弧长及扇形面积

2.7弧长及扇形的面积一、弧长公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

要点：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

二、扇形面积公式

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

要点：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.题型1：求弧长1．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为（

）．A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据扇形的面积求出半径，再利用弧长公式进行计算即可．【解析】解：设扇形的半径为，则：，∴（负值已舍掉）；∴这个扇形的弧长为；故选B．【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握扇形的面积公式和弧长公式，是解题的关键．2．如图所示，内接于，且，，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连结，，根据同弧所对圆周角的圆心角的性质得到，再利用勾股定理以及弧长计算公式计算即可．【解析】解：如图所示，连结，，，又，，由勾股定理，得∴，，故选B．【点睛】本题主要考查圆心角与圆周角性质，弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解决本题的关键．3．如图，在扇形中，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为（结果保留）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=100°∠DOB=40°；然后由弧长公式弧长的公式来求的长即可．【解析】解：如图，连接OD．根据折叠的性质知，OB=DB．又∵OD=OB，∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB=60°．∵∠AOB=100°，∴∠AOD=∠AOB∠DOB=40°，∴的长为=2π．故选：B．【点睛】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处．题型2：求扇形面积4．如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据折叠，，进一步得到四边形是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积扇形面积菱形的面积，即可求解．【解析】依题意：，∴∴四边形是菱形∴连接与交于D点∵∴∴是等边三角形同理：是等边三角形故由三线合一，在中：∵，∴，，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形．5．已知半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（

）A．4 B．6 C．4π D．6π【答案】D【分析】根据扇形面积公式，将题中已知条件代入求解即可得到结论．【解析】解：半径为的扇形的圆心角为，，故选：D．【点睛】本题考查扇形面积公式，熟练掌握扇形面积是解决问题的关键．6．如图，正六边形内接于，若的半径等于2，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，所以图中阴影部分的面积．【解析】解：∵正六边形内接于，∴，∴，∴图中阴影部分的面积，故选：C．【点睛】本题考查了正多边形与圆，将阴影部分面积转化为扇形面积是解题的关键．题型3：求圆心角7．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（

）A．120° B．150° C．60° D．100°【答案】B【分析】利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可．【解析】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l，由题意得：，即240π＝×20πr，解得：r＝24，又由可得：，解得：，故选：B．【点睛】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算，熟练掌握相关的公式是解本题的关键．8．一扇形的半径等于已知圆的半径的2倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（）A．20° B．120° C．100° D．90°【答案】D【解析】试题分析：设圆的半径为r，则扇形的半径为2r，利用面积公式可得：=πr2，解得n=90．故选D．【考点】扇形面积的计算．9．如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）° B．（）° C．（）° D．（）°【答案】D【分析】设∠ABC的度数为n，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．【解析】解：设∠ABC的度数大小由60变为n，则AC=，由AC=AB，解得n=故选D．【点睛】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l=是解题的关键．题型4：求弓形面积10．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案．【解析】解：连接，∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．11．如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题．【解析】解：如图，连接．∵，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点，以C为圆心，2为半径作弧BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作弧BO、弧OD，则图中阴影部分的面积为（

