平行四边形的性质

第18章

平行四边形1.平行四边形的性质(1)(1)平行四边形的定义及功能(2)平行四边形的边和角有什么性质？一.平行四边形的定义.由_____条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形；四边形有____条边，___个角,四边形的内角和等于___度；1.平行四边形的定义及功能.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。①②定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。ABCD记作：□ABCD读作：平行四边形ABCD注意顺序性AB∥CDAD∥BD四边形ABCD是平行四边形1.平行四边形的定义及功能.1知识点平行四边形的定义反馈练习：1.如图，在□ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，EF与HN相交于点O，则图中共有平行四边形(

)A．12个B．9个C．7个D．5个B1.平行四边形的定义及功能数学表达式：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD∥BD在□ABCD中AB∥CD，AD∥BD定义→性质：平行四边形的两组对比平行定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。ABCDAB∥CDAD∥BD四边形ABCD是平行四边形反馈练习：2.(中考·泰安)如图，在□ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于(

)A．2B．3C．4D．6C2.平行四边形有怎样的性质？定义→性质：平行四边形的两组对比平行定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。ABCDAB∥CDAD∥BD四边形ABCD是平行四边形平行四边形相邻的两个内角互补及时总结：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形1.即对于任何一个几何定义，都具有两种功能→

顺用是它的判定，逆用是它的性质．

2.对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小到

大等)分类计数，做到不重复不遗漏．3.

平行线+角平分线→有等腰三角形平行四边形的定义既是性质→平行四边形的

两组对边分别平行；又是判定→两组对边分别平行

的四边形是平行四边形．二、探索：平行四边形还有哪些的性质？1.平行四边形是中心对称图形ABCD(A)(C)(D)(B)O1.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心。由此，我们可以猜想：平行四边形的对边和对角有什么数量关系？证明猜想：已知：如图，□ABCD.求证：AB=CD,AD=CB,∠A=∠C，∠B=∠DABCD平行四边形的性质：定理1平行四边形的对边相等定理2平行四边形的对角相等2.平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.ABCD

平行四边形的性质——对边相等知识点22.平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．例1如图,在□ABCD中，AB=8,周长等于24.

求其余三条边的长.DABC3.用一根长度为36cm的铁丝围成一个平行四边形，各边的长度恰好都是3的整数倍，试找出所有满足条件的平行四边形,并分别求出各边的长.3.平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．3.角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.

平行四边形的性质——对角相等知识点34.在□ABCD中，∠A＝120°，求其余各个内角的度数。5.在□ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是()A.1︰2︰3︰4B.3︰4︰4︰3C.3︰3︰4︰4D.3︰4︰3︰4例2.在□ABCD中，∠A＝40°，求其余各个内角的度数。DABC3.用一根长度为36cm的铁丝围成一个平行四边形，各边的长度恰好都是3的整数倍，试找出所有满足条件的平行四边形,并分别求出各边的长.

4.在□ABCD中，∠A＝120°，求其余各个内角的度数。5.在□ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是()A.1︰2︰3︰4B.3︰4︰4︰3C.3︰3︰4︰4D.3︰4︰3︰4巩固提高：1.如果□ABCD的中∠A：∠B=1∶5，那么∠

A=____，∠B=____，∠C=____，∠D=____．2.如果□ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=

cm，BC=

cm，CD=

cm，CD=

cm．3．(2016·河北)如图，将□ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B的度数为________.你收获了什么？平行四边形的定义性质：平行四边形的两组对边分别平行；判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的性质(中心对称)：定理1平行四边形的对边相等定理2平行四边形的对角相等

平行线+角平分线→有等腰三角形思考题：在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为____________________．作业：课本80页：18.1第1、3题课本94页：18.1第3-5题第18章

平行四边形2.平行四边形的性质的简单应用(1)平行线间的距离(2)平行四边形的性质的简单应用3.用一根长度为36cm的铁丝围成一个平行四边形，各边的长度恰好都是3的整数倍，试找出所有满足条件的平行四边形,并分别求出各边的长.

