2021年中考29 几何问题辅助线添加技巧（解析版）(一)

专题29几何问题辅助线添加本领

专题知识点概述

全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题，在解答试题过程中，我们发

觉当题设前提不够，必须添加辅助线，把疏散前提集中，创立已知和未知的桥梁，联合学过的常

识，采纳必然的数学方式，把问题转化为自己能解决的问题。学会添加辅助线本领，是培育学生

科学思维、科学探讨的重要途径。所以希望各人学深学透添加辅助线的本领和方式。

一、以根基图形为切入点研究添加辅助线的本领策略

1.三角形问题

方式1：有关三角形中线的问题，常将中线加倍。含有中点的问题，常常操纵三角形的中位线，通

过这种方式，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方式2:含有平分线的问题，常以角平分线为对称轴，操纵角平分线的性质和题中的前提，组织出

全等三角形，从而操纵全等三角形的常识解决问题。

方式3:结论是两线段相等的问题常画辅助线构成全等三角形，或操纵关于平分线段的一些定理。

方式4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类问题，常采纳截长法或补短法，所谓截

长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形问题

平行四边形（包罗矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些一样性质，所

以在添辅助线方式上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相

似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方式有下列几种，举例简

解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过极点作对边的垂线组织直角三角形；

（3）毗邻对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，组织线段平行或中位线；

（4）毗邻极点与对边上一点的线段或耽误这条线段，组织三角形相似或等积三角形：

（5）过极点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

3.梯形问题

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形常识的综合，通过添加恰当的辅助线将

梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中

常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰：

（2）梯形外平移一腰；

（3）梯形内平移两腰：

（4）耽误两腰；

（5）过梯形上底的两端点向下底作高;

(6)平移对角线;

(7)毗邻梯形一极点及一腰的中点；

(8)过一腰的中点作另一腰的平行线；

(9)作中位线。

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不必然是固定不变的、单一的。通过辅

助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加恰当的辅助线，架起题设和结论间的

桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，是以，机动掌握作辅助线的一样规律和常见

方式，对提高学生解析问题和解决问题的功底是大有扶助的。

(1)见弦作弦心距。有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分

定理，来沟通题设与结论间的联系。

(2)见直径作圆周角。在问题中若已知圆的直径，一样是作直径所对的圆周角，操纵”直径所对

的圆周角是直角〃这一特点来证明问题。

(3)见切线作半径。命题的前提中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，操纵“切线与半径

垂直”这一性质来证明问题。

(4)两圆相切作公切线。对两圆相切的问题，一样是经由切点作两圆的公切线或作它们的连心

线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆订交作公共弦。对两圆订交的问题，平常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联

系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

二、添加辅助线的重要方式总结

L中点、中位线，延线，平行线。如遇前提中有中点，中线、中位线等，那么过中点，耽误中线

或中位线作辅助线，使耽误的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平

行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

2.垂线、分角线，翻转全等。如遇前提中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方式，并

借助其

他前提，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴是垂线或角

的平分线。

3.边边若相等，旋转。如遇前提中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角彼此共同，然后把图

形旋转

必然的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中间，因题而异，有

时没有中间。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

4.造角、平移、相似，和、差、积、商。如遇前提中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段

或角的和

差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一样地，有两种方式：第一，造一个辅助

角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积

商见。”

5.两圆若订交，连心公共弦。参加前提中出现两圆订交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

6.两圆相切、离，连心，公切线。如前提中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外

离），那么，

辅助线往往是连心线或内外公切线。

7.切线连直径，直角与半圆。参加前提中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现

直角；

相反，前提中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互

为辅助线。

参加前提中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，前提中有半

圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。

8.弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅

助线。如遇

平行线，则平行线间的间隔相等，间隔为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的间

隔相等，所夹的弦亦相等，间隔和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，

弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系彼此联想作辅助线。

9.面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在前提和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求

面积），

往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是摸索的关键。如遇多边形，设法割补成三角

形；反之，亦成立。

三、初中几何常见辅助线作法歌诀

人说几何很难题，难点就在辅助线。

辅助线，若何添？掌握定理和概念。

还要受苦加钻研，找出规律凭履历。

辅助线，是虚线，画图注重勿改变

假设图形较疏散,对称旋转去尝试。

根基作图很关犍,寻常掌握要谙练。

解题还要多心眼,常常总结方式显。

切勿盲目乱添线,方式机动应多变。

解析综合方式选,难题再多也会减。

虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

三角形

图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一尝尝看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，耽误缩短可试验。

三角形中两中点，毗邻则成中位线。

三角形中有中线，耽误中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中间等分点。

梯形里面作高线，平移一腰尝尝看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成风俗。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有难题，等量代换少贫穷困难。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有统统线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线卖力辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

参加遇到订交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经由切点公切线。

若是添上连心线，切点必然在上面。

要作等角添个圆，证明问题少难题。

【例题1】（2021广东梅州模拟）如图，ZA0E=ZB0E=15°,EF〃0B,EC±0B,若EC=1,则

EF=.

