XXXX中学高二年段上学期第一次月考数学试题及答案

XXXX中学高二年段上学期第一次月考数学试题考试范围：立体几何、直线方程、圆的标准方程一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线l的方程为xsinα+3y-1=0，αA.0,π3∪23π,π 2.已知向量m=2,-4x,1是平面α的法向量，n=6,12,-3y是直线lA.-4 B.4 C.-2 3.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax+y+b=0和直线lA. B.

C. D.4.设m∈R，直线l1:m+2x+6y-2m-8=0，lA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.点(5,2)到直线(m-1)x+(2mA.13 B.213 C.6.圆x2+y2+2x-6A.23 B.203 C.47.已知点P(-1,1)与直线l:x-y+1=0A.过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直

B.过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有2条

C.点P关于直线l的对称点坐标为(0,2)

D.直线l关于点P对称直线方程为x8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(-1,-4)，若将军从点A(-1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3，则“将军饮马”的最短总路程为A.13 B.17 C.2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知点A2,0，B-2,0，直线l：1+3λx-1+2λy+2=0(其中λ∈R)，若直线A.0 B.1 C.2 D.410.已知空间向量a=(-2,-1,1)，b=(3,4,5)，则下列结论正确的是(

)A.(2a+b)//a

B.若c=(0,1,λ)与a，b共面则λ=1311.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱BC，CCA.任意，t∈[0,1]，三棱锥M-DD1Q为定值

B.若t=1，则过点M，P，Q的截面面积是92

C.若t=12，则点A1到平面MPQ12.瑞士数学家欧拉(LeonharEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A(-4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x-A.△ABC重心的坐标为(-13, 23)或(-23, 13)

B.△ABC垂心的坐标为(0, 2)或(-2, 0)

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若直线l

经过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点，且点14.两条直线y=x+2a，y=2x+a的交点P15.已知点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)为空间三点，则以AB，AC为邻边的平行四边形ABDC的顶点D的坐标为

.平行四边ABDC的面积为16.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为5；乙：该圆经过点3,3；丙：该圆的圆心为2,1；丁：该圆经过点7,0.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是

，此时圆的标准方程为_________________________(

)四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)已知点A(1,-2)，B(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A，B且圆心C在直线2x-18.(本小题12.0分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且AP与AB、AD的夹角都等于60°，M在棱PC上，PM=12MC(Ⅰ)试用a，b，c表示出向量BM；(Ⅱ)求BM与AP所成的角的余弦值．19.(本小题12.0分)已知点A(-2,1)，B(1,-5)(Ⅰ)求AB边上的高的直线方程；

(Ⅱ)求ΔABC的面积；(III)过C的直线l到A，B两点距离相等，求l20.(本小题12.0分)

如图1，在△MBC中，MA是BC边上的高，MA=3，AC=4.如图2，将△MBC沿MA进行翻折，使得二面角B-MA-C为90°，再过点B作BD/​/AC，连接AD，CD，MD，且AD=23，∠CAD=30°．

(1)求证：CD⊥平面MAD；21.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，BC=AB=12AD=1，PA=PD=10，平面PAD⊥平面ABCD，点M为棱PD上动点．

(1)当M为PD的中点时，平面PAB⋂平面22.(本小题12.0分)

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．

(1)如果PD=4，求证：PC⊥平面MAD；

(2)当BP与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥D-MBC答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于中档题．

计算

k∈-33,33【解答】解：

xsinα+3y-设直线

l

的倾斜角为θ(0⩽θ<π)所以当

k∈0,33

时，直线

l

当

k∈-33,0

时，直线

l综上所述：直线

l

的倾斜角

θ故选：B．2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查平面法向量，属于基础题。

由

l⊥α

可得

m【解答】解：因为

l⊥α

，故

m//n

，故则

2,-4x,1=λ6,12,-3y则

x+y故选：C．3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了直线的斜率、截距的意义，属于基础题．

分别从两直线的斜率与截距两方面依次分析各选项即可．【解答】解：直线l1：ax+y+b=0和直线l2：bx+y+a=0分别化为：l1：y=-ax-b，l2：y=-bx-a．

A，直线l1的截距-b>0，则b<0，直线l2的斜率-b<0，则b>0，矛盾，故A错误；

B，直线l1的截距-b<0，斜率-a<0，则a>0，b>0，直线l2的斜率-b<0，截距-a<0，则a4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了两直线平行的充要条件及命题间的充要关系，属基础题．

由l1//l【解答】

解：若l1/​/2，则2m(m+2)=6(m+1)(m+2)≠-(2m+8)，解得m=15.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了直线系方程的应用、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

