充分条件必要条件

充分条件与必要条件推断符号“”的含义

如果命题“若p则q”为真，则记作pq

（或qp）。如果命题“若p则q”为假，则记作pq

（或qp）。用符号“

”与“”填空，将以下两条件联结起来。(1)x＝yx2＝y2(2)ab=0a=0(3)x2>1x>1(4)x＝1或x＝2x2－3x＋2＝0x2＝y2x＝ya=0ab=0x>1x2>1x2－3x＋2＝0x＝1或x＝2定义:如果,则说p是q的充分条件(sufficientcondition),q是p的必要条件(necessarycondition).＞a=0ab=0。要使结论ab=0成立，只要有条件a=0就足够了，“足够”就是“充分”的意思，因此称a=0是ab=0的充分条件。另一方面如果ab≠0，也不可能有a=0，也就是要使a=0，必须具备ab=0的条件，因此我们称ab=0是a=0的必要条件。定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p

q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件．①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的形式,即“有之必成立”。②必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则非p”为真（非q=>非p）的形式，即“无之必不成立”。注：③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。充分条件与必要条件的判断

（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“┐q┐p”。即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”例1、下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若x=1,则x2-4x+3=0；(2)若f(x)=x,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数；(3)若x为无理数，则x2

也为无理数；例2、下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若x=y,则x2=y2;(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(3)若a>b,则ac>bc(4)

若a+5是无理数，则a是无理数。(5)若（x-a）（x-b）=0，则x=a。练习1，判断下列命题的真假：

（1）x=2是x2–4x+4=0的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条

直线为圆的切线的必要条件；

（3）sinA=sinB是A=B的充分条件；

（4）ab≠0是a≠0的充分条件。命题（2）为真命题；命题（3）为假命题；命题（4）为真命题。

命题（1）为真命题；2、用符号“充分”或“必要”填空：（1）“0<x<5”是“x–2<3”的______条件。（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形为正方形”的______条件。（3）“xy>0”是“x+y=x+y”的______条件。（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的________条件。充分必要充分充分练习3.用“充分”或“必要”填空，并说明理由：1.“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的

条件；2.“四边相等”是“四边形是正方形”的

条件；3.“x≠3”是“|x|≠3”的

条件；4.“x－1=0”是“x2－1=0”的

条件；5.“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的

条件；充分必要必要充分充分6.“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的

条件；7.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不为0)来说，“b2－4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的

条件；8.“a=2，b=3”是“a+b=5”的

条件；必要必要充分4已知p、q都是r的必要条件，S是r的充分条件，q是S的充分条件，那么：

1)S是q的什么条件？

2)r是q的什么条件？

3)p是q的什么条件？二、从命题的角度去理解：设原命题为“若p则q”，则(1)若原命题为真，而逆命题为假，则称p是q的充分而不必要条件；(2)若原命题为假，而逆命题为真，则称p是q的必要而不充分条件；(3)若原命题为真，而逆命题也为真，则称p是q的充分条件，也是q的必要条件（充要条件）；(4)若原命题为假，而逆命题也为假，则称p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件；例3：指出下列各组命题中，p是q的什么条件,q是p的什么条件：（1）p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.（2）p：两条直线平行；q：内错角相等.（3）p：a>b；q：a2>b2（4）p：四边形的四条边相等；

q：四边形是正四边形.例4：如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B.请回答⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.练习5．在下列电路图中，闭合开关A是