B

【答案解析】2

【考点解析】作EG±OA于F,

=1c

二1C

VEF/70B,・・・Z0EF=ZC0E=15°,

VZAOE=15",AZEFG=150+15°=30°。

VEG=CE=1,AEF=2Xl=2o

【点拨】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。

【对点练习】如图，在AABC中，AB=AC,BDLAC于D。求证：ZDBC=-ZBAC.

2

【答案解析】见解析。

【试题解答】证明：如图，作AE_LBC于E,则/EAC+NC=90

VAB=AC.-.ZEAG=-ZBAC

2

VBD±AC于D

二ZDBC+ZC=90

AZEAC-ZDBC（同角的余角相等）

即NDBO』ZBAC«

2

【点拨】ZDBC.NBAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“/DBC=%NBAC”中含有角

的倍、半关系，是以，可以做NA的平分线，操纵等腰三角形三线合一的性质，把%NA放在直角

三角形中求解；也可以把NDBC沿BD翻折组织2/DBC求解。

【例题2】（2021江苏常熟）如图，在矩形被力中，AD=3AB=3屈,点尸是力〃的中点，点£在

BC上,CE=2BE,点"、”在线段做上.若△MW是等腰三角形且底角与/困相等，则肠V

【答案解析】6.

【试题解答】作PFLMN于F,如图所示：

则/号k/〃W=90°,

•••四边形/时是矩形，

:.AB=CD,BC=Ag3AB=3FA//=NC=90°,

AB=CD-A/10，BD={AB2+AD2=10，

:点〃是/〃的中点，

22

4PDF=ZBDA,

:ZDFSXBDA,

.•型=里即粤=工，

ABBDV1010

解得：PF=1,

2

,:CE=2BE,

:.BC=AD=3BE,

：.BE=CD,

：.CE=2CD,

：△灯邠是等腰三角形且底角与NMC相等,PF1MN,

：.MF=NF,ZPNF=ZDEC,

*：4PFN=NC=90°,

:.XPNFs丛DEC,

.NF_CE_9

PFCD

：.NF=2PF=ii

・••柳V=2力尸=6

【对点练习】已知，如图，在3BCD中，AB=2BC,M为AB中点

求证：CM±DM

【答案解析】见解析。

【试题解答】证明：耽误DM,CB交于N

N

•••四边形ABCD为平行四边形

AAD=BC,AD/7BC

AZA=ZNBAZADN=NN

又：AM=BM

AAD=BN

ABN=BC

VAB=2BC,AM=BM

ABM=BC=BN

AZI=Z2,Z3=ZN

VZ1+Z2+Z3+ZN=1800,

AZ1+Z3=90°

ACM±DM

【点拨】有以平行四边形一边中点为端点的线段时常耽误此线段.

【例题3】（2021•金华）如图，。。是等边回的内切圆，分别切用，BC,力。于点£；F,D,

户是DF1.一

点，则/诙的度数是（）

A.65°B.60°C.58°D.50°

【答案解析】B

【试题解答】如图，毗邻龙；。尸.求出N反产的度数即可解决问题.

如图，毗邻OE,OF.

是△/1比的内切圆，E,F是切点，

J.OELAB,OFVBC,

:.N0EB=N0FB=9Q°,

勿是等边三角形，

,28=60°,

.♦.N郎=120°,

：.4EPF=X/E0F=6Q°.

【对点练习】（2021江苏徐州）如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，〃为它的中点.过点

。作直线〃1的垂线，垂足为£毗邻如.

(1)求证：4A=/D0B；

(2)如与00有如何的位置关系？请说明来由.

【答案解析】见解析。

【试题解答】(1)证明：毗邻笫

•。为前的中点，ACD=BD.:.NBCgL/B0&

2

/BAC=L/BOC,：.//=/DOB；

2

(2)解：应与。0相切，

来由：•:4A=ND0B,：.AE//0D,

"：DELAE,：.0D1.DE,与。。相切.

E

D

【点拨】涉及圆的宜径的问题，辅助线一样是毗邻半径。

一、挑选题

1.（2021•黔东南州）如图，。。的直径切=20,四是。。的弦，ABLCD,垂足为MOM:OC=

3:5,则丝的长为（）

B.12C.16D.2V91

【答案解析】C

【试题解答】毗邻以，先根据。。的直径勿=20,〃”：加3:5求出如及〃"的长，再根据勾股定

理可求出4"的长，进而得出结论.