）A．π1 B．π2 C．π3 D．4【答案】B【分析】根据阴影部分形状为不规则图形，连接BD，EF，将阴影部分面积转化可得阴影部分面积等于扇形面积减去三角形面积即可．【解析】解：连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴，∴，，∴弓形OB＝弓形OD，∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴，故选：B．【点睛】题目主要考查计算不规则图形面积，作出辅助线，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解是解题关键．题型5：求其他不规则图形的面积13．如图，将直径为4的半圆形分别沿，折叠使得直径两端点，的对应点都与圆心重合，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，可推出是边长为2的等边三角形，进一步可得，即可求解．【解析】解：连接，如图所示：由折叠可知：∵∴是边长为2的等边三角形∴∴∴也是边长为2的等边三角形∵∴∵∴∴∵∴故选：A【点睛】本题考查了圆中不规则图形面积的求解．得出是解题关键．14．如图，等边三角形的边长为4，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据阴影部分的面积等于3个扇形的面积减去2个的面积计算即可．【解析】解：如图，设的中点为E，的中点为F，的中点为G，由三角形的中位线可知，∵是等边三角形，∴阴影部分的面积等于3个扇形的面积减去2个的面积，即阴影部分的面积，故选：D．【点睛】本题考查扇形的面积的计算，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．15．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据即可求解．【解析】解：∵在中，，，，∴，，则，∴．故选：A．【点睛】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．题型6：求某点的弧形运动轨迹长度16．如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】顶点从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点为圆心，为半径的圆弧，旋转的角度是，所以根据弧长公式可得．【解析】解：在含有角的直角三角板中，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．17．如图，一个边长为的等边三角形木板在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，则顶点从开始到结束所经过的路程及的横坐标分别为()A． B．， C．， D．，【答案】A【分析】由题意知，顶点从开始到结束所经过的路径为圆弧，所对的圆心角为，根据弧长公式计算求得顶点从开始到结束所经过的路程，再根据等边三角形的三线合一的性质，即可求得的横坐标．【解析】解：一个边长为的等边三角形木板，在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，，，，作于，是等边三角形，的横坐标为，故选：A．【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，弧长公式等知识，得出点运动的路径是解题关键．18．如图，点为半上的三等分点，点是弧上的一动点，过点作交延长线于点，若直径，在点从点运动到点的过程中，则点的运动路径长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由点的运动特点可知点轨迹是以为直径圆上的弧，求出的长以及圆心角，即可求解．【解析】解：连接，，以的长为半径，的中点为圆心画圆，点为半圆上的三等分点，连接，，如图：∵点为半上的三等分点，∴，故，∴，∴，∴，当点从点运动到点的过程中，，即，∴，故点的运动轨迹是，且，在中，，∴点的运动路径长为，故答案为：B．【点睛】本题考查了点的运动轨迹，勾股定理，弧长公式，三角形内角和定理，圆周角定理，能够根据点的运动特点分析点的运动轨迹是解题的关键．题型7：求图形旋转后扫过的面积19．如图，中，，，，O，H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A． B． C．π D．【答案】C【分析】整个旋转过程中线段所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，、为半径的两个扇形组成的一个环形，分别求出、，即可求出阴影部分面积．【解析】解：连接，，∵O、H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，∴，∴线段所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，、为半径的两个扇形组成的一个环形，∵°，，，∴，∴，∵H为边的中点，∴，∴，∴阴影部分面积，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，涉及到直角三角形的性质及旋转的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．20．如图，按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，边在x轴上，，，把绕点A按顺时针方向转到，使得点的坐标是，则在这次旋转过程中线段扫过部分（阴影部分）的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过作于M，则，证得，从而得到旋转角为，再根据求解即可．【解析】过作于M，则，∵点的坐标是，∴，，∵，∴，由旋转的性质得，∴，∴，∴，即旋转角为，∴．∵把绕点A按顺时针方向旋转到，∴，∴阴影部分的面积：．故选：B．．【点睛】本题考查与扇形相关的阴影部分面积问题，理解旋转的性质，找准旋转角，并对所求图形面积进行转换是解题关键．二、填空题21．如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是；点到达点时，线段扫过的面积为．【答案】【分析】（1）通过分析点A′的运动轨迹，是以点C为圆心，CA为半径的圆上，从而求解；（2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解【解析】解：（1）由题意可得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA为半径的圆上，∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，，点关于直线的对称点为，∴∠ACA′最大为90°当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如图过点B作BE⊥AC∵，，，∴在Rt△ABE中，BE=1，AE=，在Rt△BCE中，BE=CE=1∴CA′=CA=又∵CA′⊥AB∴在Rt△ACF中，CF=∴A′F=A′CCF=即点到直线距离的最大值是；点到达点时，线段扫过的面积为：==故答案为：；【点睛】本题考查轨迹，含30°直角三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．一、单选题1．半径为、圆心角为的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据半径可求出圆的周长，再根据圆心角为占整个圆的比例，即可算出所对弧长．【解析】解：圆心角为，则占整个圆的比例为，∴，故选：．【点睛】本题主要考查扇形弧长的计算方法，掌握圆的周长的计算方法，扇形弧长的计算方法是解题的关键．2．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据扇形的面积计算公式计算即可．【解析】解：由题意得：故选C．【点睛】本题主要考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积计算公式是解决本题的关键．3．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A，B两点．若厘米，则的长度为（