4.在□ABCD中，∠A＝120°，求其余各个内角的度数。5.在□ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是()A.1︰2︰3︰4B.3︰4︰4︰3C.3︰3︰4︰4D.3︰4︰3︰4巩固提高：1.如果□ABCD的中∠A：∠B=1∶5，那么∠

A=____，∠B=____，∠C=____，∠D=____．2.如果□ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=

cm，BC=

cm，CD=

cm，CD=

cm．3．(2016·河北)如图，将□ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B的度数为________.4知识点平行线之间的距离

●

●●●→平行线的又一个性质：

平行线之间的距离处处相等.数学表达式：如图，A，C是l1上任意两点，∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，∴AB＝CD.拓展：(1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等；(2)等底等高的三角形的面积相等．ABCDE例3.比较△ABC和△DEC的面积大小6.如图，如果直线l1//l2,那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的.你能说出理由吗？你还能在这两条平行线之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗？ABCDl1l2等底等高的三角形面积相等1.定义：

两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的距离，

叫做这两条平行线之间的距离；理解：(1)点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度；(2)三种距离之间的区别与联系类别两点间的距离点到直线的距离两条平行线间的距离区别连接两点的线段的长度点到直线的垂线段的长度两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度联系最后都归结为两点间的一条线段的长度

2.性质：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，即：平行线间的距离处处相等．要点精析：(1)“平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置；(注：平行线的这一性质常用来解决三角形同底等高问题)(2)平行线的位置确定后，它们间的距离是定值(是正值)，不随垂线段位置的改变而改变．二、平行四边形的性质的简单应用利用相等关系：1、建立方程2、等量转移例3已知平行四边形的周长是24,相邻两边的长度相差4，求该平行四边形相邻两边的长.ABCD利用相等关系：建立方程例4已知：如图,在□ABCD

中，∠ADC的平分线与AB相交于点E.求证：BE+BC=CD.DABCE

利用相等关系：等量转移平行线+角平分线→有等腰三角形1．如图，若M是□ABCD的边AB上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则(

)A．S＝S1＋S2B．S＞S1＋S2C．S＜S1＋S2D．不能确定2．如图，在□

ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，∠EDF＝135°，求□

ABCD各内角的度数．解：∠B＝∠ADC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝135°

3．如图，在□

ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(

)A．7

B．10

C．11

D．124.在平面直角坐标系中，已知□

ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是(

)

A．(－2，1)B．(－2，－1)C．(－1，－2)D．(－1，2)20．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知AE＝4，AF＝6，□ABCD的周长为40，求□ABCD的面积．解：设BC＝x，CD＝y，依题意，得x＋y＝20，4x＝6y，解得x＝12，y＝8，∴S▱ABCD＝4×12＝48知识点1：平行四边形的定义1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AB∥DC，则四边形ABCD是_____________形．平行四边2．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则这个四边形是______________形．平行四边知识点2：平行四边形的对边相等3．如图，在▱ABCD中，点M为CD的中点，且DC＝2AD，下列判断错误的是(

)A．DM＝ADB．AD＝BCC．DM＝BMD．DM＝BCC4．(2015·衢州)如图，在▱ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长等于(

)A．8cmB．6cmC．4cmD．2cmC5．▱ABCD中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，D(0，1)，则点C的坐标为__________．6．如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连结DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.(3，1)解：易证△BEF≌△CDF，得BE＝CD.又∵AB＝CD，∴AB＝BE知识点3：平行四边形的对角相等7．已知▱ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是(

)A．100°B．160°C．80°D．60°8．已知平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C等于(

)A．18°B．36°C．72°D．144°9．在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(

)A．1∶2∶3∶4B．1∶2∶1∶2C．1∶1∶2∶2D．1∶2∶2∶1CBB知识点4：平行线之间的距离处处相等11．如图，若M是▱ABCD的边AB上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则(

)A．S＝S1＋S2B．S＞S1＋S2C．S＜S1＋S2D．不能确定A12．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为____．1013．如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD的周长为(

)A．5B．7C．10D．14DB

19．如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F.(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)若DF平分∠ADC，连结CE，试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE.又∵∠AED＝∠BEF，AE＝BE，∴△ADE≌△BFE

(2)CE⊥DF.易证∠F＝∠ADF＝∠CDF，∴CD＝CF.由△ADE≌△BFE，得DE＝EF，∴CE⊥DF(等腰三角形的三线合一)7．如图，在▱ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于(

)．A．10°B．20°C．40°D．50°B8．在▱ABCD中，∠DAB的平分线分对边BC为6cm和5cm两部分，则▱ABCD的周长为_________________________．9．如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD，∠ADC的平分线分别交BC于点E，F，则EF的长为____．32cm或34cm210．如图，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF.求证：AE＝CF.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF.∵BE＝DF，且BE＝BF＋EF，DF＝DE＋EF，∴DE＝BF.在△ADE与△CBF中，AD＝CB，∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，∴△ADE≌△CBF，∴AE＝CF11．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(

