2021年高考数学热点05 导数及其应用（解析版）(一)

热点5导数及其应用

【命题形式】

在新高考中，导数板块和以往考查的没有多大的转变，但内容去掉了定积分和微积分这两个常

识内容。考查形式仍是常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，是以若

想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容。函数单调性的会商、零点问题和不等式

恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范畴）是出题频率最高的。

对于导数内容，其关键在于掌握好导数，其关键在于掌握好导数的几何意义即切线的斜率，

这一根基概念和关系，在此根本上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念

求解和极值与最值的关系以及最值的求解。本专题拔取了有代表性的挑选，填空题与解答题，通过

本专题的学习熟悉常规导数问题的思路解析与解题套路，从而在以后的导数问题中能够飞快得到导

数问题的得分本领。

【满分本领】

对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，

函数的单调性的判断。因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化

为函数的最值问题，函数不等式证明一样转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是

由函数的单调性来确定的。所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性。

对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形联合是最快捷的方式，在此方

式中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值。

恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于挑选题来说，恒成立挑选小题可以采纳排除

法与特殊值法相联合的验证方式能够对照快捷正确得到答案，对于填空以及大题则采纳对函数进行求

导，从而判断出函数的最值。

函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于十分规函数，超出一样解方程的范畴类问题

则采纳特殊值验证法，特殊值一样情况下是0,1等特殊数字进行验证求解。

对于对照复杂的导数问题，一样需要二次求导，但是要注重导数大小与原函数之间的关系，搞

清楚导数与原函数的关系是解决此类问题的关键所在。

含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采纳的方式是：

一、双变量常见解题思路：

1、双变量化为单变量f寻找两变量的等量关系；2转化为组织新函数；

二、含参不等式常见解题思路：

1、参数分离；2、通过运算化简消参(化简或不等关系)；3、将参数算作未知数，通过它的单

调关系来进行消参。

【考查题型】挑选题，填空，解答题22题

【常考常识】导数概念和运算、导数的几何意义、操纵导数求单调区间、最值、极值

【限时检测】(建议用时：90分钟)

一、单选题

L(2021•天津市第四十二中学高三其他模拟)已知函数〃x)=2#'(e)+lnx,则〃e)=()

A.-eB.eC.-ID.1

【答案解析】C

【考点解析】

对函数求导，令％=0,可求出了'(e),即可得到函数f(x)的表达式，进而求出/(e)即可.

【详解】

由题意，f(x)=2f(e)+-,所以((e)=2/'(e)+L解得f(e)=--,

xee

故〃e)=2暖(e)+lne=—2+l=—L

故选：C.

【点睛】

本题考查求函数值，考查导数的计算，考查学生的计算求解功底，属于根本题.

2.(2021•江苏苏州中学高三其他模拟)函数/*)=。<：2+版3>02>0)在点(1,/())处的切线斜率

为2,则随心的最小值是()

ab

A.10B.9C.8D.3.72

【答案解析】B

【试题解答】

对函数求导可得，/'("=2以+反根据导数的几何意义，/'⑴=2a+0=2,即a+g=L

।---------\2a+b=2

8Q+Z?81.81..b.8ab、/8ab_.

-----二—l—=(—I—)•(QH—)=----1---+522/---1----+5=4+5=9,当旦仅当z《8ab用)

ahbaba2b2ab2a——=——

Ib2a

1

ci=一

■i时，取等号.所以如吃的最小值是9.

[b--3

故选B.

点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值联合了重要不等式，“1”的巧用，注重取等前

提

3.(2021•四川遂宁•高三零模(理))已知函数/(x)=T+log3(9'+l),则使得

/(x2-x+l)+l<log310成立的x的取值范畴是()

B.(-oo,0)U(l,-Hx>)

C.(0,1)D.(-co,l)