）A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米【答案】B【分析】直接根据弧长公式进行计算即可．【解析】，，故选：B．【点睛】本题考查了弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键．4．如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等边中，是边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．【解析】是等边三角形，是边上的中点，扇形故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练等边三角形性质和扇形面积公式,求出等边三角形的高是解题的关键．5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先求出圆心角∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解．【解析】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．∴∠AOB=∴OB与围成的扇形的面积是故选B．【点睛】此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用．6．如图，圆上有四点，其中，若得长度分别为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的长度分别为，得到圆的周长为，由，得到∠BAD=80°，即可求解．【解析】∵得长度分别为，圆的周长为，∵，∴∠BAD=80°，故的长==20π．故选:C．【点睛】本题考查了弧长的计算，关键是利用圆的内接四边形对角互补和圆周角与弧的关系求解．7．如图，，C为弧的中点，则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（）AIA．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法确定【答案】C【分析】先分别求扇形的面积和以为直径的半圆面积，再分别求出甲，乙的面积进行比较即可得到答案．【解析】解：设为R，则半圆面积；；所以半圆面积，所以：．故选：C．【点睛】题目主要考查不规则图形的面积计算，解决本题的关键是根据图形特点找出图形间的关系．8．如图，在中，，，点是的中点，分别以点、、为圆心，的长为半径画弧，交线段、于点、、、，若点、是线段的三等分点时，图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，由等腰三角形的性质可得，，由题意可得，由勾股定理可得，再由代入进行计算即可．【解析】解：如图，连接，