先求出直线(m-1)x+(2m-1)y=m【解答】

解：直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5，

即m(x+2y-1)+(-x-y+5)=0，

令x+2y-6.【答案】D

【解析】【分析】本题考查圆的对称性的应用，利用基本不等式求最值，是中档题，解题时要注意圆的性质的合理运用．

求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】

解：∵圆x2+y2+2x-6y+1=0⇔(x+1)2+(y-3)2=9，

圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax7.【答案】A

【解析】【分析】本题考查直线方程的应用，属于中档题．

对于A：分别求出截距为0和截距不为0进行讨论，求出过点P且截距相等的直线y=-对于B：直接求出过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线；对于C：直接求出点P关于直线l的对称点坐标0,0，即可判断；对于D：直接求出直线l关于点P对称直线方程，即可判断．【解答】解：已知点P(-1,1)与直线l对于A：当截距为0时，直线y=-x与直线当截距相等且不为0时，可设直线：xa+y所以过点P且截距相等的直线y=-x与直线l垂直，故对于B：过点P的直线与坐标轴围成三角形存在，所以斜率必存在且不为0，可设其为k，则直线为y-1=kx+1，所以三角形的面积为12|1+k||1+对于C：设点P关于直线l的对称点坐标x,y，则有y-即点P关于直线l的对称点坐标0,0，故C错误；对于D：设直线l关于点P对称直线方程为x-y+c=0,c≠1，则有-1-1+c1+1故答案选：AB．8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查点线间的对称问题，两点间距离公式的应用，属于中档题．作出图形，求出点B关于直线x+y=3的对称点C的坐标，在直线x+y=3上取点P，利用A、【解答】解：如图所示，设点B关于直线x+y=3由题意可得a-12+在直线x+y=3上取点P所以|PA|+|PB|=|PA|+|PC|≥|AC因此，“将军饮马”的最短总路程为2故选C．9.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查直线斜率公式的运用，直线过定点问题，属于中档题．由题意可得直线l恒过定点P(4,6)，所以要直线l与线段AB有公共点，必须满足kPB≤【解答】解：由1+3λx-由x-y+2=03x-2y=0，解得x因为点A2,0，B-2,0，直线l所以直线l的斜率k满足：kPB≤k≤kPA，

即6-04-(-2)故选：BC．10.【答案】BD

【解析】【分析】本题考查了空间向量的投影，模长，向量垂直、平行的坐标表示，属于中档题．

根据空间向量的坐标运算结合空间向量的投影，模长，向量垂直、平行的坐标表示，逐一判断即可．【解答】解：由题得2a+b=(-1,2,7)，a=(-2,-1,1)，而因为|a|=6，|b|=5因为5a+4b=2,11,25，

所以因为a在b上的投影数量为|a|cos<a，b>=a11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查线面平行的判定，考查空间几何体的截面问题，考查点面距离，考查直线与平面所成角，属于难题．

t=1时，点M与点A重合，易得A1B1/​/AB，由AB与平面MPQ相交于点A，可推导出A1B1与平面MPQ的位置关系从而判断A；易得点M(A)，P，Q，D1共面，可知过点M，P，Q的截面是等腰梯形APQD1，再结合正方体的结构特征及勾股定理求解即可得到过点M，P，Q的截面面积，从而判断B；t=12时，点【解答】

解：若t=1，则点M与点A重合，

正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1/​/AB，

AB与平面MPQ相交于点A，

所以A1B1与平面MPQ相交，不平行，故A错误；

连接AD1，

显然正方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ//AD1，

则点M(A)，P，Q，D1共面，

所以过点M，P，Q的截面是等腰梯形APQD1，

正方体棱长为2，

P，Q分别是棱BC，CC1的中点，，

所以BP=CP=CQ=1，AB=2，

则由勾股定理可得：PQ=CP2+CQ2=2，

AP=AB2+BP2=5，

AD1=AD2+D1D2=22，

则等腰梯形APQD1的高h=AP2-AD1-PQ22=322，

所以等腰梯形APQD1的面积S=12.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法，属于中档题．

设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．设欧拉线与BC交于点D，则CDCB=2【解答】

解：∵AB的中点为(-2,2)，且kAB=4-00-(-4)=1，

所以AB的中垂线方程为y-2=-(x+2)，即x+y=0，

联立x+y=0x-y+2=0，解得x=-1y=1．

∴△ABC的外心为(-1,1)，

设C(m,n)，由重心坐标公式(X1+X2+X33

，Y1+Y2+Y33

)得，

三角形ABC的重心为-4+m3,4+n3，

代入欧拉线方程得：-4+m3-4+n3+2=0，整理得：m-n-2=0

①

又外心为(-1,1)，

所以(m+1)2+(n13.【答案】3x+4y【解析】【分析】本题主要考查两条直线的交点坐标，以及利用点到直线的距离求斜率．

求出交点坐标，对l的斜率是否存在进行分类讨论，进而可得结果．【解答】

解：将

l1,l当直线l

的斜率不存在时，方程为x=1，显然点P-1,1到直线l

当直线l

的斜率存在时，设直线l

的方程为y-2=k根据题意，得-2k+1∴直线l

的方程为3x综上，直线l

的方程为3x+4y故答案为：3x+4y14.【答案】(-1【解析】【分析】本题考查两直线的交点和点与圆的位置关系，属中档题．

先求出两条直线的交点P，利用点在圆内时满足的条件即可得出．【解答】解：联立y=x+2ay=2x+a，解得x=ay=3a，

∴两条直线y=x+2a，y=2x+a的交点P(a,3a)，15.【答案】(-1,-2,8)