【答案解析】C

【考点解析】

令/=V-X+1,则/(f)+l<log310,从而T+log3(9'+1)+1(log.JO,即可

log3(9'+l)T<log3(9i+l)-1,然后组织函数gQ)=log3(9'+l)T,操纵导数判断其单调性，进而

3

可得一4--1+1<1,解不等式可得答案

4

【详解】

133

解：令t=d—x+l,则，=厂—x+l=(x--)-H--2—,

244

/(r)+l<log310,

所以T+log3(9'+l)+l<log310,

,1

所以log3(9+l)-z<log3(9+1)-1,

9,In92x9，9‘一I

令gQ)=log(夕+1)-/,则g'“)=-1+---------=-1+-----=-—,

5636(9'+l)ln39'+19'+1

3

因为t>-,所以9'一1>0,所以g'«)>0,

4

3

所以g«)在仁,+8)单调递增，

4

3

所以山gQ)<g(D,得-<r<l,

4

所以一3《/,一1+1<1,解得o<x<],

4

故选：c

【点睛】

关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式

变形得log3(9'+l)T<log3(9i+l)-l,再组织函数g(f)=log3(9'+l)T,操纵函数的单调性解不

等式

4.(2021•贵州遵义•高三其他模拟(理))若函数/(1)=§尤3—62+x—5无极值点则实数a的取

值范畴是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(F,-DU(1,+8)D.(-8,TU[1,小)

【答案解析】B

【考点解析】

求出函数的导数，问题转化为/(幻=。最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a的范畴即可.

【详解】

13

vf(x)=—x-ax2+x-5,

**-fX^)=x2-2ax4-1,

1q

由函数/(%)=§_?一分9~+x-5无极值点知，

r(x)=o至多i个实数根,

.-.△=(-2«)2-4<0,

解得一1<。<1,

实数a的取值范畴是[-1,1],

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题.

5.(2021•河北沧州•高三期中)定义在7?上的函数/Xx)的导函数为若/'(x)>/(x),

/(2)=1008,则不等式e2f(x+1)-1008e'+i>0的解集为()

A.(-l,+oo)B.(2,+oo)C.(f1)D.(1,+<»)

【答案解析】D

【考点解析】

令g(x)=¥，对函数求导判断出单调性，操纵g。)的单调性解出不等式即可•

e

【详解】

人/\/（X）mn'（\/（尤）T（x）、n

令g（x）=——.则g（无）=------;----->0,

ee

所以g（x）在k上单调递增.

因为^（2）=122§,所以不等式e2/（x+l）—1008e"i>0,

e

可变形得华,即g（x+l）>g（2）,所以x+l>2,

ee

解得x>l.

故选：D

6.（2021•海南高三一模）已知函数/（x）的导函数为了'（X）,且对随意率性xeR,

/,（x）-/（x）<0,〃2）=/,若〃。</,则/的取值范畴为（）

A.（0,2）B.（2,4W）C.（0,e2）D.（e2,+oo）

【答案解析】B

【考点解析】

组织函数g（r）=4D—l,得出函数g（。单调递减，原不等式等价于g（f）<g（2）,

进而可得成

e

果.

【详解】

组织函数g(r)=4^—1,则g(2)=d^—1=0.

ee.

•；g«）=/'（，）：/“）<0,函数g（。在R上单调递减,

/(，)<e'og(/)<g(2),

：.t>2.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：组织新的函数g（。,将原不等式等价转化为g⑺<g（2）.

7.（2021•安徽高三其他模拟（理））已知函数f（x）=x[/'（x）+lnx],且/（x）在（0,+。）上单调

递减，则/的取值范畴为（）

1)

A.——,+ooB.C.(-oo,-l]D.[-1,+<»)

e)

【答案解析】B

【考点解析】

起首设g(x)=/"(x),得至ij./'(%)=x[g(x)+Inx],对f(x)求导，化简得至小，(同=一1±心1二

根据g")的单调性得到g(X)max=g(£)，即/(x)max=rg)再根据题意得到

r(x)=13—lnxK0在(0,+纥)恒成立，即可得到答案.

【详解】

设g(x)=r(x),所以/(x)=x[g(x)+lnx],

/"(%)=g(x)+Inx+xg'(x)+g=g(x)，

所以8'(彳)=_1+如1.令g'(x)=O,x=~.

xe

因为，g'(x)>。，g(x)为增函数，

xel-,+ooI,g〈x)<0,g(x)为减函数，

所以g(x)m「g(j，即/'("max=/'g)

因为/(x)=x[/'(x)+lnx],且/(X)在(O,+8)上单调递减,

“X)

所以/'（》）=-InxWO在（。,+8）恒成立.

x

—^-ln-<0,解得

故选：B

【点睛】

本题主要考查操纵导数研究函数的单调性和最值，同时考查学生解析问题的功底，属于中档题.

8.（2021•浙江省东阳中学高三其他模拟）已知不等式e2,一/+2依＜0在［（）,”）上无解，则实数Z

的取值范畴是（）

—,+oo—,+00—,+oo—co,—

2222

【答案解析】B

【考点解析】

将原问题转化为恒成立的问题，然后组织新函数，由导函数研究函数的性质，数形联合得到关于

人的不等式，求解不等式即可确定实数&的取值范畴.