，，，点是的中点，，，分别以点、、为圆心，的长为半径画弧，交线段、于点、、、，点、是线段的三等分点，，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、扇形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式是解题的关键．9．如图，在中，，以点A为圆心、2为半径的与相切于点D，交于E，交于F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接，由题意知，，，由，可得，根据，计算求解即可．【解析】解：如图，连接，由题意知，，，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积，圆周角定理．解题的关键在于正确的表示阴影部分的面积．10．如图，点为半上的三等分点，点是弧上的一动点，过点作交延长线于点，若直径，在点从点运动到点的过程中，则点的运动路径长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由点的运动特点可知点轨迹是以为直径圆上的弧，求出的长以及圆心角，即可求解．【解析】解：连接，，以的长为半径，的中点为圆心画圆，点为半圆上的三等分点，连接，，如图：∵点为半上的三等分点，∴，故，∴，∴，∴，当点从点运动到点的过程中，，即，∴，故点的运动轨迹是，且，在中，，∴点的运动路径长为，故答案为：B．【点睛】本题考查了点的运动轨迹，勾股定理，弧长公式，三角形内角和定理，圆周角定理，能够根据点的运动特点分析点的运动轨迹是解题的关键．二、填空题11．扇形的半径为，面积为，则该扇形的圆心角为．【答案】/60度【分析】设扇形的圆心角为，扇形的半径，根据扇形的面积计算公式即可求解．【解析】解：设扇形的圆心角为，扇形的半径，∴根据扇形的面积的计算公式为，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，解方程的方法是解题的关键．12．如图，已知正五边形的边长为，则阴影部分的面积为．【答案】/【分析】根据正五边形的内角和等于，即阴影部分的扇形圆心角和等于，由扇形面积公式即可解题．【解析】解：由题意得，，阴影部分的面积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了多边形内角和、扇形面积的计算，掌握基本概念和性质是解题关键．13．如图，正方形的边长是，将对角线绕点顺时针旋转的度数，点旋转后的对应点为，则弧的长是（结果保留π）．【答案】【分析】先根据正方形的性质得到，然后利用弧长公式计算即可求解．【解析】解：∵四边形为正方形，∴∴弧的长是故答案为：．【点睛】本题考查了弧长的计算，正方形的性质，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．14．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，且，点M为上一点，以点A为圆心，的长为半径作圆与边相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段，及所围成的阴影部分的面积为.【答案】【分析】利用网格线及勾股定理逆定理求得是等腰直角三角形，再利用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．【解析】解：如图，连接．根据网格线，可得，，，∴，且，∴是等腰直角三角形，且，∵边与所在的圆相切于点，，∴．在中，．∴．∴．∴．故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，扇形的面积公式，切线的性质，判断出是解本题的关键．15．如图．在边长为2的正方形中，对角线、交于点O，分别以点A、B、C、D为圆心，为半径画弧，弧分别与边、、、交于点E、F、G、H，则阴影部分的面积为．【答案】【分析】根据正方形的性质得到相应条件，利用勾股定理求出，再利用计算结果即可．【解析】解：在正方形中，，，，∴，∴阴影部分的面积为：，故答案为：．【点睛】本题考查了扇形的面积，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是找出阴影部分面积的计算方法．16．窗格是汉族传统木结构建筑中的框架结构设计，是汉族传统建筑中最重要的构成元素和审美文化如图，窗格的整体外形结构是扇形的一部分，其上段两个端点，之间的距离为，下段两个端点，两点之间的距离为，边，若要在该窗格上镶嵌一块玻璃，则所镶嵌的玻璃的面积为．【答案】【分析】如图所示，如图所示，延长，交于点，连接，，可得与所在圆的圆心为，根据圆的基础知识可得，都是等腰三角形，且，可证，由此可求出的长，可判定是等边三角形，，于是可求出扇形的面积，扇形的面积，根据镶嵌的玻璃的面积，由此即可求解．【解析】解：如图所示，延长，交于点，连接，，∴与所在圆的圆心为，，，∵是内圆半径，外圆半径，∴，，且，∴，都是等腰三角形，且，∴，∴，即，解得，，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴是等边三角形，∴，，∴所镶嵌的玻璃的面积，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，掌握圆的计算知识，扇形面积的计算方法是解题的关键．17．如图，在中，半径，C是上一点，连接，，，若，，则的长度为．​【答案】/【分析】根据圆周角定理求出，进而求出，再根据弧长公式计算，得到答案．【解析】解：，，，，，的长为：，故答案为：．【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，根据圆周角定理求出是解题的关键．18．如图，、是中关于直径对称的两条弦，以弦、为折线将弧，弧折叠后过圆心O，若的半径，则圆中阴影部分的面积为．【答案】【分析】根据对称性和直角三角形的边角关系求出扇形圆心角度数，再根据各个部分面积之间的关系进行计算即可．【解析】如图，过点作于点，交于点，连接，则，由折叠对称可知，，，是等边三角形，，的半径，，由题意可知，，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算，垂径定理、直角三角形的边角关系以及折叠轴对称的性质，掌握扇形面积的计算方法以及轴对称的性质是正确解答的提．三、解答题19．(1)求半圆形的面积（结果保留）(2)求图形的周长（结果保留）【答案】(1)；(2)；【分析】（1）根据圆的面积公式，计算其一半的面积即可；（2）根据圆的周长公式，计算其一半或是整圆的周长即可．【解析】（1）解：图1，直径为，图2，小圆的直径是，大圆半径为，∴图1中，半圆的面积为，（2）解：图1，直径为，图2，小圆的直径是，大圆半径为，∴图1中，半圆的周长为，图2中，周长为．【点睛】本题主要考查图形的变换，根据图形的周长，面积公式计算图形的周长，面积，掌握图形的面积计算公式，结合图形的形状是解题的关键．20．如图，已知长方形的宽，以为圆心，长为半径画弧与边交于点，连接，若计算结果保留)(1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积；(2)当时，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）阴影部分的面积是长方形的面积减去半圆的面积，再减去三角形的面积，且，由此即可求解；（2）根据（1）中的计算结果，将代入计算即可．【解析】（1）解：设，，∴，∴，即阴影部分的面积是．（2）解：由（1）可知，，∴，即时，阴影部分的面积是．【点睛】本题主要考查圆与三角形，长方形的综合运算，理解图形的组成，找出各图形间的关系是解题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．(1)请画出关于原点对称的；(2)请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长．【答案】(1)见解析(2)见解析，【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可．（2）分别作出A，B，C的对应点，，即可，再利用弧长公式求解即可．【解析】（1）如图所示即为所求；（2）如图所示即为所求，，点A到经过的路径长．【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称，勾股定理和弧长公式，解题的关键是正确得出对应点的位置．22．如图，在中，弦，相交于点E，连结，已知．(1)求证：；(2)连结、，若，的半径为2，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可；（2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算，得到答案．【解析】（1）证：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵的半径为2，∴．【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．23．如图，是的直径，是的弦，且．(1)求证：直线为的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)阴影部分的面积为．【分析】（1）连接，由，可得，从而求得，可证得直线为的切线；（2）先求和扇形的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．【解析】（1）证明：连接，∵，，∴，∴，∴，∵为圆的半径，∴直线为的切线；（2）解：由（1）可知，在中，∵，∴，∴阴影部分的面积．【点睛】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直，学会用分割法求阴影部分面积是解题的关键．24．如图