第十四届小机灵杯小学数学五年级决赛剖析

第十四届“小机灵杯”数学竞赛决赛试题（详解）（五年级组）时间：60分钟总分：120分（第1题～第5题，每题6分）已知a+3=ab+4=4bc+5=5cd+6=6da×b×c×d=1.。【【答案】3分析】方程+分数计算345632435465可以求出a=，b=，c=，d=，则a×b×c×d=×××=3。23452.一个四位数是25的整数倍，其各位数字之和是25，这个四位数是。【【答案】9925、4975、5875、6775、7675、8575、9475分析】整除性+分类讨论末两位00：不存在；末两位25：9925，1个；末两位50：不存在；末两位75：4975，5875，6775，7675，8575，9475，共6个；3.2772，5915919395，7，所得的积都是回文数，这个两位数是。【【答案】55分析】整除+数位分析不妨令这个两位数为ab，因为ab×95得到的乘积是回文数，所以，乘积首末位数字为5，b是奇数，ab×95=5cc5，（95×53=503595×65=617595×55=5225）说明ab的范围是53～65之间；又因为，四位回文数一定是11的倍数，因此，只能是ab=55。1)4.17−2÷15的余数是。【【答案】6分析】余数：可计算性因为，17≡2mod15，241mod15，()≡())(−)≡(−)≡()826mod15所以，2≡23≡8mod15，17(2余数为6。5.股民小李在某个股票上涨5%时，以每股21元的价格买入5000股，当天股6%10%了5000股。如果不计后续费等费用，小李买卖这个股票了元。（【【注：第一个括号内填盈利或亏损）答案】盈利，600分析】百分数应用题买入价：21元/股，当时上涨5%，可以求出原股价21÷1+5%20元/股；()=收盘价：20×1−6%19.2元/股；()=第二天卖出价：19.2×1+10%21.12元/股；()=因为21.12>21，所以，一共赚了21.12−215000=600元。()×（第6题～第10题，每题8分）6.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是2448平方厘米。从一端锯下一个最大的正方体，正方体表面积为216平方厘米。这根木料最多能锯出2毫米）答案】11分析】长、正方体表面积【【可以求出截面积为216÷6=362448÷36=68厘米；因为每次损耗2毫米，即0.2厘米，68+0.2()÷(+)=60.211最多能锯出11段。2111151111117.已知A=1−+−+−!+−99100，B=+++!+，23450515299则AB（填<、>、=1【【答案】A<B，50分析】分数计算+整体代换⎛⎝⎞111111214161A=1++++!++−2×⎜+++!+⎟⎠23499100100⎛⎞11111111=1++++!++−1+++!+⎜⎟⎝⎠234991002350⎛⎞11111111B=1++++!++−⎜1+++!+⎟⎝⎠2349910023491所以，A<B，相差一个。508.三位数n这样的三位数共有个。【【答案】13分析】数论综合：平方数+估算+余数a2=n2=961，322=102410≤a≤31；三位数的数字和最大为27，因此n的数字和可能是25、16、9、4、1；数字和为1：102=100，共1个；数字和为4：2=121，202=400，共2个；数字和为99的倍数）=144，15=225，18=324，21=441，30=900，共5个；2222221数字和为1616≡79，所以a49，a59）()≡()≡()=169，14=196，22=484，23=529，31=961，共5个；222221数字和为2525≡79，所以a49，a59）()≡()≡()没有满足条件的；因此，一共有1+2+5+5=13个。39.博物馆有并列的7动一次这间展室的电灯开关。如果开始时7间展室都亮着灯，那么他走过100间展室后，还有间展室亮着灯。【【答案】3分析】周期问题+奇偶性从第一间出发到第七间，再回到第二间可以看作一个周期，1234567一个周期走过12个房间，号与7号房间拨动1次开关，2号～6号房间拨动2次开关，即一个周期后1号、7号状态改变1次，2号～6号房间状态不变；00÷12=8!4，8个周期后，依然是全亮的；再走过4个房间，4个房间就都暗了，因此，最后还有3间展室亮着灯。