【详解】

满足题意时＞-2kx在［0,+a））上恒成立，

令/(x)=e2*-e\x>0),

则f'(x)=2e2x一e"=e'(2e*-1)>0,f\x)=4e2A'一/=ev(4ev-l)>0,

故函数/(x)在区间［0,+co)上单调递增，且函数图象下凸，

注重到/(0)=0,/(0)=1,则函数f(x)在x=0处的切线方程为y=x,

绘制函数图象及其切线如图所示,

满足题意时应有：一2kWl,

2

综上可得，实数攵的取值范畴是一；，+°°

故选：B.

【点睛】

本题主要考查导数的方式研究不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，考查数形联合的思想，以

及转化与化归的思想，属于常考题型.

9.(2021•广东湛江•高三其他模拟)已知函数/。)=；/一/一3尤+9,给出四个函数①|六工)|,②

,③F(G|),@-f(-A),又给出四个函数的大抵图象，则对的匹配方案是()

A.甲-②,乙-③，丙-④，丁-①B.甲-②,乙丙-①,丁-③

C.甲-④,乙-②，丙-①，丁-③D.甲-①,乙甸,丙-③,丁-②

【答案解析】B

【考点解析】

根据题意，求出函数f(x)的导数,解析函数/(x)的单调性,可以得到/(x)的草图，联合函数图

象转变的规律解析四个函数对应的图象，即可得答案.

【详解】

根据题意，函数/(幻=!/一好一31+9,其导数r(x)=f-2x-3=(x+l)(x-3),

2

在区间(F,T)上，r(x)>0,f(x)为增函数，月./(—1)=10],

在区间（一1,3）上，r（x）＜0,〃x）为减函数，且/（3）=0,其简图如图:

对于①17(%)I,有17(x)1=其图象所有在x轴上和x轴上方，对应图象丙,

②/（一幻，其图象与f（x）的图象关于＞轴对称，对应图象甲，

③/（旧），有/（⑶）=［、，、，为偶函数，对•应图象丁,

其图象与f（x）的图象关于原点对称，对应图象乙,

故选：8.

【点睛】

本题通过对多个图象的挑选考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题

方向，该题型的特点是综合性较强、考查常识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从

多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及

xf0+,xf+oo,xf-8时函数图象的转变趋势，操纵排除法，将不合题意的选项一一排

10.(2021•广东深圳外国语学校高三月考)定义在(0,+。)上的函数y=/(x)有不等式

2/(x)＜W(x)＜3/(x)恒成立，其中y=/'(x)为函数y=/(x)的导函数，则()

/(2)/(2)c3<组<4D2<@<4

C.3<川)<4D.2<<4

A-4<7(0<16B-4<7(0<8/(1)

【答案解析】B

【考点解析】

根据已知前提可以得到8(力=以翌%(月=芈1在(0,+8)上的单调性，从而分别得到

g(2)>g(l),/i(2)</i⑴,进而得到结论.

【详解】

解：2/(%)〈矿(%),即r(x＞x-2f(x)＞。,因为y=/(x)定义在(0,+巧上,

令则瑞2

2g(x)=44>4,\f'(x)-x-2xf\x)

.•・f\x^x-2xf(x)>0yg(x)=—.----->0,

则函数g(x)在(0,+纪)上单调递增.

由8出＞8⑴得，祟＞半即，界＞4；

同理令〃(x)=

XJCX

则函数人(无)在(0,+“)上单调递减.

由妆2)<g⑴得，孝<平，即界小.

/(2)

综上，4<号琳<8.

故选：B.

【点睛】

本题考查导数的运算，操纵导数研究函数的单调性和单调性在对照大小中的应用，涉及根据已知导

函数满足的关系组织可判断导数正负的函数，是难题.

r(x)-x-2/(x)>0,从中间是减号，联想到除法的求导法则，从系数2,联想到要有炉的导数产

生，综合需要两边同乘以X,得到/'(工〉/一2切"(x)〉。，

进而得到g(x)=4^得到函数g，(x)=<J).x：2/(x)>0,同样事理得到力(同=21^的单调

XX

性，这是解决本题的关键和难点.

