2021年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（文科）（一卷）（3月份）附答案解析

2021年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（文科）（一卷）（3

月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若集合翻=口，第=鹫挪=和.产=再可，翻n蹲=（）。

A.晨|B.斜。|C.飒呵ID.

2.已知平面a及直线a,b,则下列说法错误的个数是（）

①若直线a,b与平面a所成角都是30。，则这两条直线平行；

②若直线a,b与平面a所成角都是30。，则这两条直线不可能垂直；

③若直线a,。垂直，则这两条直线与平面a不可能都垂直；

④若直线a,b平行，则这两条直线中至少有一条与平面a平行.

A.1B.2C.3D.4

3.体积为4正比的球的内接正方体的棱长为（）.

A.七B.2C•@D.思

4.复数2=罕（其中i为虚数单位）的实部是（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.如图，一个不透明圆柱体的正视图和侧视图（左视图）为两全等的正方形，若

将它竖直放在桌面上，则该圆柱体在桌面上从垂直位置旋转到水平位置的过

程中，其在水平桌面上的正投影不可能是（）

B.」两端为半圆形中间为矩形

C.*1两端为半椭圆形中间为矩形

,

D.正方形

6.等比数列｛斯｝的前〃项和为%，已知%=2014,且即+2%+1+即+2=05€7”),则S2014=

()

A.2013B,2014C.1D.0

7.下列函数既是偶函数又是周期为兀的函数是()

A.y=cos(x—B.y=sin2x—cos2x

x

C厂.y=cos2z-D.y=tan2x

8.已知［1,3］是函数+龌的单调递减区间，则实数a的取值范围是()

，1:131D.I-,+⑹

A.(--X，—B.｛—X，1

ciM三iI、f

9.已知二次函数y=/(%)的图象与％轴的交点为(一1,0)和(4,0),与y轴的交点为(0,4),则该函数的

单调递减区间为()

A.(-8.|]B.[|,+8)C.(-00,-1]D.[4,+oo)

10.函数f(x)=(“一》cos3x的部分图象可能为()

11.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角

形，各项点依次为，"1，”3，…“6则”遇2,44，J€

[1,23…6D的值组成的集合为()

A.{-2,

11

B.{-2,-1,--,0,-,1,2)

C・{一]T，W，0，”g

D.。{1-2,，—2，,—1,，—2，,0，,2-,，1,，一2，2}1

■,

12.已知对k6R,直线y-kx-l=。与椭圆二+二=1恒有公共点，则实数m的取值范围是

<w?

()

A.(0,1)B.(0,5)

C.[1,5)D.[1,5)u(5,+8)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.求值：27:-2，。死3*/0922=

8

14.如图给出的是计算1+J+3+…+焉的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是

。D4U1(S

15.在AABC中，BC=3,AB=2,且簿=|(遍+D，则力=.

16.已知点P在双曲线M一丫2=a2^a>0)的右支上,人,4分别是双曲线的左、右顶点，且乙4zP&=

2z.PArA2,贝i」NPAp42=.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在数列Ra*｝中,k=L34—+a*―3=0(〃22/eT).

(1)求数列师的通项；

(2)若，a,：-a.SO对任意的正整数由恒成立,求实数|T的取值范围.

18.如图，平行四边形ABCD中，AB1BD,AB=2,BD=&,沿BD将△BCD折起，使二面角4一

BD-C是大小为锐角a的二面角，设C在平面ABD上的射影为0.

⑴求证：OD//AB；

(2)当a为何值时，三棱锥C-OAD的体积最大？最大值为多少？

19.为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽取30名高中生的身高编成如图所

示的茎叶图(单位：cm)；若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175以下

(不包括175cm)定义为“非高个子”.

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从5人中选2人，那么至少有

一人是“高个子”的概率是多少？

(2)用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生(人数很多)中选3名，用f表示所选3人

中“高个子”的人数，试写出§的数学期望.

15778999

1612458899

18011247

191

20.已知抛物线y2=4x的焦点为尸2,点&与尸2关于坐标原点对称，以F2为焦点的椭圆C,过点

(1岁,

(I)求桶圆C的标准方程；

(H)设7(2,0),过点尸2作直线，与椭圆C交于4B两点，且用=4顺，若46求|德+而『

的最小值.

21.已知函数/(x)=Inx+ax2+(a+2)x+l(a6R).

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)设aeZ,对任意x>0,/'(x)SO的恒成立，求整数a的最大值.

22.在直角坐标系xOy中，设倾斜角为a的直线：｛；二战黑«为参数)与曲线仁:器气

为参数)相交于不同的两点4B.

(1)若a=g,求线段4B的长度；

(2)若直线的斜率为日，且有已知点P(2,g),求证：\PA\-\PB\=\OP\2.

