al+…+(〃——4—,

M-乂一r/日A〃+2〃+1—n—3

作差可得：^,,=4---4+—=^^-)

〃+3

〃+3

故答案为：—

小2"

心痴?卬46+c_6Z2+c2-b2a2+b2-c2

16.斛：因为--=cosBD+cosC=----------------+-----------------,

a2aclab

化简得，trc+bc1=a2b+a2c-(b3+c3),

即(b+c)(Z?2+c2-a2)=0,

所以从+c2—/=0，即以=90。,

因为白=8,所以秘=8,

sinA

贝！JAABC的周长a+/7+c=+c*+b+c..>j2bc+2\[bc=4+4^2>当且仅当6=c时取等

号，

所以AABC的周长最小值为4+40.

故答案为：4+472.

17.解：(1)由正弦定理知，生=\,

sinAsinn

马

6

走

/.sinBsinA=sin2cosB+—sinB)»即sinBsinA=A/3sinAcosB，

•/sin,

°sin8后

tanB=-------=,

cosB

2)在MBC中由余弦定理知

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=16+9-2x4x3x1=13,

2

:.AC=y/i3，

由圆的内接四边形的性质，知。=乃-8=杏

在AACO中，由余弦定理知，AC2=AD2+CD2-2ADCDcosD.

.•.13=1+CD2-2X1XCDX,即Ci)?+8-12=0,

解得CD=3或T(舍负)，

/.CD=3.

18.解：（I）数列｛%｝中q=1,/=3,且满足。“+2+3%=4a“+1,设a=%一%，nwN*.

整理得q+2-4+i=3（4+i-4）,

即限-《田=3（常数），

为+1-an

即数列伍用-。〃｝是以%-4=2为首项，3为公比的等比数列；

所以（—4=2x3f

即b“=2-3"T.

（II）由于『-”“=2x3"一,

n2

«„-«,..1=2x3-1

a)一%=2x3°,

3〃-1

所以为+1—4=2x(3°+3i+...+3"T)=2x^——=3〃一1.

3—1

故见+1=3"，

则"=3",

所以%=log3(a“+b„)=n,

故邑＞=q+c2+...+c20=]+2+…+20=0-(；+20)=210.

19.(I)证明：在图1A4BC中，D,E为AC,A5边中点所以DE//BC.

又AC_LBC,所以DE_LAC.

在图2中OEJ.A。，DE±DC,且则DE_L平面48.

又因为ACu平面48,所以OEJ.AC.

(H)解：由(I)知£)E_L平面A8,且DEu平面BCDE,

所以平面A。。平面BCDE,

且平面A。*C平面BCDE=DC,

在正△A8中，过A作AO，C£>,垂足为o,

所以A。_L平面BCDE.4。即为三棱锥A-BCE底面上的高，

在△AC£>中，4。=道.

在中，AE=BE=2®,48=2石，所以邑4跖=昭.

在梯形BCDE中，S^CE=S2cD=gBC.CD=4.

设点C到平面ABE的距离为h,

因为“三棱锥C-ABE="5棱傩A-BCE，

所以坊=；SMC£・A°，解得〃=竽.

即点C到平面ABE的距离为W.

故有99%的把握认为课外阅读是否达标与性别有关.

(2)全校男生和女生课外阅读“达标”的概率分别为£24=52和3券0=3：,

605404

随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

2c39

尸(X=0)=(1—)x(1—)=---,

54100

70a?aa。

2

P(X=l)=^x-x(l--)x(l--)+(l--)x-=—.

232732

P(X=2)=(-)2X(1-^)+^X-X(1--)X^=-,

P(X=3)=(—)2x—=—,

5425

.•.X的分布列为

X0123

P93923

woToo525

数学期望石（X）=Ox上9-+lx3工9+2x2—+3x3，=1.55.

100100525

21.解：（I）因为抛物线的焦点坐标为（」,0）,

64

所以抛物线方程为y'g,所以-1=”，

1OoK16

所以攵=一2.

（H）设A（%,y）,812，%），P（x°，%），

2

工+2_j

由“W（4/:2+l）x2+8kmx+4/??2-4=0,

y=kx+m

△=（8*m）2-4（4公+1）（4疗-4）=16（4炉+1-疗）＞0

-3km

所以…二E

4/n2-4

MET

m-1/Kr-n上乙JLL…M_4fo77

因为线段A3的中点产，所以％=o-=一,，

乙^TK十1

山9,-4hnm

所以%=5+〃?=%x^7T+“=^p

又因为点尸在抛物线y2=-Jx上，所以七j）2=_Jx（U^）,

8k4k+18k4k+1

所以2……，所以|A昨行吟尸

—4kmm

点?（）,又2a=4^+1,所以「（-2人二），

4F+1'4F+12

又W,所以/':y=—，（x+2幻+•!■,

K2

y------x

由《1得y2-1y-盘=0，所以x=；，%=一|

1/C7、181。2O

当y=-23时,-3-=-1-（x+2*）+1-,

88k