二、多选题

11.(2021•张家界市民族中学高二月考)已知/(x)=2'Mx：+l)_],8*)=(m+2乂/+1)2.若

。。)=，♦/*)-晔有独一的零点，则加的值大概为()

e

A.2B.3C.-3D.-4

【答案解析】ACD

【考点解析】

通过奴x)=e*・/(x)一驾只有一个零点，化为(〃?+2)(口)2-2ms+1=0只有一个实数根.

eexex

x2+1

令『=土=，操纵函数的导数，判断函数的单调性，联合函数的图象，通过①当m=2时，②

e

当m=3时，③当加=—3时，④当帆=Y时，验证函数的零点个数，推出成果即可.

【详解】

解：g(x)=(%+2)，+l)2.

e

-：夕(X)=e'・/(x)—哗只有一个零点，

e

2/n(x2+1)-('"+2)(1+1)-=o只有一个实数根，

e

即(m+2)(士匚产-+1=0只有一个实数根.

+1(x2+l)'e"—(%2+V)cx—(x—1)

令/==!•,则r'=L。,

exC)2

x+1

.・.函数1二=」在R上单调递减，且Xf—8时，£­0,

二函数;±X士+1的大抵图象如图所示,

所以只需关于/的方程（加+2）产-2mt+\=0（*）有且只有一个正实根.

①当机=2时，方程（*）为4r-4/+l=0,解得f=L吻合题意;

2

方程（*）为5--6/+1=0，解得，=（或f=l,不吻合题意;

②当机=3时,

③当出=—3时，方程（*）为产一6f-1=0,得f=3土JJU,只有3+而＞0,吻合题意.

④当机=y时，方程（*）为2r-8r-l=0,得/=坦也只有4±3衣〉0.吻合题意.

2

故选：ACD.

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形联合，组织法的应用，考查转化思想以及计算

功底，属于难题.

12.(2021•海南高三一模)对于定义在口上的函数/(力和定义在&上的函数g"),若直线

>=h+匕(左,。€/?)同时满足：①Vxe£)[,f^x)<kx+b,②Vxe。2，g(x)>kx+b,则称直

线>=丘+〃为/(x)与g(x)的“隔离直线”.若/(x)=(，g(x)=eT则下列为“X)与g(x)

的隔离直线的是()

]x11

A.y=xB.y-x——C.y--——D.y-—x——

23e22

【答案解析】AB

【考点解析】

根据隔离直线的定义，函数y=/(x)的图象总在隔离直线的下方，y=g(x)的图象总在隔离直

线的上方，并且可以有公共点，联合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特点，逐项判断，

即可求解.

【详解】

根据隔离直线的定义，函数y=/(x)的图象总在隔离直线的下方，y=g(x)的图象总在隔离直

线的上方，并且可以有公共点,

由函数〃x)=W，可得/")=上黑，

所以函数/(X)在(o,e)上单调递增，在(e,4w)上单调递减，

因为/(1)=0,_f(l)=l,此时函数/(%)的点(1,0)处的切线方程为y=x-l,

且函数的图象在直线y=x-l的下方；

又由函数g(x)=ej可得g'(x)=e'T>0,g(x)单调递增，

因为g'⑴=g6=l，所以函数g(x)在点(1,1)处的切线方程为y—l=x—1,即丁=匕

此时函数g(x)的图象在直线丁=%的上方，

根据上述特点可以画出y=/(x)和y=g(x)的大抵图象，如图所示，

直线y=x-l和y=x分别为两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线丁=为平行的直线都

满足隔离直线的前提，所以46都吻合；

设过原点的宜线与函数y=.f(x)相切丁点P(x°,%),

根据导数的几何意义，可得切线的斜率为k=一式，

X。

,y-0Inlnx1-Inx.「

又由斜％=n"；=T,可得Tn=—产(，解得x°=&,

玉)一0玉)/玉)

所以上=上芈£=」-，可得切线方程为＞=：，

又由宜线丁=三与曲y=/(x)订交，故。不吻合；

3e

由直线y过点(1,0),斜率为;，曲线y=/(x)在点(1,0)处的切线斜率为1,

乙乙乙

显明不满足，排除〃

故选：AB.

【点睛】

对于函数的新定义试题:

(1)卖力审题，正确懂得函数的新定义，公道转化；

(2)根据隔离直线的定义，转化为函数y=,f(x)的图象总在隔离直线的下方，y=g(x)的图

象总在隔离直线的上方.