23.、(/1)已知c>a>&>0,求证：r——n—>r——nr；

(2)已知a>0,b>0,a+b=l,求证：(1+^)(1+i)>9.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：试题分析：由题意可知黜=蒯赭礴魂=《一网,士|,所以嘉门殿=瓣3|.

考点：本小题主要考查集合的运算.

点评：求解集合的运算，要借助数轴辅助解决，要看清集合中的元素是什么.

2.答案：C

解析：解：①若直线a,b与平面a所成角都是30。，则这两条直线平行，错误，如图：

在直线a上取一点4作24]la,在直线b上取一点B,作B/la.

可以使乙4。&=4BOB1=30。，但a与b不平行：

②若直线a,b与平面a所成角都是30。，则这两条直线不可能垂直，错误，

上图中在NAOAi==30。时，可以使N40B=90。，即a1b；

③若直线a,b垂直，则这两条直线与平面a不可能都垂直，正确.

原因是若a与b与平面a都垂直，则。〃从a与b不垂直；

④若直线a,b平行，则这两条直线中至少有一条与平面a平行，错误，如a,b都垂直平面a.

••・说法错误的个数是3个.

故选：C.

作图说明①②错误；由直线与平面垂直的性质说明③正确：举例说明④错误.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，

是中档题.

3.答案：B

解析：设球的半径为R，由二兀R3=4将兀得/?=6,设球的内接正方体的棱长为a,则&a=2将,

察

:•a=2.

4.答案：C

解析：解：因为2=华=陪3=l-2i,

I1(-1)

所以复数Z的实部为1,

故选：c.

先化简复数Z,再根据实部的概念即可求解.

本题考查了复数的运算性质，实部的概念，属于基础题.

5.答案：B

解析：解：由题意知几何体正视图和侧视图(左视图)为两全等的正方形，

则几何体是一个底面圆的直径与母线长度相等的圆柱，

在该圆柱体在桌面上从垂直位置旋转到水平位置的过程中，

两端不可能出现半圆形，

故选:B.

几何体是一个底面圆的直径与母线长度相等的圆柱，在该圆柱体在桌面上从垂直位置旋转到水平位

置的过程中，两端不可能出现半圆形，得到结论.

本题考查简单快捷图形的三视图，本题解题的关键是想象出在几何体反转的过程中，投影的变化情

况.

6.答案：D

解析：解：设等比数列｛即｝的公比为q，

aa

n+2(Zn+l+n+2=0(n€N*),

:.czn(l+2q+q2)=0,

解得q=-1.

,e_―严力_

")2014--

故选：D.

设等比数列｛斯｝的公比为q，利用通项公式及其即+2an+1+即+2=0(n6N*),可得斯(1+2q+

q2)=0,解得q=-1,再利用等比数列的前n项和公式即可得出.

本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

7.答案：B

解析：解：y=cos(x-y)=-sinx,可求其周期为2兀，故A不满足条件；

y--sin2%-cos2%=-cos2x,由余弦函数的奇偶性及周期性可求此函数既是偶函数又是周期为兀的

函数，故B满足条件；

y=cos21=|+|cosx,可求其周期为2兀，故C不满足条件;

y=tan2x,可求其周期为：，故。不满足条件；

故选：B.

由三角函数的周期性及其求法依次求得各个选项的周期，即可判断.

本题主要考查了诱导公式，三角函数恒等变换，三角函数周期性及其求法等知识的应用，属于基本

知识的考查.

8.答案：A

解析：解：函数了=一丁+4s抛物线开口向下，它的对称轴为：％=2a,单调递减区间为［2a,+8),

二［1,3］是单调递区间时2a<1,即.

故选：A.

9.答案：B

解析：

由题意可设/Xx)=a(尤一4)(x+l),代入(0,4),可得a的值，即有/(x)的解析式，求得对称轴，可

得递减区间.本题考查二次函数的解析式的求法，以及单调区间，考查运算能力，属于基础题.

解：二次函数y=/(%)的图象与x轴的交点为(一1,0)和(4,0),

可设/(*)=a(x-4)(x+1),

代入(0,4),可得4=-4a,

解得a=-1,

即有/(x)=-x2+3%+4,

对称轴为尤=

则/'(%)的单调递减区间为［|,+8).

故选：B.

10.答案:B

解析：

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法是解决本题的关键，

是中档题.

判断函数的定义域，利用函数的奇偶性和对称性，以及当0<“<聿时，/(x)<0,利用排除法进行

判断即可.

解：函数/(X)的定义域为{x|x#0},

/'(r)=(r+>cos(-3x)=-(X-：)cos3x=-/(X),即/'(久)是奇函数，图象关于原点对称，排除

A,C,

当0<尤<，时，cos3x>0,x<：，即/(%)<0,排除D,

故选:B.