【解析】【分析】本题考查点的坐标的求法，考查空间向量、向量相等等基础知识，属于中档题．

设以AB，AC为邻边的平行四边形ABDC的顶点D的坐标为D(x,y,【解答】

解：∵点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)为空间三点，

设以AB，AC为邻边的平行四边形ABDC的顶点D的坐标为D(x,y,z)，

∴AB=CD，即(-2,-1,3)=(x-1,y16.【答案】丁

x-【解析】【分析】本题考查圆的标准方程，

通过假设的方法判断出错误的同学．【解答】解：设

A3,3,假设甲错误，乙丙丁正确，AB=AB≠BC假设乙错误，甲丙丁正确，由甲、丙正确可知圆的方程为

x-2C7,0

假设丙错误，甲乙丁正确．由乙丁得

AC=42+3假设丁错误，甲乙丙正确，则由甲丙可知圆的方程为

x-2A3,3

综上所述，结论错误的同学是丁．故选：D17.【答案】解：(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．

即AB中点(0,1)为圆心，半径r=12|AB(2)解法1：AB的斜率为k=4-(-2)-1-1=-3，

则AB的垂直平分线的斜率为13，

又AB的中点坐标为(0,1)，

则又圆心在直线2x-y-4=0上，得两直线交点为圆心，联立

xr=|AC|=1-32解法2：待定系数法设圆的方程为：(x则(1-∴圆的方程为：(x

【解析】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设条件求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，属于基础题．

(1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程．

(2)解法一：AB的斜率为k=-3时，则AB的垂直平分线的方程为x-318.【答案】解：(Ⅰ)∵PM=12MC，

∴BM=BC+CM=BC+23CP

∵ABCD是边长为1的正方形，

∴CP=AP-AC=AP-(AB+AD)

=AP-AB-AD，

BC=AD，

∴BM=AD+23(AP-AB-AD)

=-【解析】本题考查空间向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．

(Ⅰ)根据向量加法法则，化简即得用a，b，c表示向量BM的式子；

(Ⅱ)利用空间向量夹角公式进行求解即可．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，得kAB=1-(-5)-2-1=-2．

∵l⊥AB，∴kl=12．

则l的方程为y-3=12(x-2)，即x-2y+4=0．

(Ⅱ)面积S=15

过程略

(III)若l的斜率不存在，则l的方程为x=2，

A，B两点到l的距离分别为4和1，不合题意，

故l的斜率存在，设l的斜率为k，

【解析】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率，两条直线垂直的判定，直线的点斜式方程，点到直线的距离的应用，属基础题．

(Ⅰ)根据已知及直线的倾斜角与斜率，两条直线垂直的判定，直线的点斜式方程，直接可求出直线l的方程，

(Ⅱ)注意分类讨论，结合点到直线的距离的计算，即可求出斜率k的值，则l的方程可求．20.【答案】解：(1)证明：在△ADC中，AC=4，AD=23，∠CAD=30°，

∴CD=42+(23)2-2×4×23×cos30°=2，

∴AD2+CD2=AC2，∴AD⊥DC，

∵MA⊥AB，MA⊥AC，AB∩AC=A，AB、AC⊂平面ABCD，

∴MA⊥平面ABCD，

∵CD⊂平面ABDC，∴CD⊥MA，

∵AD∩MA=A，AD、MA⊂平面MAD，

∴CD⊥平面MAD．

(2)由题意知AM，AB，AC两两垂直，∠BAD=60°，

如图，以A为坐标原点，AB，AC，AM所在直线分别为x，y【解析】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(1)由余弦定理求出CD=2，由勾股定理求出AD⊥DC，由MA⊥AB，MA⊥AC，得MA⊥平面ABCD，从而CD⊥MA，由此能证明CD⊥平面MAD．

(2)以A为坐标原点，AB，AC，AM21.【答案】解：(1)延长AB，DC交于Q，连接PQ．则易知PQ为平面PAB与平面PCD的交线，即：PQ与l重合.

由题意，在△ADQ中：BC//AD故C为DQ的中点．又∵M为PD的中点，∴又∵MC⊂平面ACM，PQ⊄̸∴PQ//平面ACM，即l//(2)取AD的中点O，连接OP，OC，由题意可得：OP⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，则OP⊥平面∴分别以OC，OA，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-则A(0,-1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)

DP=(0,-1,3)，AD=(0,2,0)，∵M在棱PD上，不妨设DM其中0≤∴AM设平面MAC的一个法向量为m=(则m⋅AM=0令z=2-λ解得：y=-3λ又∵平面ACD的一个法向量n=(0,0,1)∴|cos<m，