三、填空题

13.(2021•福建高三其他模拟)已知/(x)=xlnx-2x+a,xe［l,e2］,曲线y=/(x)在点(e,/(e))

处切线的斜率为；若/(x)WO恒成立，则a的取值范畴为

【答案解析】0a<0

【考点解析】

求出导函数f'(x)=lnx—l,进而可得_f(e)=O,由导数的几何意义可得切线的斜率；操纵导数判

/(1)<0

断函数在［l,e)单减，(e1］单增，只需.,卜2)<0，解不等式组即可求解.

【详解】

/'(x)=lnx—1,r(e)=O,

由］［力°得e<x<-?”得

l<x<e.

l<x<e2

f(l)=-2+a<0

；J(x)在［l,e)单减，(el］单增，•."(x)WO恒成立,

f^e2)=2e2-2e2+a<0

:.a<0.

故答案为：0；67<O.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、操纵导数研究不等式恒成立问题，考查了根基常识的掌握情况，属于根

本题.

14.（2021•广西高三其他模拟（文））已知曲线/（x）=」（e为自然对数的底数）在x=l处的切

x+a

线斜率等于则实数。=

4

【答案解析】1

【考点解析】

由导数的几何意义知八1）二/即可求参数.即可.

【详解】

由函数解析式，知：小）=::二了

…小aee

依题意：/⑴=4铲="

a1

7---772=:，则。=1，

(a+1)4

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了根据导数的几何意义求参数，属于简单题.

15.(2021•江西高三其他模拟)已知函数”力=%3一公+1,g(x)=3x-2,若函数

/(x)"(x)2g(x)

/(x)=m;有三个零点，则实数a的取值范畴是__________.

[g(x),f(x)<g(x)

35

【答案解析】。〉无

18

【考点解析】

操纵导数研究函数的单调性，根据单调性可做大抵图象，由数形联合，创立不等式即可求解.

【详解】

,.,/(x)=x3-ax+\

二./"(x)=3f-a,

当a4O时，f'(x)>Q,/(x)在/<|-单调递增，/(幻在〃上只有一个零点，g(x)在〃上也只有一

个零点，故尸(幻至多有两个零点，不满足题意.

当a>0时，令f'(x)=3Z—a=0,解得x=土怖

由/'(x)>0,得或

由/'(幻<得一\aa

0,3<X<\3

&,+8)上单调递增，在(一2)上单调递

3

所以函数/'(x)在(-8,

减,

在同-坐标系中，分别作出函数/⑺，名⑷的图像

根据图像可知:

-)20时，所以尸(x)有且只有一个零点;

当/(

3

当/•(除)<0时，要使得尸(x)有三个差别的零点,

则/鼻<0：大概

13J

V3<3

35

解得a>—,

18

3

故答案为：。>一

18

【点睛】

本题考查了数形联合思想，考查了操纵导数研究函数的单调性，考查了操纵导数研究函数的零点,

属于中档题.

16.(2021•长春市榆树高级中学高三月考(理))函数>=［可称为取整函数，也称高斯函数，其中

不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，例如：=设函数=C—则函数

X

8(耳=［/(力］在%«2,3］的值域为.(其中：“2.718,«7.389,20.086)

【答案解析】{1,2,3}

【考点解析】

求导得/•'(》)=(匕Df'二尸,令%(x)=(x-1)/-再次求导后可推出/i(x)在［2,3］上单调

厂

递增，故有//(x)>0,从而得/“)在【2,3］上单调递增，再求出f(x)在［2,3］上的最大值

和最小值即可.

【详解】

An//、e"rr/\(x—l)e'—x

解•***f(x)=------x，f(^-)=-------；------,

XX

令h(x)=(x-l)ex-x2,则/(〃)=x(ex—2),

VXG[2,3],.・./(％)>0,即h(x)在[2,3]上单调递增，

/.h(x)..h(2)=2(e2-2)>0,即/'(x)>0,

・••/(%)在[2,3]±单调递增,

/w,mn=/⑵=5_2X1.69；/UU=/(3)=--3«3.70,

23

・•.g(x)=[f(x)]在xe[2,3]上的值域为{1，2,3}.

故答案为：“，2,3).

【点睛】

本题考查操纵导数研究函数的最值，需要组织函数，多次求导来确定函数的单调性，考查学生的转

化思想、逻辑推理功底和运算功底.

四、解答题

17.(2021年浙江高考数学卷)已知1＜。42,函数/(x)=e'-x—a,其中e=2.71828…为自然对数

的底数.

(I)证明：函数y=/(x)在(0，+8)上有独一零点；

(II)记的为函数＞=/(%)在(。，+8)上的零点，证明：

(i)4^is