11.答案：D

解析：解：对向量值分成以下几种类型：

边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形44244,它其它小三角形边上的向量相等；

大三角形4遇346边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：

4通2-4遇2=114遇2-^2^1=-L4遇2,4遇4=P4遇2,A4Al——4送2,人2人4—4遇2'

-.1)------->------->------->------->------->------->------->------->------->

=2,4遇2,4遇3=2,4遇2,A”1=-2,A]^A2•AiA6=1>AtA2-A6At=—1>AtA2,A3A6=

-L&A；1^6^3=L”遇2-4遇5=I,4遇2,^5^1=—I,4血,4344=—,'4"2,^4^3=|’5斗；,

42“6=”142-^6-^2=。；

所有值组成的集合为{1,一13,一：,2,—2,|,-1,0}.

故选：D.

通过观察图形知道向量而分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量,

③大三角形中线向量，这样求出每种情况下再豆•百看的值，从而求得答案.

考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点.

12.答案:D

解析：解：•.•椭圆£+贮=上••・照泊嘱且勃濯为，直线展-魁：-』=酬亘过定点解既，欲使其与椭

3箱

圆£+贮=111恒有公共点，只需让斛项落在椭圆内或者椭圆上，即：-<1,故选

3地阿

D.

13.答案:18

解析：

本题考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题.

直接利用指数与对数的运算性质进行求解即可.

3X

解：27:一2。比3xiog21=33-3X(-3)=9+9=18.

故答案为18.

14.答案：iW1007

解析：

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S

的值.

算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视.程序填空也是重要

的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其

中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，本题

属于基础题.

解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：

第一次循环：5=0+1,1=1,

第二次循环：S=l+|,1=2,

第三次循环：S=1+|+1,i=3,...

依此类推，第1007次循环：S=l+5+g+“-+募+念，1=1008,此时不满足条件，退出循环

其中判断框内应填入的条件是：i<1007.

故答案为：iW1007.

15.答案：120°

解析：解：---AB=2,且党=复遍+1),

sinB5、/

.../=久历+1),

:.AC—V6—1,

遍-

COSA=4+(r—1)2~-91,

2X2X(V6-1)2

•••A=120°,

故答案为：120°.

利用正弦定理，可得AC,再利用余弦定理，可求4.

本题考查正弦定理、余弦定理的运用，属于基础题.

16.答案：I

解析:解：设=%则“&X=3a.设P(%,y),-a,0),&@。).

P4的斜率41=tana=£,的斜率42=tan3a=£

2

vkik7--^―x-^―=~^——1,-tanatan3a—1,二tarda=cota=tan(7—a).

x+ax-ax2-a22

,•13a是锐角，必有3a=?-a,二a=g.

No

故答案为%

由题意设NPAi4=a,贝叱P&X=3a.利用坐标表示出P4的斜率，P%的斜率，借助于双曲线的方

程得出斜率之积为1,从而可求.

本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题时利用双曲线的方程得出斜率之积为1是关键.

17.答案：(1)即=必］：(2)；1€(-81］.

解析：试题分析：⑴将3而即_1+an-即_1=0(n>2)整理得：—(n>2),可得｛工

anan-lan

｝为等差数列，由此求出数列｛'｝的通项公式，即可求得数列｛a“｝的通项公式；

an

(2)把(1)求得的结果代入;1即-即+1SO,分离参数，得到/IS—W,转化为求函数的最小值即可解

an

决；

试题分析：(1)由题意知数列各项不为0,

金11

由3andn_i+an—即_1=0,得3+-------=0,

an-1an

所以1~-―-―-3(n)2),

anan-1

所以数列｛工｝为等差数列，首项为1,公差为3,

an

则」-=l+(n-l)-3=3n-2,所以即=丁三；

&nJn_2

(2)若;-an+i<0恒成立，即4〈亘以恒成立，整理得：4〈蓼¥=1—/^,

an3n+l3n+l

设可知f(X)在X€(-W，+8)上单调递增，

3x+l3

31

所以当九=1时，［1-----Amin=一,

3n+l4

所以；I的取值范围为ae

考点：构造法求数列的通项公式，数列递推式.

18.答案：解:(1)•••C。1平面ABD,

CO1BD,

•：BD1CD,CDCCO=C,

■■■BD1平面ocn

又。0U平面COO,

•••BD1.0D,

AB1BD,

.-.AB//OD.

⑵由题知。。为CD在平面48。上的射影，

vBDLCD,C01平面

BD1OD,

Z.ODC=a,

VC-AOD="AAODOC=\\ODBDOC=^ODOC

5JNo

=­•CD•sina-CD-cosa

6

V2./在

=——sin2oa<——，

33

当且仅当s沅2a=1,即a=45。时取等号，

・・.当a=45。时，三棱锥。一4CD的体积最大，最大值为它.