1110.若三角形ABC中有一个内角是30ABC分成两个等腰钝角三角形，则另两个内角是答案】15°，135°或者10°，140°分析】角度问题：等腰三角形的分割【【可以按照内角30度是否被分割来分类，如果30度内角不被分割，如下图：另一个三角形有一个60不符合题意；60°30°另一个三角形有一个内角是150°，此种情况可以求出另外两个内角为15°，135°；150°120°30°4如果30度内角被分割，如下图：adacbb因此有，内角和：a+2b+d=180!，外角关系：a=2b，且a+b=30!所以，a=20!，b=10!，另一个内角为140°；；15°，135°或者10°，140°。（第11题～第15题，每题10分）11.已知S=1S=1−2S=1−2+3S=1−2+3−4S=1−2+3−4+512345那么S+S+S+!+S=。123【【答案】150分析】数列巧算+奇偶性正负数（或取整）S=1，S=1，S=2，S=2，S=3，S=3，……123456规律比较明显，可知S+S+S+S+!+S=0，1234⎡⎤n⎣⎦2且n==299+)÷2=150。(⎢⎥12.甲从A地出发到B地，30分钟后乙、丙也从A地出发到B地。乙用20分1钟追上了甲，丙在行完全程的时，也追上了甲。乙到达B地后立即加速5返回，速度比原来提高了20%。当乙、丙两人相遇时，甲与他们相距1530米。已知丙的速度是甲的2倍，甲平均每分钟走米。85【答案】6【（分析】多人行程+比例+分数应用1）甲出发30分钟后，乙用20分钟追上甲：可得，T:T=5:2，甲乙因为路程相同，所以，V:V=2:5；甲乙51（2）丙行完全程的时追上甲，且丙的速度是甲的2倍：51可得，丙追上甲时，甲应该走了全程的，101即，甲先走30分钟，行了全程的，甲走全程需要300分钟；10丙走全程需要150分钟；3）根据（1、2）的结论，可知乙走全程需要120分钟；同时求出V:V:V=2:5:4，（甲乙丙42112因此，当乙到达B地时丙走了全程的，此时，甲走了+=全程；5510ꢀBꢁꢂA15（4）返回时，乙的速度提高了20%，此时V:V:V=2:5×1+20%:42:6:41:3:2，()==甲乙丙122因此，乙、丙在距离B地×=全程的地方相遇，52+32533此时丙走了全程的，甲又走了全程的，2550⎛⎞43139此时甲与乙丙之间相距全程的+−⎜+⎟=，⎝⎠525250259856因此，全程为1530÷=4250米，甲的速度为4250÷300=米/分。2513.一班与二班各出4方先由121场比赛到最终决出胜赛过程共有种。【【答案】70分析】计数综合：排列组合因为都是按照1号到4号的顺序出场，我们可以用4个白球代表一班队员，64个黑球代表二班队员，以下给出一两种情况进行解释：（1）可以看作一班1号队员赢了二班所有队员；（2）可以看作一班1号队员输了，2号队员出场赢了二班所有队员；（3）可以看作一班1号队员赢了二班前342号队员取得胜利；如上，可以将题目转换为4个白球和4个黑球的排列问题：84×7×6×5×××321因为球并无顺序，因此可以通过组合算出有C84⋅C44==70种。14.ABCD的面积是52，=AF与BE相交于O形AOB的面积等于17。那么，三角形AOE与三角形BOF的面积之和是。mADaADEyE17OxObzFaFCBCBn【答案】18分析】代数分析+面积公式【标记如右图：令==a，=b，上底=m，下底=n，已知S=17，令S=x，S=y，S=z，利用面积公式进行分析：7()()m+n⋅2a+b已知：S如图，S==52……（1，2(a+bm)⋅(+)⋅abn=，S=，22由题意得：S+S−x=S−S，(a+bmabn)⋅(+)⋅即+−x=52−17=35……（2）(m+n)⋅(+)=22⎧⎪()2ab1043()4将（1、2）式整理得：⎨，(m+nab2x70)⋅(+)−=⎪⎩a⋅m+n)(()+=x17……（5+=（34）相减可得：a⋅m+n2x34，即2(+n)amanam而S+S=+=，222所以，根据（5）可以得出S+S+S=17，()所以x+y=S−S−S+S+S=52−17−17=1815.在A÷B=C!8A+B+C=2994A=。【【答案】8或2864分析】整数数论+因式分解由A÷B=C!8可得A=+8，所以，A+B+C=+B+