矩阵代数上保秩的可乘映射

矩阵代数上保秩的可乘映射

0结构自适应的一般框架在过去的100年里，线性保持问题一直是矩阵理论中最活跃的研究领域之一。线性保留问题可以追溯到19世纪，在矩阵代和算子代的条件下，为了保持给定算子的属性，线性映射研究了保持矩阵代和算子代相对应的抽象线性映射。在许多情况下，线性映射实际上是代的自合或代的反自合结构。从新的角度来看，矩阵代和算子代之间的代数和线性结构之间的本质关系可以从以下几个方面来考虑。当然，可以考虑如何保持矩阵代和算子代的绝对算子结构的抽象，即。为了保持给定算子的属性，并对其进行积分，（即满足条件（ts）=（t）（s）的映射）。然而，由于问题的复杂性，我们很少有文章关于法面积小的几个问题进行初步研究。1994年Hochwald在文献中率先对矩阵代数上可乘保持问题进行了探讨,证明了矩阵代数上保谱的可乘映射是矩阵代数上的自同构.本文的目的是对矩阵代数上可乘映射及其保持问题作进一步讨论.首先介绍一些常用符号与基本概念.设F为任意数域,n为自然数,我们用Mn(F)表示数域F上的n×n矩阵全体构成的代数.{e1,e2,…,en}是内积空间Fn的标准基,〈x,y〉=y*x表示Fn中的向量x与y的内积.令Ρj:F→Mn(F)且Ρj(b)=diag{0,0,⋯,0,b,0,⋯,0}其中第j个元为b.Eij是除第(i,j)个元是1,其余元是0的n×n矩阵.当T∈Mn(F)视为从Fn到其自身的算子时,R(T),rankT,σ(T),和r(T)分别表示算子T的值域、秩、谱和谱半径.1mnfmnf的秩不增-秩不增-网络结构本节的主要目的是讨论矩阵代数Mn(F)上保秩的可乘映射.令k为正整数,Φ为Mn(F)到其自身的映射,若rankΤ=k⇒rankΦ(Τ)=k则称Φ是保k-秩的.若对任意的T∈Mn(F),有rankΦ(Τ)=rankΤ则称Φ是保秩的.若对T∈Mn(F)有rankΦ(Τ)≤rankΤ则称Φ使T秩不增.定义1.1设A,B是F上的代数,τ是F上的同态.若Φ:A→B为环同态且满足Φ(λΤ)=τ(λ)Φ(Τ)(λ∈C‚Τ∈A)则称Φ是从A到B的τ-代数同态.保一秩线性映射的刻画是线性保持问题研究的关键问题之一.有许多线性保持问题均与之有关.受此启发,我们相信保一秩可乘映射的刻画也应是乘法保持问题研究的关键.因此,我们首先讨论了Mn(F)上的使某个一秩矩阵秩不增的可乘映射,得到下面的定理.定理1.2设Φ:Mn(F)→Mn(F)为可乘映射.如果Φ使某个一秩算子的秩不增,则Φ具有下列三种形式之一:(1)把秩不超过一的矩阵都映为0矩阵;(2)关于空间分解Fn=Μ0˙+Μ1,对任意的T∈Mn(F)都有Φ(Τ)=[100Φ0(Τ)]其中,M0=R(Φ(0)),dimM0=1,M1是M0在Fn中的补空间.Φ0:Mn(F)→B(Μ1)≅Mn-1(F)是把秩不超过一的矩阵都映为0矩阵的可乘映射.(3)存在F上的保单位的环同态τ和非奇异矩阵R∈Mn(F)使得Φ((tij))=R-1(τ(tij))R((tij)∈Mn(F))即Φ是Mn(F)上的τ-代数同态.定理1.3设Φ:Mn(F)→Mn(F)是一个可乘映射,则下列叙述等价:(1)Φ是保秩的;(2)存在一秩矩阵T0使得Φ(T0)≠0且Φ是秩不增的;(3)存在一秩矩阵T0使得Φ(T0)≠0且Φ是幂等元秩不增的;(4)存在F上的保单位的单射环同态τ和非奇异矩阵R∈Mn(F)使得Φ((tij))=R-1(τ(tij))R((tij)∈Mn(F))即Φ是Mn(F)上的τ-代数同态.下面给出矩阵代数上的一般的可乘映射的结构定理.定理1.4设Φ:Mn(F)→Mn(F)是可乘映射,则Φ具有如下结构之一:(1)Φ把秩不超过一的矩阵都映为0矩阵;(2)按照空间分解Fn=Μ0˙+Μ1对任意的T∈Mn(F)都有Φ(Τ)=[Ι00Φ0(Τ)]其中,M0=R(Φ(0))≠0,dimM0=k≤n,M1是M0在Fn中的正交补空间.Φ0:Mn(F)→B(Μ1)≅Mn-k(F)是把秩不超过一的矩阵都映为0矩阵的可乘映射.(3)存在F上的保单位的环同态τ和非奇异矩阵R∈Mn(F)使得Φ((tij))=R-1(τ(tij))R((tij)∈Mn(F))2为有秩序二化的mn利用上节的结果,我们进一步讨论了矩阵代数上的乘法保持问题.令F=C,将Mn(C)简记为Mn.对于T=(tij)∈Mn,记Τ¯=(tij¯).若对任意的矩阵T有r(T)=r(Φ(T)),则称Φ是保谱半径的.类似地,可定义Φ的保谱性.显然,Φ是保谱的一定是保谱半径的,从而下述定理推广了Hochwald的相应结果.定理2.1设Φ:Mn→Mn为可乘映射,Φ是保谱半径的充分必要条件是存在非奇异矩阵R使得Φ(Τ)=R-1ΤR(Τ∈Mn)或Φ(Τ)=R-1Τ¯R(Τ∈Mn)成立.即Φ是Mn上的自同构或共轭自同构.另外,我们还有定理2.2设Φ:Mn→Mn为可乘映射,则Φ是保数值域半径的充分必要条件是存在酉矩阵U∈Mn使得Φ(Τ)=U*ΤU(Τ∈Mn)或Φ(Τ)=U*Τ¯U(Τ∈Mn)成立.定理2.3设Φ:Mn→Mn为可乘映射,则Φ是保正(或保自伴)的充分必要条件是Φ具有下列形式之一:(1)Φ是保正(保自伴)的且把秩不大于一的矩阵都映为0矩阵;(2)关于空间分解Fn=Μ0+˙Μ1,对任意的T∈Mn都有Φ(Τ)=[Ι00Φ0(Τ)]其中,M0=R(Φ(0)),dimM0=k≤n,M1是M0在Fn中的补空间.Φ0:Mn→B(Μ1)≅Mn-k是把秩不超过一的矩阵都映为0矩阵的保正(保自伴)的可乘映射.(3)存在酉矩阵U∈Mn使得Φ(T)=U*TU(T∈Mn)或Φ(Τ)=U*Τ¯U(Τ∈Mn)成立.定理2.4设Φ:Mn→Mn为可乘映射.则Φ是保正规(或保酉)的充分必要条件是Φ具有下列形式之一:(1)Φ是保正规(或保酉)的且把秩不大于一的矩阵都映为0矩阵;(2)关于空间分解Fn=Μ0+˙Μ1,对任意的T∈Mn都有Φ(Τ)=[Ι00Φ0(Τ)]其