3

解析：（1）首先，得到BD_L平面C。。，然后，得到BD10D,从而得证；

（2）根据射影，得到BD1。。，然后，根据体积公式，得到%SOD=9SA,

yD-0C,从而求解体积.

本题重点考查了空间中垂直关系、平行关系及其判断方法、投影的概念、空间中关于角度的认识等

知识，属于中档题.

19.答案：解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人,

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是2=:,

所以选中的“高个子”有2人，“非高个子”有3人.

用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件彳表示“没有一名“高个子”被选

中”，

则P⑷=1*=*

因此，至少有一人是“高个子”的概率是看.

(2)依题意，抽取一名学生是“高个子”的概率为共=|,从该地所有高中生(人数很多)中选3名，

f〜B(3,|).f的取值为0,1,2,3.

P(f=0)=以(1-|尸=言，PG=1)=0g(乎=哉，

P(f=2)=C矮A.:券P(f=3)=畸3=_|.

因此，6的分布列如下:

0123

2754368

p

125125125125

解析：(1)由题意及茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，利用用分层抽样的方法，每个

人被抽中的概率是。利用对立事件即可；

3U6

(2)依题意，抽取一名学生是“高个子”的概率为总=|,从该地所有高中生(人数很多)中选3名，

f〜B(3,|).f的取值为0,1,2,3,求出每一个值对应事件的概率，即可求出f的数学期望.

本题主要考查茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学

期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据处理能力和应用意识.

20.答案：解：(I)设椭圆的半焦距为c,由V=4x得c=l,

设椭圆C的标准方程为［=l(a>b>0),

QZ匕2

••椭圆C过点(1,孝)，

—+-2-=1，

a2b2

又a?=炉+1,

联立解得〃=1,a2=2.

故椭圆C的标准方程为椭圆方程为J+y2=l

(II)由题意可设I：x=ky+l,由+人奉'：2=0得(I+2)y2+2ky-1=0

设4(%i，为)，8(%2，%)，

(yi+y2=^®

则有jyxy2=②

&=4y2(，<o)③

将①、②得自+%+2=-需=，+"2=落

由4e[—2,—1]得一；<A+1+2<0=>—<0>0<fc2<|

2.A.2.KTZ/

无？=(%i—2,%)，TB=(x2-2/2)，

TA4~TB=(%i+%2-4,%+丫2>

xx+x2-4=k(yx+y2)-2=-*：；)，

ITA-16(广+以4k2_16(妙+2)2-28(『+2)+8_288

\IA+Itl\~(H+2)2+3+2)2--2+2)2-16-+(/+2)2

令£=/6[，勺，|刀+前|2=8户一28£+16

•1-t=:时|评+TB『的最小值是4

解析：(I)设椭圆的半焦距为c,由y2=位求得c=1.设椭圆C的标准方程为《+5=l(a>b>0),

由于椭圆C过点(1,乎)，代入椭圆方程结合。2=及+©2,联立解得即可；

(〃)设。x=ky+l,与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由46[-2,—1)可得到£2的取值范

围.由于刀=(/—2,yi),TF=(x2-2,y2),通过换元，令t=&6舄,》，即可得出|普+用『

的最小值.

本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与

系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了

分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.

21.答案：解：⑴/(%)=mx+a/+(a+2)x+l,<(x)=^+2ax+a+2=(Zx+1^ax+1)(x>0),

①若a20,则r(x)>0,函数f(x)在(0,+8)上单调递增;

②若a<0,由>(x)>0,得0<x<—^；由((x)<0,得x>—，

・•・函数/(x)在(0,一》上单调递增，在(一1+8)上单调递减；

(2)若a>0,则/(I)=2a+3>0,.•・不满足/(x)<0恒成立.

若a<0,由(1)可知，函数/(x)在(0,-》上单调递增，在(一；,+8)上单调递减.

•••f(x)max=/(-；)=In(-i)-i,又f(x)<0恒成立，

设g(x)=)x+X,则g(-6<0,

T函数g(%)在(0,+8)上单调递增，且g⑴=1>0,5(|)=ln|+i<0,

存在唯一的£(1,1),使得g(x())=0.

当xe(O,%o)时，g(x)<0,当%€(g,+8)时，g(x)>0,

11

0<—<x解得Q<――^(-2,—1),

aQfXQ

又aeZ,工aW—2.

综上：a的最大值为-2.

解析：(1)求出原函数的导函数((x),得若a20,则广(盼>0,函数f(x)在(0,+8)上单调递增；若

a<0,求出导函数的零点，对函数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性；

(2)若a20,则/(l)=2a+3>0,不满足f(x)<0恒成立.若a<0,由(I)求得函数的最大值，

又/(%)30恒成立，可得也(一》一?工0,设9(%)=)支+%,则g(-6W0.由函数零点判定定理可

得存在唯一的和66,1)，使得9(&)=0,得到Q4一;€(-2,-1