毗邻OA,

的直径a?=20,0M;如=3:5,

.,.勿=10,的仁6,

"：ABLCD,

：.AM=>JOA2-OM2=V102-62=8,

：.AB=2AJ/=16.

2.(2021•滨州)在。。中，直径46=15,弦应工儿?于点C若OC:0B=3:5,则〃的长为

()

A.6B.9C.12D.15

【答案解析】C

【试题解答】直接根据题意画出图形，再操纵垂径定理以及勾股定理得出答案.

如图所示：•.•直径48=15,

：.BO=1.5,

*：0C:如=3:5,

：.C0^4.5,

：.DC=VDO2-CO2=6,

:.DE=2DC=12.

3.（2021•天水）如图所示，PA、阳分别与。。相切于4、6两点，点C为。。上一点，毗邻力G

BC,若/e=70°,则N4龙的度数为（）

P

A.50°B.55°C.60°D.65°

【答案解析】B

【考点解析】毗邻物、0B,如图，根据切线的性质得0BLPB,则操纵四边形内角和计算

出N/必=110°,然后根据圆周角定理得到N/曲的度数.

【试题解答】毗邻曲、08,如图，

：/%、阳分别与。。相切于4、8两点,

J.OAVPA,0B1PB,

：./0AP=/()BP=9G,

・・・N/h9侪/片180°,

♦：NP=70；

・・・N/如=110°,

：.ZACB=^ZAOB=55°.

4.如图，直线d〃a将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若Nl=52°,则N2的度数为

（）

A.38°B.52°C.48°D.62°

【答案解析】A

【试题解答】先操纵平行线的性质得出N3,进而操纵三角板的特点求出N4,末了操纵平行线的性

质即可.

如图，过点/作四〃a

・・・/3=Nl=52°,

VZ3+Z4=90°,

AZ4=90°-Z3=38°,

•:a"b、AB//b,

：.AB//a,

・・・N2=N4=38°

B

5.（2021浙江金华模拟）如图，正方形力颇和正三角形力成都内接于。"EF与BC,切分别订交于

点、G,H,则一的值是（）

GH

A.—B.V2C.V3D.2

2

【答案解析】C.

【试题解答】如答图，毗邻AC,EC,AC与EF交于点M.

答图

则根据对称性质，AC经由圆心0,

二AC垂直平分EF,ZEAC=ZFAC=-ZEAF=30°.

2

不妨设正方形16徵的边长为2,则AC=2jL

TAC是O。的直径，/.ZAEC=90°.

在RtAACE中，AE=AC-cosZEAC=2x/2--=76,

2

CE=ACsin/EAC=20'=及.

2

在RtAMCE中，VZFEC=ZFAC=3O°,/.CM=CE-sinZEAC=>/2--=—

22

易知AGCH是等腰直角三角形，GF=2CM=V2.

又：AAEF是等边三角形，AEF=AE=V6.

.EFV6_r-

二、填空题

6.（2021内蒙古呼和浩特）已知正方形4及3的面积是2,E为正方形一边比■在从占到C方向的耽

误线上的一点，若CE=五毗邻4瓦与正方形另外一边⑦交于点月毗邻跖并耽误，与线段小

交于点G则比的长为

【答案解析】冬磐

【试题解答】如图：耽误力以防订交于点〃

•.•正方形力时的面积是2,

：.AB=BC=CDA=^

又CE=®△EFCs△EAB,

.EC_FC_1

一雨而枳

即：尸是a?的中点，

'：AH//BE,

：.4H=NFBC,

/BCF=NHDF=9Q°

：./\BCF^/\HDF(A4s,

:.DH=BC=®

'：AH//BE,

：.AII=ZFBC,Z〃DG=ZBEG

:.△HDG^XBEG,

.DH_1_HG

••而万而

22

在RtA4即中,^=VAB+AH=V10-

.RL2pt,2V10

33

7.（2021江苏常熟）如图，半径为«的。。与边长为8的等边三角形/比1的两边4以a1都相切,

毗邻OC,贝ijtanNOCB=.

【答案解析】运.

5

【试题解答】根据切线长定理得出NOBC=/OBA=L/ABC=30°,解直角三角形求得BD,即可求得

2

CD,然后解直角三角形功力即可求得tan/打方的值.

毗邻OB,作OD1BC于D,

•.•0。与等边三角形4比、的两边48、6c都相切,

:.NOBC=NOBA=LNABC=30°,

2

tanZ.OBC=^~,

BD

小含喳7

3

：.CD=BC-BD=8-3=5,

8.（2021湖北咸宁）如图，半圆的直径45=6,点C在半圆上，N8AC=30则阴影部分的面

积为（成果保留口）.