)A．7

B．10

C．11

D．12B12．(2016·河北)如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B的度数为________.114°15．在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为____________________．16．(2016·永州)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.(1)求证：BE＝CD；(2)连结BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．55°或35°方法技能：1．平行四边形的定义两用，既可当性质用，又可当判定用．2．平行四边形的边角性质为证明线段的平行和相等，角的互补与相等提供了很重要的依据．注意常和全等三角形一起综合运用．3．平行线间的距离是指垂线段的长度，平行线的位置确定了它们之间的距离就是定值，不随着垂线段的位置的改变而改变．易错提示：对几何图形判断错误，导致错解或漏解．20．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，求平行四边形ABCD的面积．解：设BC＝x，CD＝y，依题意，得x＋y＝20，4x＝6y，解得x＝12，y＝8，∴S▱ABCD＝4×12＝4811．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F.(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：DE＋DF＝AC；(2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，DE，DF，AC之间的数量关系为____；(3)如图③，当点D在边BC的反向延长线上时，若AC＝6，DE＝2，求DF的长．解：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF，∵AB∥DF，∴∠FDC＝∠B.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDC＝∠C，∴DF＝FC，∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC

(2)DE－DF＝AC

(3)8知2－练(2015·宁波)如图，在ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为(

)A．BE＝DF

B．BF＝DEC．AE＝CF

D．∠1＝∠22（来自《典中点》）边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.知2－讲（来自《点拨》）知3－讲要点精析：由于组成平行四边形的元素有边、角，因此讨论其性质也应从边、角这两个方面去看．(1)从边看：平行四边形的对边平行且相等；(2)从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补．3.易错警示：已知平行四边形得出什么性质，要根据

推理证明的需要，合理选用需要的性质．（来自《点拨》）如图，在ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平行四边形各角的度数．例6知3－讲（来自《点拨》）由平行四边形的对角相等，得∠A＝∠C，结合已知条件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度数；再根据平行线的性质，进而求出∠B，∠D的度数．导引：在ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°.∴∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.∴∠B＝∠D＝120°.解：知3－讲平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出所有内角的度数．总

结（来自《点拨》）知3－练

(中考·衢州)如图，在ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(

)A．45°B．55°C．65°D．75°1知3－练如图，在ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠A＝120°，那么∠BCE的度数是(

)A．80°B．50°C．40°D．30°2知3－练(中考·黔西南州)在ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是(

)A．100°B．160°C．80°D．60°3知4－讲解：△ABC和△DEF的面积相等．理由如下：如图，作AH1⊥直线b，垂足为点H1，作DH2⊥直线a，垂足为点H2.设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，∴S1＝BC·AH1，S2＝

EF·DH2.∵直线a∥b，AH1⊥直线b，DH2⊥直线a，∴AH1＝DH2.又∵BC＝EF，∴S1＝S2，即△ABC与△DEF的面积相等．（来自《点拨》）知4－练如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是(

)A．AB＝CDB．EC＝FGC．A，B两点间的距离就是线段AB的长度D．a与b的距离就是线段CD的长度2（来自《典中点》）1.平行四边形的定义既可当性质用，又可当判定用．2.平行四边形的边、角的性质为证明线段的平行和相等、角的互补和相等提供了很重要的依据．注意常和全等三角形一起综合运用．3.平行线间的距离是指垂线段的长度，平行线的位置

确定了，它们之间的距离就是定值，不随着垂线段

的位置的改变而改变．必做:完成教材P76练习T2-3补充:请完成《典中点》剩余部分习题随堂演练练习一填空题1.在□ABCD中,∠A=65°,则∠B=

°,∠C=

°,∠D=

°.2.在□ABCD中,AB+CD=28cm.□ABCD的周长等于96cm,则AB=

,BC=

,CD=

,AD=

.ADBC1156511514cm34cm14cm34cm练习二判断题⒈平行四边形的两组对边分别平行。（）⒉平行四边形的四个内角都相等。（）⒊平行四边形的相邻两个内角的和等于180°（）⒋□ABCD中,如果∠A=30°，那么∠B=60°

（）√×√×练习三

已知平行四边形ABCD中,∠1=15°,∠2=25°,且AB=5cm，AO=2cm，求∠DAB和∠ABC的度数，并找出长度分别为5cm和2cm的线段.ADBCO))12解:∵在□ABCD中，AB∥DC∴∠ABD＝∠1=15°∴∠ABC＝15°+25°=40°