【试题解答】根据题意，作出符合的辅助线，即可求得切和NC缈的度数,即可得到阴影部分的

面积是半圆的面积减去△4宓和扇形6%的面积.

解：毗邻5、BC,作必，心?于点〃

♦.•直径/8=6,点，在半圆上，N的C=30°,

，ND=90°,/。仍=60°,

.\AC=3y/3,

:/彻=90°,

3平

3如

,阴影部分的面积是：.兀"二~260XnX32=3“_2返

223604

三、解答题

9.(2021•荷泽)如图,在△/a'中，AB=AC,以为直径的。。与留订交于点〃过点〃作。。

的切线交〃、于点E.

(1)求证：DELAC；

(2)若。。的半径为5,a'=16,求〃的长.

BD

【答案解析】见解析。

【考点解析】（1）毗邻4〃、如.先证明N4W=90°,NEDg90°,从而可证明/眦，由

OD=OB可得到NEDA=N0BD,由等腰三角形的性质可知N。片//。，故此/曲加/曲=90°,由

三角形的内角和定理可知/困=90°,于是可得到加二力。

（2）由等腰三角形的性质求出被=徵=8,由勾股定理求出力〃的长，根据三角形的面积得出答

案.

［试题解答］⑴证明：毗邻AD,OD.

,."5是圆。的直径，:.NADB=9Q°.二N4如/。施=90°.

*：DE是圆。的切线，J.ODVDE.：.ZE/)A+ZADO=90Q.：.AEDA=AODB.

OIAOB,：.ZODB=ZOBD.：.乙EDA=NOBD.

'：AC=AB,AD1.BC,

：.ACAD=ABAD.

VZZ®4+ZW=90°,

:.NEAI"/EDA=9Q".

，N〃£4=9O°.C.DEYAC.

(2)解：,:NADB=9Q°,AB^AC,:.BQCD,

:。〃的半径为5,a，=16,...47=10,5=8,

：.AD=>JAC2-CD2=V102-82=6,

11

^AD-DC=/AODE,

10.（2021•福建）如图，4?与相切于点6,4。交。。于点C/O的耽误线交。。于点〃£是

BCD1.不与6,〃重合的点，sin>l=i

（1）求/戚的大小；

⑵若。〃的半径为3,点尸在48的耽误线上，且跖=3追，求证：。「与。。相切.

【答案解析】见解析。

【考点解析】（1）毗邻防，由切线求出N/f比的度数，再由三角函数求出由三角形的外角性质

求得ABOD,末了由圆周解与圆心角的关系求得成果；

(2)毗邻行；OB,证明△加国△〃〃＜；得/如尸班,=90°,便可得结论.

【试题解答】（1）毗邻能如图1,

•."6与。。相切于点用

二/四（7=90°,

Vsin/J=*

，N1=30°,

：./BOQNAB（KNA=120°,

AABED=^ZBOD=60a；

(2)毗邻华OB,如图2,

是切线，

AZC0A=90°,

,:BF=3W,08=3,

:.tanNBOF=露=瓜

・・・N而/=60°,

•・•/%=120°,

：・/BOF=/DOF=6。；

在△aF和中,

OB=OD

Z-BOF="OF,

OF=OF

：./\BOF^/\DOF(S4s

：.ZOBF=ZODF=90°,

・・・皮与。。相切.

1L在等腰直角aABC中，ZACB=90°,P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），毗邻AP,耽

误BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH±AP于点H,交AB于点M.

(1)若NPAC=a,求NAMQ的大小(用含a的式子示意)

(2)用等式示意线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.

【答案解析】见解析。

【试题解答】(D由等腰直角三角形的性质得出NBAC=/B=45°,ZPAB=45°-a,由直角三角形

的性质即可得出结论；

(2)毗邻AQ,作ME_LQB,由AAS证明AAPC丝Z\QME,得出PC=ME,ZXAEB是等腰直角三角形，由

等腰直角三角形的性质即可得出结论.

解：(1)ZAMQ=45°+a；来由如下：

ZPAC=a,AACB是等腰直角三角形，

.../BAC=NB=45°,ZPAB=45°-a,

VQH1AP,

AZAHM=90°,

/.ZAMQ=180°-ZAHM-ZPAB=45°+a；

(2)PQ=«MB；来由如下：

毗邻AQ,作ME_LQB,如图所示:

VAC±QP,CQ=CP,

.,.ZQAC=ZPAC=a,

/.ZQAM=450+a=ZAMQ,

；.AP=AQ=QM,

VNQE=ZPAC

在AA